1、CH3 平面与空间直线复习小结平面与空间直线复习小结一点和方向向量确定的方程一般方程方程法式方程平面一般方程的特例（截距式，三点式）点到平面的距离公式两平面的位置关系0rruavb012012012xxuxvxyyuyvyzzuzvz0000111222,00 xxyyzzrr a bXYZXYZ ）当且仅当）当且仅当 D0 Ax+By+Cz=0 平面通过原点平面通过原点）当当A,B,C 中有一为中有一为0 时时,D0时时,A=0,By+Cz+D=0 平面平行于平面平行于x 轴轴 B=0，Ax+Cz+D=0 平面平行于平面平行于y轴轴 C=0,Ax+By+D=0 平面平行于平面平行于z 轴轴
2、D0时，时，则有一根轴上的所有点都满足方程则有一根轴上的所有点都满足方程.Ax+By=0 平面通过平面通过z 轴轴 By+Cz=0 平面通过平面通过x 轴轴 AxCz=0 平面通过平面通过y 轴轴）当）当A，B，C 中有两个为中有两个为 0 时时,D0,B=C=0，平面平行于，平面平行于 yOz 平面平面 A=C=0，平面平行于，平面平行于 xOz 平面平面 A=B=0，平面平行于平面平行于 xOy平面平面 D0，则由二根轴形成的平面上所有点都满足方程则由二根轴形成的平面上所有点都满足方程.B=C=0，即为即为 yOz 平面平面 A=C=0，即为即为 xOz 平面平面 A=B=0，即为即为xO
3、y平面平面平面的法向量平面的法向量 平面的平面的点法式方程点法式方程：0000.A xxB yyC zz0000,nA B CMxyzcoscoscos0 xyzp平面的坐标式方程，简称平面的坐标式方程，简称法式方程法式方程为为平面的法式方程是具有下列两个特征的一种一般方程：平面的法式方程是具有下列两个特征的一种一般方程：一次项的系数是单位法向量的坐标，它们的平方和等于一次项的系数是单位法向量的坐标，它们的平方和等于1 1；因为因为p是原点是原点O 到平面到平面 的距离，所以常数的距离，所以常数 .0p备注：自原点备注：自原点指向平面的指向平面的单位法向量单位法向量22211,nABC 222
4、2222222220.AxByCzDABCABCABCABCD0.D1112121213131310 xxyyzzxxyyzzxxyyzz1.xyzabc一点和方向数确定的方程方程 一般方程一般方程的特例（两点式）直线直线与平面的位置关系点到直线的距离公式两直线的位置关系,M x y z,v X Y Z0.rrtv000.xxtXyytYzztZ000.xxyyzzXYZ121rrt rr 121121121xxt xxyyt yyzzt zz111212121xxyyzzxxyyzz直线直线的两的两点式点式方程方程1111122222:0:0AxB yC zDA xB yC zD000,xa
5、zcxxyyzzybzdXYZ0000,XYXYabcxz dyzZZZZ1111100011111122222222222:0:0AxB yC zDxxyyzzBCCAABA xB yC zDBCCAAB1111222200011112222,0BDDABDDAxyzABABABAB三、直线方程的一般式与标准式的互化三、直线方程的一般式与标准式的互化ABC找找“点点”和和“方向向量方向向量”找找“点点”和方向向量的方法和方向向量的方法 (见见P118三种解法三种解法)1）方程组消去一个变量，改写成射影式。方程组消去一个变量，改写成射影式。2）找点和方向数，利用上面公式。找点和方向数，利用上面
6、公式。3）直角坐标系下，直角坐标系下，11112222,nA B CnA B C 11111112222222,BCCAABvnnBCCAAB 四、直线与平面的相关位置的条件四、直线与平面的相关位置的条件五、直线与平面的夹角五、直线与平面的夹角000:xxyyzzlXYZ:0AxBy CzD222222sincos,.n vAXBYCZn vn vABCXYZ 0.vnAXBYCZ/.2ABClnvXYZ 0/ll 或特例：特例：10.PPsds六、空间点到直线距离公式六、空间点到直线距离公式 ,pnms 0000,zyxP是是L外一点外一点,设直线设直线L,求求P0到到L的距离的距离d.定理
7、定理3.7.1 3.7.1 判定空间两直线判定空间两直线 的的相关位置相关位置的充要条件为：的充要条件为：异面异面 相交相交 平行平行 重合重合11122212111222:,:xxyyzzxxyyzzllXYZXYZ2121211112220 xxyyzzXYZXYZ 1112220,:XYZXYZ 1112222121210,:XYZXYZxxyyzz 1112222121210,:XYZXYZxxyyzz 1v 2v 1l2l1M2M七、两直线的相关位置七、两直线的相关位置11122212111222:,:xxyyzzxxyyzzllXYZXYZ12,l l12,l l121 21212
8、222222111222cos,X XYYZ Zl lXYZXYZ 1111111:,xxyyzzlXYZ121 2120X XYYZ Z2222222:xxyyzzlXYZ八、空间两直线的夹角八、空间两直线的夹角11122212111222:,:xxyyzzxxyyzzllXYZXYZ121212,M Mv vdvv 1212,M Mv v 12,l l12,v v 九、两异面直线的距离和公垂线九、两异面直线的距离和公垂线11111122222200 xxyyzzXYZXYZxxyyzzXYZXYZ两个异面直线的公垂线方程为：两个异面直线的公垂线方程为：112M N N平面的点位式方程221M N N平面的点位式方程十、平面束十、平面束111122220l AxB yC zDm A xB yC zD技巧：技巧：往往涉及两个或两个以上平面的交线时使用往往涉及两个或两个以上平面的交线时使用有轴平面束有轴平面束；涉及平面间距离或平行关系时使用涉及平面间距离或平行关系时使用平行平面束平行平面束。典型习题 课本P104106，习题1、5、6、7、9 课本P109，习题1、4、5、8 课本P111112，习题1、2、3、4、5 课本P119120，习题1、3、4 课本P123，习题1、3 课本P125，习题2 课本P131，习题3、4、5、7、10 课本P137，习题1、3、5
