1、歐亞書局微積分第九版微積分基礎複習微積分基礎複習Chapter 1歐亞書局歐亞書局歐亞書局 1.1實數線和順序 1.2絕對值和實數線上的距離 1.3指數和根號 1.4多項式的因式分解 1.5分式與有理化第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習P.1-1歐亞書局歐亞書局歐亞書局1.1 實數線和順序實數線和順序學習目標 實數的表示、分類與排序。利用不等式表示實數的集合。解不等式。以不等式做為實際問題的模型並解之。P.1-2第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習歐亞書局歐亞書局歐亞書局實數線實數線 實數可用實數線實數線(real number line)(或 x 軸)座標系來表示，如圖1.1。正方
2、向正方向(positive direction)(往右)指向 x 值遞增的方向。實數線上的某一點所對應的實數稱為該點的座標座標(coordinate)。如圖 1.1 所示，在實數線上按慣例都是標出座標為整數的點。P.1-2 圖圖1.1第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習歐亞書局歐亞書局歐亞書局實數線實數線P.1-2 在實數線上對應到零的點稱為原點原點(origin)。在原點右邊的數字為正正(positive)，而在原點左邊的數字為負負(negative)。非負非負(nonnegative)這個字表示一個不是正就是零的數。第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習歐亞書局歐亞書局歐亞書局實數線
3、實數線 實數線的重要性在於提供實數的完全圖像。也就是，在實數線上的每一點都會對應到一個且只有一個實數，這種關係稱為一對一的對應一對一的對應(one-to-one correspondence)，如圖 1.2 所示。P.1-2 圖圖1.2第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習歐亞書局歐亞書局歐亞書局實數線實數線 在圖 1.2 中四個點的任一點都對應到一個可表示成分數的實數，即這種數稱為有理數有理數(rational)。有理數可表示成有限小數或無限循環小數，如下所示：有限小數無限循環小數P.1-21357372.6 1.8554320 0.875870.45210.333.0.3*3121.71
4、4285714285.1.7142857第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習歐亞書局歐亞書局歐亞書局實數線實數線 不是有理數的實數稱為無理數無理數(irrational)，因此它們不能表示成分數(有限小數或無限循環小數)。所以，習慣會用近似值來表示一個無理數。一些在應用上常會出現的無理數，數學家已創造一些特殊符號來表示。例如，、和 e 等等，下面為各符號的近似值，請參考圖 1.3。2P.1-3 圖圖1.321.4142135623 3.1415926535 2.7182818284e第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習歐亞書局歐亞書局歐亞書局在實數線上的順序和區間在實數線上的順序和區間
5、P.1-3 圖圖1.4 實數的一個重要性質是它們是有序的有序的(ordered)：0 小於 1、3小於 2.5、小於 等等。可由觀察 a 小於 b 若且唯若在實數線上 a 位於 b 的左邊，以圖形來描述這個性質。在符號上，a 小於 b記為 不等式 a b。例如在圖 1.4 中由實數線上，是在 1 的左邊就可推得。34314227第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習歐亞書局歐亞書局歐亞書局在實數線上的順序和區間在實數線上的順序和區間P.1-3 當三個實數 a、x 和 b 排序後，使得 a x 且 x b 時，可說 x介於介於(between)a 和 b 之間而且寫成a x b x 介於 a
6、和 b 之間第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習歐亞書局歐亞書局歐亞書局在實數線上的順序和區間在實數線上的順序和區間 所有介於 a 和 b 之間的實數所形成的集合稱為介於 a 和 b 之間的開區間開區間(open interval)並記為(a,b)。區間(a,b)不包含端點a 和 b。包含端點的區間稱為閉區間閉區間(closed interval)並記為 a,b。a,b)和(a,b 形式的區間既非開區間也非閉區間。P.1-3第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習歐亞書局歐亞書局歐亞書局在實數線上的順序和區間在實數線上的順序和區間P.1-3 圖圖1.5 圖 1.5 顯示九種在實數線上的區間
7、。第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習歐亞書局歐亞書局歐亞書局學習提示學習提示 中括號是用來表示小於或等於()或大於或等於()，此外，符號 和 表示正無窮正無窮大大(positive infinity)和負無窮大負無窮大(negative infinity)。這些符號並不代表實數；只是用來精確地描述無界的情況。例如 b，)是右邊無界，因為它包含所有大於或等於 b 的實數。P.1-4第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習歐亞書局歐亞書局歐亞書局解不等式解不等式 在微積分中常需要解像 3x 4 5 這種含有變數的不等式。如果 a 取代 x 使得不等式為真，則 a 是這個不等式的一個解解(so
