1、章末复习提升课章末复习提升课 第三章第三章空间向量与立体几何空间向量与立体几何空间向量基本定理空间向量基本定理 问题展示问题展示(选修2-1 P97习题3.1A组T2)如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M.设A1B1a，A1D1b，A1Ac，则下列向量中与B1M相等的向量是()A.12a12bc B.12a12bc C.12a12bc D.12a12bc 【解析】B1MB1BBM B1B12BD B1B12(BAAD)A1A12A1B112A1D1 12a12bc.故选A.【答案】A 在平行六面体在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1a，A1D1b，A
2、1Ac，若B1M12a12bc，则，则M的位置为()A?ADD1A1的对角线交点 B?ABCD的对角线的交点 C?DCC1D1的对角线的交点 D点D的位置的位置【解析】因为B1M12a12bc.所以A1MA1B1B1M a12a12bc 12(ab)c12A1C1c A1C1C1C12A1C1 A1C12CA.即即A1MA1C12CA，所以CM12CA.所以M为为CA的中点 即即M为为?ABCD的对角线的交点故选的对角线的交点故选B.【答案】B 平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，P是直线DD1上一点若B1M平面A1CP.求P点的位置【解】取基底取基底AB，AD，AA
3、1a，b，c 则则B1MB1BBM AA112(BABC)AA112AB12AD 12a12bc.设设DPDD1c.所以CPCDDPac.CA1CBBB1B1A1 bca.因为B1M平面平面A1CP，故存在x，yR，使使B1MxCPyCA1，即12a12bcx(ac)y(bca)(xy)ayb(xy)c.所以?12xy12y1xy.解得x1，y12，12.所以当P在在D1D的延长线上，且的延长线上，且|PD|12|DD1|时，B1M平面面A1CP.空间向量的运算 问题展示(选修2-1 P92练习T1)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB2 BB1，则AB1与C1B所成角的大小为()A
4、60 B90 C105 D75 【解析】法一：(基底法)：取基底BA，BC，BB1a，b，c 设BB11，则|a|b|2，|c|1.a，b60，ca，cb.AB1ca，BC1bc.所以AB1BC1(ca)(bc)cbc2abac01222cos 6000.所以AB1BC1，即AB1与C1B所成角的大小为90，选B.法二：法二：(坐标法坐标法)：以以AB的中点为坐标原点建立如图的空间直的中点为坐标原点建立如图的空间直角坐标系角坐标系 且设且设BB12，则，则AB2 2.所以所以A(2，0，0)，B(2，0，0)，B1(2，0，2)，C1(0，6，2)所以所以AB1(2 2，0，2)，BC1(2，
5、6，2)AB1BC12 2(2)06220.所以所以AB1BC1，即，即AB1与与C1B所成角的大小为所成角的大小为90，选，选B.【答案】B 如图，在正三棱柱在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1BC1，P是是AA1中点中点(1)求平面PBC1将三棱柱分成的两部分的体将三棱柱分成的两部分的体积之比；(2)求平面PBC1与平面ABC所成二面角的正切值所成二面角的正切值【解】【解】(1)以以AB的中点的中点O为坐标原点，为坐标原点，建建立如图的空间直角坐标系，设三棱柱的底面立如图的空间直角坐标系，设三棱柱的底面边长为边长为a，高为，高为b，则则A?a2，0，0，B?a2，0，0，B1?a2，0
6、，b，C1?0，32a，b.所以所以AB1(a，0，b)，BC1?a2，32a，b.因为AB1BC1，所以AB1BC10.即a22b20，所以a2 b.又B到平面ACC1P的距离d32a，P是AA1中点 所以V四棱锥B-ACC1P13S梯形ACC1Pd1312?b2ba32a38a2b，则平面PBC1分三棱柱另一部分几何体的体积为 VV三棱柱ABC-A1B1C1V四棱锥B-ACC1P 34a2b38a2b38a2b.所以平面PBC1将三棱柱分成两部分的体积之比为11.(2)由(1)知a2 b，令b2，则a2 2.所以B(2，0，0)，C1(0，6，2)，P(2，0，1)所以BP(2 2，0，1
7、)，BC1(2，6，2)设平面PBC1的法向量为n1(x，y，z)则?n1BP0n1BC10，即?2 2 xz02 x6 y2 z0.令x1，得z2 2，y3.所以n1(1，3，2 2)取平面ABC的一个法向量为n2(0，0，1)所以cosn1，n2n1n2|n1|n2|2 22 363，所以sinn1，n233.所以tann1，n2sinn1，n2cosn1，n2336322.即平面PBC1与平面ABC所成角的正切值为22.如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点(1)求证：AB1平面A1BD；(2)求二面角(锐角)B-A1D-C的余弦【解】【解】(1)证明：
