1、第二章函数与基本初等函数第二章函数与基本初等函数第第9课时函数的图像课时函数的图像1掌握作函数图像的两种基本方法：描点法和图像变换法2了解图像的平移变换、伸缩变换、对称变换，能利用函数的图像研究函数的性质，以达到识图、作图、用图的目的请注意高考对函数图像的考查形式多样，命题形式主要有由函数的性质及解析式、选图；由函数的图像来研究函数的性质、图像的变换、数形结合解决问题等，其重点是基本初等函数的图像以及函数的性质在图像上的直观体现1函数图像的三种变换(1)平移变换yf(x)的图像向左平移a(a0)个单位，得到_的图像；yf(xb)(b0)的图像可由yf(x)的图像向_个单位而得到；yf(x)的图
2、像向下平移b(b0)个单位，得到 的图像；yf(x)b(b0)的图像可由yf(x)的图像向个单位而得到总之，对于平移变换，记忆口诀为：左加右减，上加下减yf(xa)右平移byf(x)b上平移b(2)对称变换yf(x)与yf(x)的图像关于 对称；yf(x)与yf(x)的图像关于 对称；yf(x)与yf(x)的图像关于对称；y|f(x)|的图像可将yf(x)的图像在x轴下方的部分_，其余部分不变而得到；yf(|x|)的图像可先作出yf(x)当x0时的图像，再作关于y轴的对称y轴x轴原点折到x轴上方(3)伸缩变换yf(ax)(a0)的图像，可将yf(x)的图像上所有点的 坐标变为原来的 倍，坐标
3、而得到yaf(x)的图像，可将yf(x)的图像上所有点的 坐标不变，坐标变为原来的 倍横纵不变横纵a2几个重要结论(1)若f(mx)f(mx)恒成立，则yf(x)的图像关于直线_对称(2)设函数yf(x)定义在实数集上，则函数yf(xm)与yf(mx)(m0)的图像关于直线 对称xmxm1判断下列说法是否正确(打“”或“”)(1)若函数yf(x)满足f(1x)f(1x)，则函数yf(x)的图像关于直线x1对称(2)若函数yf(x)满足f(x1)f(x1)，则函数yf(x)的图像关于直线x1对称(3)当x(0，)时，函数yf(|x|)的图像与y|f(x)|的图像相同(4)函数yf(1x)的图像，
4、可由yf(x)的图像向左平移1个单位得到答案(1)(2)(3)(4)2函数yx|x|的图像经描点确定后的形状大致是()答案D答案A4设ab，函数y(xa)2(xb)的图像可能是()答案C解析由解析式可知，当xb时，f(x)0，由此可以排除A，B选项又当xb时，f(x)0，从而可以排除D.故本题选择C.5若关于x的方程|x|ax只有一个解，则实数a的取值范围是_答案(0，)解析在同一直角坐标系中，画出函数y|x|和函数yxa的图像，即可知当a0时，两函数有且只有一个交点，即|x|ax只有一个解题型一题型一 利用变换作图利用变换作图(2)第一步作ylgx的图像第二步将ylgx的图像沿y轴对折后与原
5、图像，同为ylg|x|的图像第三步将ylg|x|的图像向右平移一个单位，得ylg|x1|的图像第四步将ylg|x1|的图像在x轴下方部分沿x轴向上翻折，得y|lg|x1|的图像，如图(c)探究1画函数图像的一般方法有：(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是基本函数或函数图像是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出(2)图像变换法：若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响对于左、右平
6、移变换，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减；但要注意加、减指的是自变量，否则不成立(3)描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法，为了通过描少量点，就能得到比较准确的图像，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论作出下列函数的图像思考题思考题1(4)先作出ylog2x的图像，再将其图像向下平移一个单位，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图像翻折到x轴上方，即得y|log2x1|的图像，如图题型二题型二 知式选图或知图选式问题知式选图或知图选式问题【解析】函数图像过原点，所以D排除；当x0开始时函数值是负数，而B项原点右侧开始时函数值为正数，所以B排除；当x0时，2x1，2xx
