1、等差数列的通项公式dnaan)1(11()dna d当当d0时，这是关于时，这是关于n的一个一次函数。的一个一次函数。d=0,常数列；常数列；d0,递增数列；递增数列；d0,递增数列；递增数列；d0,递减数递减数列列小结：小结：1nnaad nN（）或或 如果一个数列的通项公式能写成 （p,q 是常数）的形式，那么这个数列是不是等差 数列呢？napnq课后思考：课后思考：如果一个数列是等差数列，那么该数列的通项公式一定能写成（p,q是常数）的形式。napnq推广后的通项公式推广后的通项公式(n-m)d daamnmnaamn 例例4 在在等差数列等差数列an中中 (1)若若a59=70，a80
2、=112，求求a101；(2)若若ap=q，aq=p(pq)，求求ap+q；(3)若若a12=23，a42=143，an=263，求求n.d=2,a101=154d=-1,ap+q=0d=4,n=72等等差差中中项项 三个数成等差数列，可设这三个数为：三个数成等差数列，可设这三个数为：a、b b、c c成等差数列成等差数列,则则 _2ba _b与与a的等差中项是的等差中项是即即a、b的算术平均数的算术平均数.2b=a+ca,a+d,a+2d 或或 a-d,a,a+d例例5(1)已知已知a，b，c成等差数列，求证：成等差数列，求证：ab-c2，ca-b2，bc-a2也成等差数列；也成等差数列；(
3、2)三数成等差数列，它们的和为三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积为首尾二数的积为12，求此三数，求此三数.上面的命题中的等式两边有上面的命题中的等式两边有 相相 同同 数数 目目 的项，如的项，如a1+a2=a3 成立吗？成立吗？【说明说明】3.更一般的情形，更一般的情形，an=d=等差数列的性质等差数列的性质1.an为等差数列为等差数列 2.a、b、c成等差数列成等差数列 an+1-an=dan+1=an+dan=a1+(n-1)dan=kn +b（k、b为常数）为常数）am+(n-m)dmnaamnb为为a、c 的等差中项的等差中项AA2cab 2b=a+c4.在在等差数列等差数
4、列an中，由中，由 m+n=p+q am+an=ap+aq注意：注意：上面的命题的逆命题上面的命题的逆命题 是不一定成立是不一定成立 的；的；例例2.在在等差数列等差数列an中中(1)已知已知 a6+a9+a12+a15=20，求，求a1+a20例题分析例题分析(2）已知）已知 a3+a11=10，求，求 a6+a7+a8(3)已知已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求，求a14及公差及公差d.分析：由分析：由 a1+a20=a6+a15=a9+a12 及及 a6+a9+a12+a15=20，可得可得a1+a20=10分析：分析：a3+a11=a6+a8=2a7，又已知又已知
5、 a3+a11=10，a6+a7+a8=（a3+a11）=1523分析：分析：a4+a5+a6+a7=56 a4+a7=28 又又 a4a7=187 ，解解、得得a4=17a7=11 a4=11a7=17 或或d=_2或或2,从而从而a14=_3或或31课堂练习课堂练习1 1.等差数列等差数列 an 的前三项依次为的前三项依次为 a-6-6，2 2a-5-5，-3-3a+2 2，则，则 a 等于（等于（)A.-.-1 1 B.1 1 C.-2 -2 D.2B2.在在数列数列an中中a1=1，an=an+1+4，则，则a10=2(2a-5)=(-3a+2)+(a-6-6)提示提示1:提示：提示：
6、d=an+1an=4-353.在在等差数列等差数列an中中 (1)若若a59=70，a80=112，求，求a101；(2)若若ap=q，aq=p(pq)，求，求ap+qd=2,a101=154d=-1,ap+q=0研究性问题研究性问题300 5004.在在等差数列等差数列an中中,a1=83，a4=98，则这个数列有，则这个数列有 多少项在多少项在300到到500之间？之间？d=5,提示：提示：an=78+5n52845244 nn=45，46，84402.已知已知an为等差数列，若为等差数列，若a10=20 ，d=-1，求，求a 3?1.若若a12=23，a42=143，an=263，求，求
7、n.3.三数成等差数列，它们的和为三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的，首尾二数的积为积为12，求此三数，求此三数.d=4n=72a 3=a 10+(3-10)d a 3=27设这三个数分别为设这三个数分别为a-d a，a+d，则，则3a=12，a2-d2=126，4，2或或2，4，6 如果数列 的第n项 与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。nana叫做数列 的前n项和。nannnaaaaaS1321)2()1(11nSSnSannn等差数列的前n项和公式的推导,1a,2a,3a,na，nnnaaaaaS1321由等差数列由等差数列的前的前n项和项和得)