8、如图所示，取证明：如图所示，取BC的中点的中点O，连接连接AO.因为因为ABC为正三角形，为正三角形，所以所以AOBC.因为在正三棱柱因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，中，平面ABC平面BCC1B1，所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为原点，以OB，OO1，OA为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(1，1，0)，A1(0，2，3)，A(0，0，3)，B1(1，2，0)BA1(1，2，3)，BD(2，1，0)设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，因为nBA1，nBD，故故?nBA10，nBD0?x2 y3 z0，2 xy0.令令x1，得y
9、2，z3，故故n(1，2，3)为平面为平面A1BD的一个法向量，的一个法向量，而而AB1(1，2，3)，所以，所以AB1n，即AB1平面A1BD.(2)因为A(0，0，3)，C(1，0，0)，C1(1，2，0)所以CA(1，0，3)，CC1(0，2，0)设平面ACC1A1的法向量为 m(x1，y1，z1)则?m CA0m CC10.即?x13 z102 y10.令z11，则m(3，0，1)由(1)知，平面A1BD的一个法向量为n(1，2，3)所以cosm，nm n|m|n|31021（3）（3）202121222（3）2 64.所以所求的二面角(锐角B-A1D-C)的余弦值为64.空间向量的综
10、合应用空间向量的综合应用 问题展示问题展示(选修2-1 P119复习参考题B组T3)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，侧棱SA底面ABCD，且SAABBC1，AD0.5.(1)求四棱锥S-ABCD的体积；(2)求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值 【解】(1)VS-ABCD13S梯形ABCDSA.1312(0.51)1114.(2)由题意可建立如图的空间直角坐标系，由SAABBC1.AD0.5得A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D?12，0，0，S(0，0，1)则平面SAB的一个法向量为AD?12，0，0.SD?12，0，1，SC
11、(1，1，1)设平面SCD的法向量为n(x，y，z)由?nSD0，nSC0得?12xz0 xyz0.令z1，得x2，y1.所以n(2，1，1)所以cosAD，nADn|AD|n|1220（1）0112663.即面SCD与面SAB所成二面角的余弦值为63.如图1，在RtABC中，C90，AC4，BC2.E，F分别在AC和AB上，且EFCB.将它沿EF折起，且平面AEF平面EFBC.且四棱锥A-EFBC的体积为2.(1)求EF的长；(2)当EF的长度为整数时，求AC与平面ABF所成角的正弦值【解】(1)因为EFCB，C90，所以CEEF，AEEF.又平面AEF平面EFBC，CE?平面EFBC.所以
12、CE平面AEF.所以CEAE.又又CEEFE.CE，EF?平面EFBC.所以AE平面EFBC.设设EFx，由于EFCB，AC4，BC2，在图1中，所以AEACEFCB.即AEACEFCB4 x22 x.VA-EFBC13S梯形EFBCAE1312(x2)(42 x)2 x 2 x38 x3，x(0，2)由题意得2 x38 x32，即x34 x30，即(x1)(x2x3)0.所以x1或x1132，即EF1或EF1132.(2)当EF的长度为整数时，由(1)知EF1，建立如图所示的空间直角坐标系，则则A(0，0，2)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，F(1，0，0)AC(0，2，2)，AB(2
13、，2，2)，AF(1，0，2)设平面ABF的法向量n(x，y，z)，由由?nAB0，nAF0得得?2 x2 y2 z0 x2 z0.令令z1，则，则x2，y1，所以所以n(2，1，1)，设，设AC与平面ABF所成的角为所成的角为，则则sin?|ACn|AC|n|?022（1）（）（2）12 2 633.所以所以AC与平面ABF所成角的正弦值为所成角的正弦值为33.1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，如图所示，E为上底面A1C1的中心，若AEAA1xAByAD，则x，y的值分别为()Axy1 Bx1，y12 Cxy12 Dx12，y1 解析：选C.由向量的三角形运算法则知由向量的三角形运算