7、210，所以A排除；而C都满足，故选C.【答案】C【答案】A探究2对于给定函数的图像，要能从图像的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性、周期性，注意图像与函数解析式中参数的关系，常用的方法有：(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图像的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题(3)函数模型法：由所提供的图像特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题(1)(2015河北石家庄调研)函数f(x)sinxln|x|的部分图像是()思考题思考题2【答案】A【答案】C例3(1
8、)设函数yf(x)的定义域为实数集R，则函数yf(x1)与yf(1x)的图像关于()A直线y0对称B直线x0对称C直线y1对称 D直线x1对称(2)已知f(x)ln(1x)，函数g(x)的图像与f(x)的图像关于点(1,0)对称，则g(x)的解析式为_题型三题型三 函数图像的对称性函数图像的对称性【解析】(1)方法一：设tx1，则yf(t)与yf(t)，关于t0对称即关于x1对称故选D.方法二：yf(x1)与yf(1x)的图像分别由yf(x)与yf(x)的图像同时向右平移一个单位而得，又yf(x)与yf(x)的图像关于y轴对称yf(x1)与yf(1x)的图像关于直线x1对称(2)设P(x，y)
9、为函数yg(x)上任意一点，则点P(x，y)关于点(1,0)的对称点Q(2x，y)在函数yf(x)图像上，即yf(2x)ln(x1)yln(x1)，g(x)ln(x1)【答案】(1)D(2)g(x)ln(x1)探究3(1)求一曲线关于一点或一直线对称曲线方程一般运用相关点求轨迹的方法(2)下列结论需记住：yf(x)与yf(x)的图像关于y轴对称；yf(x)与yf(x)的图像关于x轴对称；yf(x)与yf(x)的图像关于原点对称；yf(x)与yf1(x)的图像关于yx对称；yf(x)与yf(2mx)的图像关于直线xm对称(1)已知函数f(2x1)是奇函数，则函数yf(2x)的图像关于下列哪个点成
10、中心对称()思考题思考题3【答案】C(2)求证：若函数f(x)满足对任意x，都有f(ax)f(ax)，则函数f(x)的图像关于直线xa对称【证明】设P(x0，y0)为函数yf(x)图像上任意一点则P(x0，y0)关于直线xa的对称点为Q(2ax0，y0)f(2ax0)fa(ax0)fa(ax0)f(x0)y0，点Q(2ax0，y0)也在函数yf(x)的图像上函数yf(x)的图像关于直线xa对称题型四题型四 函数图像的应用函数图像的应用(2)不等式log2(x)x1的解集为_【解析】设f(x)log2(x)，g(x)x1.函数f(x)，g(x)在同一坐标系中的图像如图由图像可知不等式log2(x
11、)x1的解集为x|1x0【答案】(1,0)探究4函数、方程、不等式三者之间有着密切的联系，它们之间的相互转化有时能使问题迎刃而解，本题利用函数的图像来解决方程根的个数问题及不等式求解问题若直线y1与曲线yx2|x|a有四个交点，则实数a的取值范围是_思考题思考题41作图的基本方法是描点法，某些函数的图像也可通过已知图像进行变换而得2识图问题的关键是通过函数的性质进行排除确定3函数图像能直观反映函数的性质，通过图像可以解决许多问题，如不等式问题、方程问题、函数的值域等.1函数ylg|x1|的图像大致为()答案B解析ylg|x1|关于直线x1对称，排除A，D；因函数值可以为负值，故选B.2当0a1时，在同一坐标系中，函数yax与ylogax的图像是()答案C解析当0a1时，yax为增函数且过点(0,1)，ylogax为减函数且过点(1,0)，故应选C.答案B解析当x0时，函数的图像是抛物线yx2(x0时，其函数值y0；yx2x在定义域上为非奇非偶函数，且当x0时，其函数值y0，且当x0时，其函数值y0.故选A.
