1、的二次函数。叫做关于是常数，其中一般地，函数xacbacbxaxy)0,(2注意注意:当二次函当二次函数表示某个实际数表示某个实际问题时问题时,还必须根还必须根据题意确定自变据题意确定自变量的取值范围量的取值范围.二次函数的解析式二次函数的解析式y=axy=ax+bx+c+bx+c(其中其中a,b,ca,b,c是常数，是常数，a0)a0)想一想想一想:函数的函数的自变量自变量x是否可是否可以取任何值呢以取任何值呢?1.1.定义：一般地定义：一般地,形如形如y=axy=ax+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常是常数数,a0),a0)的函数叫做的函数叫做x x的的二次函数二次函数.y=
2、ax y=ax+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常数是常数,a0),a0)的几种不同表示的几种不同表示形式形式:(1)y=ax (1)y=ax(a0,b=0,c=0,).(a0,b=0,c=0,).(2)y=ax (2)y=ax+c(a0,b=0,c0).+c(a0,b=0,c0).(3)y=ax (3)y=ax+bx(a0,b0,c=0).+bx(a0,b0,c=0).2.2.定义的实质是：定义的实质是：axax+bx+c+bx+c是整式是整式,自变量自变量x x的最的最高次数是二次高次数是二次,自变量自变量x x的取值范围是全体实数的取值范围是全体实数.思考思考：下列函数中：下
3、列函数中,哪些是二次函数？是二次函数的，哪些是二次函数？是二次函数的，请说出它的二次项系数、一次项系数和常数项：请说出它的二次项系数、一次项系数和常数项：22(1)231(2)3yxyxx是是不是，因为不是整式不是，因为不是整式2,0,3abc 巩固一下吧！巩固一下吧！xy43)1(2)2(xyxy21)3(15.0)8(2xy22)1()1()6(xxy1)5(2xxy3)2()7(2 xy312)4(2xxy12)9(xxy5)10(22 yx1，函数，函数 （其中（其中a、b、c为常数），为常数），当当a、b、c满足什么条件时，满足什么条件时，（1）它是二次函数；）它是二次函数；（2）它
4、是一次函数；）它是一次函数；（3）它是正比例函数；）它是正比例函数；2yaxbxc当当 时，是二次函数；时，是二次函数；0a 当当 时，是一次函数；时，是一次函数；0,0ab当当 时，是正比例函数；时，是正比例函数；0,0,0abc驶向胜利的彼岸驶向胜利的彼岸2，函数，函数 当当m取何值时，取何值时，（1）它是二次函数？）它是二次函数？（2）它是反比例函数？）它是反比例函数？222(2)mymmx（1）若是二次函数，则）若是二次函数，则 且且当当 时，是二次函数。时，是二次函数。222m 2m 220mm（2）若是反比例函数，则）若是反比例函数，则 且且当当 时，是反比例函数。时，是反比例函数
5、。221m 1m 220mm 解析式解析式 使用使用 范围范围一般式一般式已知任意三个点顶点式顶点式已知顶点（h,k)及另一点交点式交点式已知与x轴的两个交点及另一个点y=ax2+bx+cy=a(x-h)2+ky=a(x-x1)(x-x2)二次函数的三种解析式二次函数的三种解析式y=ax2y=ax2+k y=a(x h)2y=a(x h)2 +k上下平移上下平移左右平移左右平移上下平移上下平移左右平移左右平移结论结论:一般地一般地,抛物线抛物线 y=a(x-h)2+k与与y=ax2形状相同形状相同,位置不同。位置不同。小结小结：各种形式的二次函数的关系各种形式的二次函数的关系1、一般二次函数一
6、般二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象特点和函数性质的图象特点和函数性质返回主页前进前进(1)是一条抛物线；是一条抛物线；(2)对称轴是对称轴是:x=-(3)顶点坐标是顶点坐标是:(-,)(4)开口方向开口方向:a0时时,开口向上；开口向上；a0时，对称轴左侧时，对称轴左侧(x-)，函数值，函数值y随随x的增大而的增大而增大增大。a0时，对称轴左侧时，对称轴左侧(x-)，函数值，函数值y随随x的增大而的增大而减小减小。（2）a0时，时，ymin=a0)y=a(x-h)2+k(a0)（h h，k k）（h h，k k）直线直线x=hx=h直线直线x=hx=h由由h h和和k k的符号确定的
7、符号确定由由h h和和k k的符号确定的符号确定向上向上向下向下当当x=hx=h时时,最小值为最小值为k.k.当当x=hx=h时时,最大值为最大值为k.k.在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而减小的增大而减小.在对称轴的右侧在对称轴的右侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大.在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大.在对称轴的右侧在对称轴的右侧,y随着随着x的增大而减小的增大而减小.根据图形填表：根据图形填表：xy0a0 x0 xy0 (2)c确定抛物线与确定抛物线与y轴的交点位置轴的交点位置:c0 x0(0,c)c=0 xy0(0,0)c0 x=-b