8、lution)。所有滿足不等式的 x 值所形成的集合稱為這個不等式的解集合解集合(solution set)。下列是一些用於解不等式的性質。(將 換成 也有相同性質)。P.1-4第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習歐亞書局歐亞書局歐亞書局學習提示學習提示 注意性質 3 和性質 4 的差異。例如3 4 (3)(2)(4)(2)和3 (4)(2)P.1-4第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習歐亞書局歐亞書局歐亞書局解不等式解不等式P.1-4 注意，當不等式乘一負數時，不等式要反轉。例如，若 x 12。這個原則也適用在除於負數的情況。所以，若2x 4，則 x 2。第一章微積分基礎複習第一章微
9、積分基礎複習歐亞書局歐亞書局歐亞書局學習提示學習提示 一旦解出一個不等式，最好檢查一下一些在解集合的 x值是否滿足原不等式。也可檢查一些在解集合外的值來驗證它們並不滿足不等式。例如圖 1.6 顯示當 x 0 或x 2 時，不等式是成立的。但是，當 x 4 時，不等式是不成立的。P.1-4第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 1解不等式解不等式 求不等式 3x 4 5 的解集合。P.1-4第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 1解不等式解不等式（解解）3x 4 5 寫出原不等式 3x 4 4 5 4 兩邊各加 4 3x 9
10、化簡 兩邊各乘 x 3 化簡P.1-41-5(3)39)113(x 13第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 1解不等式解不等式（解解）P.1-5 圖圖1.6 所以解集合是區間(,3)，如圖 1.6 所示。第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習歐亞書局歐亞書局歐亞書局檢查站檢查站 1 求不等式 2x 3 7 的解集合。P.1-5第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習歐亞書局歐亞書局歐亞書局解不等式解不等式 在範例 1 中，五個列在解答過程中的不等式有相同的解集合，因此稱為等價不等式等價不等式(equivalent inequalities)。P.1-5第
11、一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習歐亞書局歐亞書局歐亞書局解不等式解不等式 在範例 1 的不等式包含了一次不等式。要解較高次的多項式時，注意到只有在實數根(使多項式為零的實數)的地方，多項式才會改變符號。在兩個連續的實數根之間，多項式必定為正或為負。將多項式的實數根按大小順序排好後，將實數線分割成多個檢驗區間檢驗區間(test intervals)，在每個檢驗區間內多項式的正負是不會改變的。如果多項式可因式分解成(x r1)(x r2),.,(x rn),r1 r2 r3 .rn則檢驗區間為(,r1),(r1,r2),.,(rn1,rn),和 (rn,)P.1-5第一章微積分基礎複習第一章
12、微積分基礎複習歐亞書局歐亞書局歐亞書局解不等式解不等式 例如，多項式x2 x 6 (x 3)(x 2)只有在 x 2 和 x 3 時，會改變正負性。為確定多項式在區間(,2)、(2,3)和(3,)的正負，可在每一區間中選一個值代入多項式來檢驗。P.1-5第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 2解多項式不等式解多項式不等式 求不等式 x2 x 6 的解集合。P.1-5第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 2解多項式不等式解多項式不等式（解解）P.1-5 x2 x 6 寫出原不等式 x2 x 6 0 多項式形式(x 3)(x
13、2)3x 10 的解集合。第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習歐亞書局歐亞書局歐亞書局應用應用 不等式常用來描述發生在商業或科學上的條件。例如，不等式8.8 W 26.4描述成猴的標準體重 W(磅)。範例 3 則是用一個不等式來描述一家製造工廠的產量。P.1-6第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 3產量產量 除了每天固定的$500 經常帳費用外，一項產品生產 x 單位時的單位成本為$2.50。八月的每天生產總成本最高為$1325 而最低為$1200。求這一整個月間，一天的產量最高和最低各為多少。P.1-6第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習歐亞書局
14、歐亞書局歐亞書局範例範例 3產量產量（解解）因為生產一單位的成本為$2.50，所以生產 x 單位的成本為$2.5x。此外，每天的固定成本為$500，所以一天生產 x 單位的總成本為 C 2.5x 500。P.1-6第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 3產量產量（解解）由於每天的總成本介於$1200 和$1325 之間，故可寫出下列的不等式。P.1-650050 12002.55001325 12002.550013257002.5825 7002.5825 0500 5002.5 280330 2.52.52.5 xxxxx 原不等式各減化簡各除以 化簡第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 3產量產量（解解）所以，在8月一整個月間，每天的產量從最低 280 單位到最高 330單位，如圖 1.8 所示。P.1-6 圖圖1.8第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習歐亞書局歐亞書局歐亞書局檢查站檢查站 3 如果 10 月的每天生產總成本最高為$1500 而最低為$1000，用範例 3 的方法求一天最高和最低的產量。P.1-6第一章微積分基礎複習第一章微積分基礎複習
