1、小结和复习小结和复习 第18章 勾股定理 同学们同学们，请认真观察这四张图片中都有一种我们学过的几何请认真观察这四张图片中都有一种我们学过的几何 图形图形，它是哪种图形？它是哪种图形？ 情景引入情景引入 1.1.如图，如图，已知在已知在ABC 中，中，B =90，一直角边为一直角边为a，斜，斜 边为边为b，则另一直角边，则另一直角边c满足满足 . 【思考思考】为什么不是为什么不是 ？ 222 bac 答案：因为答案：因为B B 所对的边是斜边所对的边是斜边. . 答案：答案： 222 abc （一）知两边或一边一角型（一）知两边或一边一角型 题型一题型一 勾股定理的直接应用勾股定理的直接应用
2、考题分类考题分类 2.在在RtABC中，中，C=90. （1）如果）如果a=3，b=4， 则则c= ； （2）如果）如果a=6，c=10， 则则b= ； （3）如果）如果c=13，b=12，则，则a= ； （4）已知）已知b=3，A=30，求，求a，c. 5 8 5 （一）知两边或一边一角型（一）知两边或一边一角型 答案答案: :（4 4）a= ，c= . . 32 3 1.如图，已知在如图，已知在ABC 中，中，B =90，若，若BC4 ， ABx ，AC=8-x，则，则AB= ,AC= . 2.在在RtABC 中中,B=90，b=34,a:c=8:15,则则 a= , c= . 3.（选做
3、题）在（选做题）在RtABC中，中，C=90，若，若a=12,c- b=8,求求b,c. 答案：答案：b=5，c=13. 3 5 16 30 （二）知一边及另两边关系型（二）知一边及另两边关系型 1. 1. 对三角形边的分类对三角形边的分类. . 已知一个直角三角形的两条边长是已知一个直角三角形的两条边长是3 cm和和4 cm， 求第三条边的长求第三条边的长 注意：注意：这里并没有指明已知的两条边就是直角边，这里并没有指明已知的两条边就是直角边， 所以所以4 cm可以是直角边，也可以是斜边，即应分情可以是直角边，也可以是斜边，即应分情 况讨论况讨论 答案：答案：5 cm或或 cm. . （三）
4、分类讨论的题型（三）分类讨论的题型 7 2. 对三角形高的分类对三角形高的分类. 图图1 图图2 （三）分类讨论的题型 已知：在已知：在ABC中，中，AB15 cm，AC13 cm，高，高AD12 cm，求，求S ABC 答案：答案：第第1种情况：如图种情况：如图1，在，在RtADB和和RtADC中，分别由勾股定理，中，分别由勾股定理， 得得BD9，CD5，所以，所以BCBD+ CD9+514 故故S ABC 84cm2 第第2种情况，如图种情况，如图2，可得：，可得：S ABC=24cm2 【思考思考】本组题，利用勾股定理解决了哪些类本组题，利用勾股定理解决了哪些类 型题目？注意事项是什么？
5、型题目？注意事项是什么？ 利用勾股定理能求三角形的边长和高等线段利用勾股定理能求三角形的边长和高等线段 的长度的长度. .注意没有图形的题目，先画图，再考注意没有图形的题目，先画图，再考 虑是否需分类讨论虑是否需分类讨论. . 1. 在一块平地上，张大爷家屋前在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大米远处有一棵大 树在一次强风中，这棵大树从离地面树在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒米处折断倒 下，量得倒下部分的长是下，量得倒下部分的长是10米出门在外的张大爷米出门在外的张大爷 担心自己的房子被倒下的大树砸到大树倒下时能担心自己的房子被倒下的大树砸到大树倒下时能 砸到张大爷的房子吗？（
6、砸到张大爷的房子吗？（ ） A一定不会一定不会 B可能会可能会 C一定会一定会 D以上答案都不对以上答案都不对 A 题型二题型二 用勾股定理解决简单的实际问题用勾股定理解决简单的实际问题 2. 如图，滑杆在机械槽内运动，如图，滑杆在机械槽内运动，ACB为直角，已为直角，已 知滑杆知滑杆AB长长2.5米，顶端米，顶端A在在AC上运动，量得滑杆下上运动，量得滑杆下 端端B距距C点的距离为点的距离为1.5米，当端点米，当端点B向右移动向右移动0.5米时，米时， 求滑杆顶端求滑杆顶端A下滑多少米？下滑多少米？ A E C B D 答案：答案：解：设解：设AE的长为的长为x 米，依题意米，依题意 得得C
