1、1 怎样数图形的个数？怎样数图形的个数？ 数长方形数长方形 例 1 如下图，数一数下列各图中长方形的个数？ 分析： 图（）中长方形的个数与 AB 边上所分成的线段的条数有关，每一条线段对应一个长方形， 所以长方形的个数等于 AB 边 上线段的条数，即长方形个数为： 4+3+2+1=10（个）. 图（）中 AB 边上共有线段 4+3+2+1=10 条. BC 边上共有线段：2+1=3（条） ，把 AB 上的每 一条线段作为长， BC 边上每一条线段作为宽， 每一个长配一个宽， 就组成一个长方形， 所以图 （） 中共有长方形为： （4+3+2+1）（2+1）=103=30（个）. 图 （） 中，
2、依据计算图 （） 中长方形个数的方法： 可得长方形个数为：（4+3+2+1） （3+2+1） =60（个）. 解：图（）中长方形个数为 4+3+2+1=10（个）. 图（）中长方形个数为： （4+3+2+1）（2+1）=103=30（个）.图（）中长方形个数为： （4+3+2+1）（3+2+1）=106=60（个）. 小结：一般情况下，如果有类似图的任一个长方形一边上有 n-1 个分点（不包括这条边的 两个端点） ，另一边上有 m-1 个分点（不包括这条边上的两个端点） ，通过这些点分别作对边的平 行线且与另一边相交， 这两组平行线将长方形分为许多长方形， 这时长方形的总数为： （1+2+3+
3、 +m）（1+2+3+n）. 例 2 如下图数一数图中长方形的个数. 解：AB 边上分成的线段有：5+4+3+2+1=15. BC 边上分成的线段有：3+2+1=6. 所以共有长方形： （5+4+3+2+1）（3+2+1） =156 =90（个）. 数正方形数正方形 例 3 数一数下页各个图中所有正方形的个数.（每个小方格为边长为 1 的正方形） 分析：图中，边长为 1 个长度单位的正方形有：22=4（个） ， 边长为 2 个长度单位的正方形有：11=1（个）. 2 所以，正方形总数为 11+22=1+4=5（个）. 图中，边长为 1 个长度单位的正方形有 33=9（个） ； 边长为 2 个长
4、度单位的正方形有：22=4（个） ； 边长为 3 个长度单位的正方形有 11=1（个）. 所以，正方形的总数为：11+22+33=14（个）. 图中，边长为 1 个长度单位的正方形有：44=16（个） ； 边长为 2 个长度单位的正方形有：33=9（个） ； 边长为 3 个长度单位的正方形有：22=4（个） ； 边长为 4 个长度单位的正方形有：11=1（个） ； 所以，正方形的总数为：11+22+33+44=30（个）. 图中，边长为 1 个长度单位的正方形有：55=25（个） ； 边长为 2 个长度单位的正方形有：44=16（个） ； 边长为 3 个长度单位的正方形有：33=9（个） ；
5、边长为 4 个长度单位的正方形有：22=4（个） ； 边长为 5 个长度单位的正方形有：11=1（个）. 所有正方形个数为： 11+22+33+44+55=55（个）. 小结：一般地，如果类似图中，一个大正方形的边长是 n 个长度单位，那么其中边长为 1 个长度单位的正方形个数有： nn=n2 （个） ， 边长为 2 个长度单位的正方形个数有：（n-1） （n-1） =（n-1）2（个）；边长为（n-1）个长度单位的正方形个数有：22=22（个） ，边长为 n 个长 度单位的正方形个数有：11=1（个）.所以，这个大正方形内所有正方形总数为：12+22+32+ +n2（个）. 例 4 如下图，
6、数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为 1 个长度单位的正 方形） . 分析：为叙述方便，我们规定最小正方形的边长为 1 个长度单位，又称为基本线段，图中共 有五类正方形. 一条基本线段为边的正方形个数共有： 65=30（个）. 以二条基本线段为边的正方形个数共有： 54=20（个）. 以三条基本线段为边的正方形个数共有： 43=12（个）. 以四条基本线段为边的正方形个数共有： 32=6（个）. 以五条基本线段为边的正方形个数共有： 21=2（个）. 所以，正方形总数为： 65+54+43+32+21 =30+20+12+6+2=70（个）. 小结：一般情况下，若一长方形的长被分
7、成 m 等份，宽被分成 n 等份， （长和宽上的每一份是 相等的）那么正方形的总数为（nm） ：mn+（m-1） （n-1）+（m-2） （n-2）+（m-n+1） 1 显然例 4 是结论的特殊情况. 例 5 如下图，平面上有 16 个点，每个点上都钉上钉子，形成 44 的正方形钉阵，现有许多皮 筋，问能套出多少个正方形 . 3 分析： 这个问题与前面数正方形的个数是不同的， 因为正方形的边不是先画好的， 而是要我们去确 定的，所以如何确定正方形的边长及顶点，这是我们首先要思考的问题.很明显，我们能围成上图 那样正向正方形 14 个， 除此之外我们还能围出图那样斜向正方形 4 个， 图那样斜向
8、正方形 2 个.但我们不可能再围出比它们更小或更大的斜向正方形，所以斜向正方形一共有 4+2=6 个，总 共可以围出正方形有：14+6=20（个）.我们把上述结果列表分析可知，对于 nn 个顶点， 可作出斜向正方形的个数恰好等于（n-1）（n-1）个顶点时的所有正方形的总数. 数三角形数三角形 例 6 数一数图中有多少个三角形. 解：参把图中三角形分成尖朝上和尖朝下的两类： .尖朝上的三角形有五种： （1）W上=8+7+6+5+4=30 （2）W上=7+6+5+4=22 （3）W上=6+5+4=15 （4）W上=5+4=9 （5）W上=4 尖朝上的三角形共有： 30+22+15+9+4=80（个）. .尖朝下的三角形有四种： （1）W下=3+4+5+6+7=25 （2）W下=2+3+4+5=14 （3）W下=1+2+3=6 （4）W下=1 尖朝下的三角形共有 25+14+6+1=46（个）. 所以尖朝上与尖朝下的三角形总共有 80+46=126（个）