8、1()2()(1111dnadadaaSn)1()2()(dnadadaaSnnnnn个（nnnnnaaaaaaS)2111)1naan（2)1nnaanS（等差数列的前n项和公式的其它形式2)1nnaanS（dnaan)1(1dnnnaSn2)11（dnaan)1(1dnnnaSnn2)1（a1ann公式记忆方法公式记忆方法!1)前前n个正整数的和：个正整数的和：1+2+3+n=；2)求正整数列中求正整数列中前前n个偶数个偶数的和的和 2+4+6+2n=。).1(2)22(nnnnSn解：.2)1(nn1()12nnn aaS公式例例2：数列：数列an是等差数列，是等差数列，a1=50，d=
9、2（1）从第）从第n项开始有项开始有an0，d0，则，则sn存在最大值；存在最大值；若在等差数列若在等差数列an中，中，a10，则，则sn存在最小值；存在最小值；例例3.在等差数列在等差数列an中中最大最大。值时值时为何为何nSnSSa,025141 解：方法一解：方法一01425 SS0.2524171615 aaaaa00110.)()(20202024162515 aaaaaaa0,00,020191 aada2019或或最大时，最大时，nSn解：方法二（只适合填空题）解：方法二（只适合填空题）BnAnSn 21425SS 142519.55.1922514 n2019或或 n 1.1.
10、将等差数列前将等差数列前n n项和公式项和公式 看作是一个关于看作是一个关于n n的函数，这个函数的函数，这个函数 有什么特点？有什么特点？2)1(1dnnnaSn当当d00时时,S,Sn n是常数项为零的二次函数是常数项为零的二次函数21()22nddSnan则则 Sn=An2+Bn令令1,22ddABa等差数列的前等差数列的前n项的最值问题项的最值问题例例1.已知等差数列已知等差数列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值时取何值时,Sn取最大值取最大值.解法解法1由由S3=S11得得113 133 211 1311 1022dd d=2113(1)(2)2nSnn n 214n
11、n 2(7)49n 当当n=7时时,Sn取最大值取最大值49.等差数列的前等差数列的前n项的最值问题项的最值问题例例1.已知等差数列已知等差数列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值时取何值时,Sn取最大值取最大值.解法解法2由由S3=S11得得d=20当当n=7时时,Sn取最大值取最大值49.则则Sn的图象如图所示的图象如图所示又又S3=S11所以图象的对称轴为所以图象的对称轴为31172n 7n113Sn等差数列的前等差数列的前n项的最值问题项的最值问题例例1.已知等差数列已知等差数列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值时取何值时,Sn取最大值取最大值.解法解法3
12、由由S3=S11得得d=2当当n=7时时,Sn取最大值取最大值49.an=13+(n-1)(-2)=2n+15由由100nnaa 得得152132nn a7+a8=0等差数列的前等差数列的前n项的最值问题项的最值问题例例1.已知等差数列已知等差数列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值时取何值时,Sn取最大值取最大值.解法解法4由由S3=S11得得当当n=7时时,Sn取最大值取最大值49.a4+a5+a6+a11=0而而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又又d=20a70,a80,d0时时,数列数列前面有若干项为正前面有若干项为正,此时所有正项的和为此时所有正项的
13、和为Sn的最大值的最大值,其其n的值由的值由an0且且an+10求求得得.当当a10时时,数列前面有若干项为数列前面有若干项为负负,此时所有负项的和为此时所有负项的和为Sn的最小值的最小值,其其n的值由的值由an 0且且an+1 0求得求得.2.等差数列等差数列an前前n项和的性质项和的性质性质性质1:Sn,S2nSn,S3nS2n,也在等差数列也在等差数列,公差为公差为在等差数列在等差数列an中中,其前其前n项的和为项的和为Sn,则有则有性质性质2:若若Sm=p,Sp=m(mp),则则Sm+p=性质性质3:若若Sm=Sp(mp),则则 Sp+m=性质性质4:(1)若项数为偶数若项数为偶数2n