7、E=AC - x ,AB=DE=2.5,=2.5,BC=1.5,=1.5, C=90=90，AC=2.=2.BD=0.5,=0.5,AC=2.=2. 在在RtECD中，中，CE=1.5.=1.5. 22- - x =1.5=1.5， x =0.5. =0.5. 即即AE=0.5 . =0.5 . 答：梯子下滑答：梯子下滑0.50.5米米 答案：答案：是是 证明：在证明：在RtACB中，中，BC=3，AB=5， AC=4DC=4-1=3 在在RtECD中，中，DC=3，DE=5， CE=4BE=CE-CB=1 即梯子底端也滑动了即梯子底端也滑动了1米米 3.（选做题）一架长（选做题）一架长5米的
8、梯子，斜立在一竖直的米的梯子，斜立在一竖直的 墙上，这时梯子底端距墙底墙上，这时梯子底端距墙底3米米 如果梯子的顶如果梯子的顶 端沿墙下滑端沿墙下滑1米，梯子的底端在水平方向沿一条直米，梯子的底端在水平方向沿一条直 线也将滑动线也将滑动1米吗？用所学知识，论证你的结论米吗？用所学知识，论证你的结论 思考：思考：利用勾股定理解题决实际问题时，基本步利用勾股定理解题决实际问题时，基本步 骤是什么？骤是什么？ZxxkZxxk 答案：答案：1.1.把实际问题转化成数学问题，找出相应把实际问题转化成数学问题，找出相应 的直角三角形的直角三角形. . 2.2.在直角三角形中找出直角边，斜边在直角三角形中找
9、出直角边，斜边. . 3.3.根据已知和所求，利用勾股定理解决问题根据已知和所求，利用勾股定理解决问题. . 1证明线段相等证明线段相等. 已知：如图，已知：如图，AD是是ABC的高，的高，AB=10，AD=8， BC=12 .求证：求证： ABC是等腰三角形是等腰三角形. 答案：答案：证明：证明：AD是是ABC的高，的高， ADB=ADC=90.在在RtADB中，中，AB=10，AD=8， BD=6 .BC=12, DC=6.在在RtADC中，中，AD=8， AC=10，AB=AC.即即ABC是等腰三角形是等腰三角形. 分析：分析：利用勾股定理求出线段利用勾股定理求出线段BD的长，也能的长，
10、也能 求出线段求出线段AC的长，最后得出的长，最后得出AB=AC，即可，即可. 题型三题型三 会用勾股定理解决较综合的问题会用勾股定理解决较综合的问题 【思考思考1】由由AB=8，BC=10,你可以知道哪些线段长？你可以知道哪些线段长？ 请在图中标出来请在图中标出来. 答案：答案：AD=10，DC=8 . 2 2解决折叠的问题解决折叠的问题. . 已知如图，将长方形的一边已知如图，将长方形的一边BC沿沿CE折叠，折叠， 使得点使得点B落在落在AD边的点边的点F处，已知处，已知AB=8， BC=10, 求求BE的长的长. 2 2解决折叠的问题解决折叠的问题. . 已知如图，将长方形的一边已知如图
11、，将长方形的一边BC沿沿CE折叠，折叠， 使得点使得点B落在落在AD边的点边的点F处，已知处，已知AB=8， BC=10, 求求BE的长的长. 【思考思考2】 在在RtDFC中，你可以求出中，你可以求出DF的长吗？的长吗？ 请在图中标出来请在图中标出来. 答案：答案： DF=6 . 2 2解决折叠的问题解决折叠的问题. . 已知如图，将长方形的一边已知如图，将长方形的一边BC沿沿CE折叠，折叠， 使得点使得点B落在落在AD边的点边的点F处，已知处，已知AB=8， BC=10, 求求BE的长的长. 答案：答案： AF=4 . 【思考思考3】 由由DF的长，你还可以求出哪条线段长？的长，你还可以求
12、出哪条线段长？ 请在图中标出来请在图中标出来. 2 2解决折叠的问题解决折叠的问题. . 已知如图，将长方形的一边已知如图，将长方形的一边BC沿沿CE折叠，折叠， 使得点使得点B落在落在AD边的点边的点F处，已知处，已知AB=8， BC=10, 求求BE的长的长. 【思考思考4】 设设BE = x，你可以用含有，你可以用含有x的式子表示出的式子表示出 哪些线段长？请在图中标出来哪些线段长？请在图中标出来. 答案：答案：EF = x，AE = 8-x，CF = 10 . 2 2解决折叠的问题解决折叠的问题. . 已知如图，将长方形的一边已知如图，将长方形的一边BC沿沿CE折叠，折叠， 使得点使得