14、法则知 AEAA1A1E.而而A1E12A1C1，A1C1ABBC，又又ACA1C1，ADBC，所以A1C1ABAD，所以AEAA112AB12AD，所以xy12.2.如图，在空间直角坐标系中有直三棱如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱柱ABC-A1B1C1，CACC12 CB，则，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为夹角的余弦值为()A.55 B.53 C.2 55 D.35 解析：选A.不妨设CACC12 CB2，则A(2，0，0)，B(0，0，1)，B1(0，2，1)，C1(0，2，0)，所以AB1(2，2，1)，BC1(0，2，1)，从而cosAB1，BC1AB1BC1|AB1|BC1
15、|（2）0221（1）9555，所以直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为55.3已知向量e1，e2，e3是三个不共面的非零向量，且a2 e1e2e3，be14 e22 e3，c11 e15 e2e3，若向量a，b，c共面，则_ 解析：因为解析：因为a，b，c共面，所以存在实数共面，所以存在实数m，n，使得，使得cmanb，则，则11 e15 e2e3(2 mn)e1(m4 n)e2(m2 n)e3，则?2 mn11m4 n5m2 n，解得?m7n31.答案：答案：1 4 如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，DPC30，AFPC于点F，FECD，交PD于点E.(1)证明：CF平面AD
16、F；(2)求二面角D-AF-E的余弦值 解：(1)证明：因为PD平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PDAD.又因为CDAD，PDCDD，所以AD平面PCD.又因为PC?平面PCD，所以ADPC.又因为AFPC，ADAFA，所以PC平面ADF，即CF平面ADF.(2)设AB1.在RtPDC中，CD1，DPC30，所以PC2，PD3，PCD60.由(1)知CFDF，所以DFCDsin 6032，CFCDcos 6012.因为FECD，所以DEPDCFPC14，所以DE34.同理EF34CD34.如图，如图，以以D为坐标原点，为坐标原点，分别以分别以DP，DC，DA所在直线为所在直线为x轴、y轴
17、、z轴轴建立空间直角坐标系，建立空间直角坐标系，则则A(0，0，1)，E?34，0，0，F?34，34，0，P(3，0，0)，C(0，1，0)AE?34，0，1，EF?0，34，0.设m(x，y，z)是平面AEF的法向量，则?mAE，mEF.所以?m AE34xz0，m EF34y0，令x4，则z3，m(4，0，3)由(1)知平面ADF的一个法向量为PC(3，1，0)，设二面角D-AF-E的平面角为，可知为锐角，故cos|cosm，PC|m PC|m|PC|4 31922 5719.故二面角D-AF-E的余弦值为2 5719.5.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是菱形，AC
18、BDO，PAC是边长为2的等边三角形，PBPD6，F为AP上一点，且AP4 AF.(1)求证：PO底面ABCD；(2)求直线CP与平面BDF所成角的大小 解：(1)证明：因为底面ABCD是菱形，ACBDO，所以O是AC，BD的中点 又PAPC，PBPD，所以POAC，POBD.又ACBDO，所以PO底面ABCD.(2)由底面ABCD是菱形，可得ACBD，又由(1)，知POAC，POBD.如图，连接OF，以O为坐标原点，以射线OA，OB，OP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由由PAC是边长为是边长为2的等边三角形，的等边三角形，PBPD6，可得可得OA1，PO3，OBOD
19、3.所以所以O(0，0，0)，A(1，0，0)，C(1，0，0)，B(0，3，0)，P(0，0，3)，所以所以CP(1，0，3)，OB(0，3，0)，OA(1，0，0)，AP(1，0，3)由由AP4 AF，可得可得OFOA14AP?34，0，34.设平面BDF的法向量为n(x，y，z)，则?nOB0nOF0，即?3 y034x34z0.令x1，则z3，所以n(1，0，3)因为cosCP，nCPn|CP|n|1103（3）1202（3）21202（3）212，所以直线CP与平面BDF所成角的正弦值为12，所以直线CP与平面BDF所成角的大小为30.本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