14、,则则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中为中间两项间两项),此时有此时有:S偶偶S奇奇=,SS 奇奇偶偶n2d0nd1nnaa (m+p)性质性质4:(1)若项数为奇数若项数为奇数2n1,则则 S2n-1=(2n 1)an (an为中间项为中间项),此时有此时有:S偶偶S奇奇=,SS 奇奇偶偶两等差数列前两等差数列前n项和与通项的关系项和与通项的关系性质性质6:若数列若数列an与与bn都是等差数列都是等差数列,且且前前n项的和分别为项的和分别为Sn和和Tn,则则nnab 性质性质5:为等差数列为等差数列.nSnan1nn 2121nnST 例例1.设等差数列
15、设等差数列an的前的前n项和为项和为Sn,若若S3=9,S6=36,则则a7+a8+a9=()A.63 B.45 C.36 D.27例例2.在等差数列在等差数列an中中,已知公差已知公差d=1/2,且且a1+a3+a5+a99=60,a2+a4+a6+a100=()A.85 B.145 C.110 D.90BA3.等差数列等差数列an前前n项和的性质的应用项和的性质的应用例例3.一个等差数列的前一个等差数列的前10项的和为项的和为100,前前100项的和为项的和为10,则它的前则它的前110项的和项的和为为 .110例例4.两等差数列两等差数列an、bn的前的前n项和分项和分别是别是Sn和和T
16、n,且且71427nnSnTn 求求 和和 .55abnnab556463ab 146823nnanbn 等差数列等差数列an前前n项和的性质的应用项和的性质的应用例例5.一个等差数列的前一个等差数列的前12项的和为项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为的项的和之比为32:27,则公差为则公差为 .例例6.(09宁夏宁夏)等差数列等差数列an的前的前n项的和项的和为为Sn,已知已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则则m=.例例7.设数列设数列an的通项公式为的通项公式为an=2n-7,则则|a1|+|a2|+|a3|
17、+|a15|=.510153等差数列等差数列an前前n项和的性质的应用项和的性质的应用例例8.设等差数列的前设等差数列的前n项和为项和为Sn,已知已知a3=12,S120,S13013a1+136d02437d 等差数列等差数列an前前n项和的性质项和的性质(2)11(1)2nSnan nd1(122)(1)2ndn nd25(12)22ddnnSn图象的对称轴为图象的对称轴为5122nd由由(1)知知2437d 由上得由上得51213622d1362n即即由于由于n为正整数为正整数,所以当所以当n=6时时Sn有最大值有最大值.Sn有最大值有最大值.3.等差数列等差数列an前前n项和的性质项和
18、的性质性质性质1:Sn,S2nSn,S3nS2n,也在等差数列也在等差数列,公差为公差为在等差数列在等差数列an中中,其前其前n项的和为项的和为Sn,则有则有性质性质2:若若Sm=p,Sp=m(mp),则则Sm+p=性质性质3:若若Sm=Sp(mp),则则 Sp+m=性质性质4:(1)若项数为偶数若项数为偶数2n,则则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中为中间两项间两项),此时有此时有:S偶偶S奇奇=,SS 奇奇偶偶n2d0nd1nnaa (m+p)性质性质4:(1)若项数为奇数若项数为奇数2n1,则则 S2n-1=(2n 1)an (an为中间项为中间项),
19、此时有此时有:S偶偶S奇奇=,SS 奇奇偶偶两等差数列前两等差数列前n项和与通项的关系项和与通项的关系性质性质6:若数列若数列an与与bn都是等差数列都是等差数列,且且前前n项的和分别为项的和分别为Sn和和Tn,则则nnab 性质性质5:为等差数列为等差数列.nSnan1nn 2121nnST 思考:已知一个无穷等差数列的首项为a1，公差为d：（1）将数列中的）将数列中的前前m项项去掉，其余各项组成一个去掉，其余各项组成一个 新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果 是，它的首项和公差分别是多少？是，它的首项和公差分别是多少？（2）取出数列中的所有）取出数列中的所有奇数项奇数项，组成一个新的，组成一个新的 数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它 它的首项和公差分别是多少？它的首项和公差分别是多少？（3）取出数列中所有）取出数列中所有项数为项数为7的倍数的倍数的各项，组的各项，组 成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？如果是，它的首项和公差分别是多少？