13、点B落在落在AD边的点边的点F处，已知处，已知AB=8， BC=10, 求求BE的长的长. Zxxk 【思考思考5】 你在哪个直角三角形中，应用勾股定你在哪个直角三角形中，应用勾股定 理建立方程？你建立的方程是理建立方程？你建立的方程是 . 答案：答案：直角三角形直角三角形AEF, A=90, AE=8-x， . 222 )8(4xx 2 2解决折叠的问题解决折叠的问题. . 已知如图，将长方形的一边已知如图，将长方形的一边BC沿沿CE折叠，折叠， 使得点使得点B落在落在AD边的点边的点F处，已知处，已知AB=8， BC=10, 求求BE的长的长. 【思考思考6】 图中共有几个直角三角形？每一
14、个直角图中共有几个直角三角形？每一个直角 三角形的作用是什么？折叠的作用是什么？三角形的作用是什么？折叠的作用是什么？ 答案：答案： 四个，两个用来折叠，将线段和角等量转化，四个，两个用来折叠，将线段和角等量转化， 一个用来知二求一，最后一个建立方程一个用来知二求一，最后一个建立方程. 2 2解决折叠的问题解决折叠的问题. . 已知如图，将长方形的一边已知如图，将长方形的一边BC沿沿CE折叠，折叠， 使得点使得点B落在落在AD边的点边的点F处，已知处，已知AB=8， BC=10, 求求BE的长的长. 【思考思考7】 请把你的解答过程写下来请把你的解答过程写下来. 答案：答案： 设设BE=x，折
15、叠，折叠，BCE FCE， BC=FC=10. 令令BE=FE=x，长方形，长方形ABCD， AB=DC=8 ，AD=BC=10，D=90， DF=6, AF=4，A=90, AE=8-x ， ，解得，解得 x = 5 .BE的长为的长为5. 222 )8(4xx 3.做高线，构造直角三角形做高线，构造直角三角形. 已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，B=45，C=60， AB=2.求（求（1）BC 的长；（的长；（2）S ABC . 分析分析：由于本题中的：由于本题中的ABC不是直角三角形，所以添不是直角三角形，所以添 加加BC边上的高这条辅助线，就可以求得边上的高这条辅助线，就可以求
16、得BC及及S ABC . 3.3.做高线，构造直角三角形做高线，构造直角三角形. . 已知：如图，在已知：如图，在ABCABC中，中，B=45，C=60， AB=2.求（求（1 1）BC 的长；（的长；（2 2）S S ABCABC . . 答案：答案：过点过点A作作ADBC于于D,ADB=ADC=90. 在在ABD中，中，ADB=90， B=45，AB=2，AD=BD= .在在ABD中，中， ADC=90，C=60，AD= ， CD= ,BC= ，S ABC = 2 2 3 6 2 3 6 3 3 1 思考思考 ：在不是直角三角形中如何求线段长和面积？ 解一般三角形的问题常常通过作高转化成直
17、角三解一般三角形的问题常常通过作高转化成直角三 角形，利用勾股定理解决问题角形，利用勾股定理解决问题. 思考：思考：利用勾股定理解决综合题的基本步骤是什么？利用勾股定理解决综合题的基本步骤是什么？ 1.画图与标图，根据题目要求添加辅助线，构造直画图与标图，根据题目要求添加辅助线，构造直 角三角形角三角形. 2.将已知量与未知量集中到同一个直角三角形中将已知量与未知量集中到同一个直角三角形中. 3 .利用勾股定理列出方程利用勾股定理列出方程. 4.解方程，求线段长，最后完成解题解方程，求线段长，最后完成解题. 1下列线段不能组成直角三角形的是（下列线段不能组成直角三角形的是（ ） Aa=8，b=
18、15，c=17 Ba=9，b=12，c=15 Ca= ，b= ，c= Da：b：c=2：3：4 2.如图，在由单位正方形组成的网格图中标有如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB,CD,EF,GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的是（四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的是（ ） CD,EF,GH AB,EF,GH AB,CD,GH AB,CD,EF C E B H D F A G 53 2 D B 题型四题型四 勾股定理的逆定理的应用勾股定理的逆定理的应用 已知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=2， AD=3， 且且ABBC.求四边形求四边形 A
19、BCD的面积的面积. 分析：分析：本题解题的关键是恰当的添加辅助线，利用勾股定理本题解题的关键是恰当的添加辅助线，利用勾股定理 的逆定理判定的逆定理判定ADC的形状为直角三角形，再利用勾股定理的形状为直角三角形，再利用勾股定理 解题解题. 答案：答案：连接连接AC,ABBC，ABC=90. 在在ABC中，中，ABC=90，AB=1，BC=2， AC= .CD=2，AD=3, ACD是直角三角形；是直角三角形；四边四边 形的面积为形的面积为1+ . 5 5 由形到数由形到数 实际问题实际问题 (直角三角形边长计算直角三角形边长计算) 勾股定理勾股定理 勾股定理的勾股定理的 逆定理逆定理 实际问题
20、实际问题 (判定直角三角形判定直角三角形) 由数到形由数到形 互逆互逆 定理定理 复习归纳复习归纳 勾股定理勾股定理 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 题题 设设 在在RtABC 中中,C=900 在在ABC 中中, 三边三边a,b,c 满足满足a2+b2=c2 结结 论论 a2+b2=c2 C=900 作作 用用 1.用勾股定理进行计算用勾股定理进行计算 2.证明与平方有关的问题证明与平方有关的问题 3.解决实际问题解决实际问题 1.判断某三角形是否为判断某三角形是否为 直角三角形（直角三角形（3种）种）2. 解决实际问题解决实际问题 联联 系系 1.两个定理都与“三角形的三边关系两个定理都
21、与“三角形的三边关系a2+b2=c2”有关有关; 2.都与直角三角形有关；都与直角三角形有关； 3.都是数形结合思想的体现都是数形结合思想的体现. 1.有四个三角形，分别满足下列条件：有四个三角形，分别满足下列条件： 一个内角等于另两个内角之和；一个内角等于另两个内角之和； 三个角之比为三个角之比为3：4：5； 三边之比分别为三边之比分别为7、24、25； 三边之比分别为三边之比分别为5：12：13 其中直角三角形有（其中直角三角形有（ ） A.1个个 B.2个个 C.3个个 D.4个个 C 课后演练课后演练 2.观察下列图形，正方形观察下列图形，正方形1的边长为的边长为7，则正方形，则正方形
22、2、3、4、5 的面积之和为的面积之和为 . 49 3.折叠矩形折叠矩形ABCD的一边的一边AD，折痕为，折痕为AE，且使，且使D落在落在BC 边上的点边上的点F处，已知处，已知AB=8cm,BC=10cm,则点则点F的坐标是的坐标是 ，点，点E的坐标是的坐标是 . 第第2题图题图 第第3题图题图 （6，0） （8，3） 图图(a)、图、图(b)、图、图(c)是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸 中的每个小正方形的边长均为中的每个小正方形的边长均为 1.请在图请在图(a)、图、图(b)、图、图(c)中，分别画出中，分别画出 符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重 合具体要求如下：合具体要求如下： (1)画一个底边长为画一个底边长为 4，面积为，面积为 8 的等腰三角形；的等腰三角形； (2)画一个面积为画一个面积为 10 的等腰直角三角形；的等腰直角三角形； (3)画一个一边长为画一个一边长为 2 2，面积为，面积为 6 的等腰三角形的等腰三角形 解：解：(1)(2)(3)如图如图(a)、图、图(b)、图、图(c) 图图 1713 4.