8、2aab=0 xy0 x=-b2aab0=0 0b2 4ac=0b2 4ac 0b2 4ac=0b2 4ac0该抛物线与x轴一定有两个交点(2)解:抛物线与x轴相交时 x2-2x-8=0解方程得:x1=4,x2=-2AB=4-(-2)=6而P点坐标是(1,-9)SABC=27xyABP前进前进xyOAxyOBxyOCxyOD 例例3:在同一直角坐标系中，一次函数在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数和二次函数y=ax2+c的图象大致为的图象大致为(二二)根据函数性质判定函数图象之间根据函数性质判定函数图象之间的位置关系的位置关系答案答案:B前进前进 例例4、已知二次函数、已知二次函
9、数y=ax2+bx+c的最的最大值是大值是2，图象顶点在直线，图象顶点在直线y=x+1上，并上，并且图象经过点（且图象经过点（3，-6）。求）。求a、b、c。解：解：二次函数的最大值是二次函数的最大值是2抛物线的顶点纵坐标为抛物线的顶点纵坐标为2又又抛物线的顶点在直线抛物线的顶点在直线y=x+1上上当当y=2时，时，x=1 顶点坐标为（顶点坐标为（1，2）设二次函数的解析式为设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2又又图象经过点（图象经过点（3，-6）-6=a(3-1)2+2 a=-2二次函数的解析式为二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2即：即：y=-2x2+4x(三三)根据函数性质求
10、函数解析式根据函数性质求函数解析式前进前进例例5：已知二次函数已知二次函数y=x2+x-（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。的坐标。（2）设抛物线与）设抛物线与y轴交于轴交于C点，与点，与x轴交于轴交于A、B两点，求两点，求C，A，B的坐标。的坐标。（3）画出函数图象的示意图。）画出函数图象的示意图。（4）求）求MAB的周长及面积。的周长及面积。（5）x为何值时，为何值时，y随的增大而减小，随的增大而减小，x为何值时，为何值时，y有最大有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，为何值时，y0？1232
11、解解:（1）a=0 抛物线的开口向上抛物线的开口向上 y=(x2+2x+1)-2=(x+1)2-2 对称轴对称轴x=-1，顶点坐标，顶点坐标M（-1，-2）121212前进前进 (2)由由x=0，得，得y=-抛物线与抛物线与y轴的交点轴的交点C（0，-）由由y=0，得，得x2+x-=0 x1=-3 x2=1 与与x轴交点轴交点A（-3，0）B（1，0）32323212解解0 x(3)连线连线画对称轴画对称轴x=-1确定顶点确定顶点(-1,-2)(0,-)确定与坐标轴的交点确定与坐标轴的交点及对称点及对称点(-3,0)(1,0)3 2解解0M(-1,-2)C(0,-)A(-3,0)B(1,0)3
12、 2yxD：（4）由对称性可知）由对称性可知MA=MB=22+22=22AB=|x1-x2|=4 MAB的周长的周长=2MA+AB=2 22+4=4 2+4MAB的面积的面积=ABMD=42=41212前进前进解解解解0 xx=-1(0,-)(-3,0)(1,0)3 2:(5)(-1,-2)当当x=-1时，时，y有最小值为有最小值为y最小值最小值=-2当当x-1时，时，y随随x的增大的增大而减小而减小;前进前进解解:0(-1,-2)(0,-)(-3,0)(1,0)3 2yx由图象可知由图象可知(6)当当x1时，时，y 0当当-3 x 1时，时，y 0巩固练习巩固练习:1、填空：、填空：（1）二
13、次函数）二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标的图象顶点坐标是是_对称轴是对称轴是_。（2）抛物线抛物线y=-2x2+4x与与x轴的交点坐标轴的交点坐标是是_（3）已知函数）已知函数y=x2-x-4，当函数值，当函数值y随随x的增大而减小时，的增大而减小时，x的取值范围是的取值范围是_（4）二次函数）二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象的图象经过原点，则经过原点，则m=_。12（，-）125 24x=12（0，0）（2，0）x122.2.选择选择(1)抛物线抛物线y=x2-4x+3的对称轴是的对称轴是_.A 直线直线x=1 B直线直线x=-1 C 直线直线x=2 D直线直线x=-2(2)
14、抛物线抛物线y=3x2-1的的_ A 开口向上开口向上,有最高点有最高点 B 开口向上开口向上,有最低点有最低点 C 开口向下开口向下,有最高点有最高点 D 开口向下开口向下,有最低点有最低点(3)若若y=ax2+bx+c(a 0)与轴交于点与轴交于点A(2,0),B(4,0),则对称轴是则对称轴是_ A 直线直线x=2 B直线直线x=4 C 直线直线x=3 D直线直线x=-3(4)若若y=ax2+bx+c(a 0)与轴交于点与轴交于点A(2,m),B(4,m),则对称轴是则对称轴是_ A 直线直线x=3 B 直线直线x=4 C 直线直线x=-3 D直线直线x=2c cB BCA A3、解答题
15、：、解答题：已知二次函数的图象的顶点坐标为（2，3），且图象过点（3，2）。（1）求此二次函数的解析式；（2）设此二次函数的图象与x轴交于A，B两点，O为坐标原点，求线段OA，OB的长度之和。能力训练能力训练 1、二次函数的图象如图所示，则在下列各不等式二次函数的图象如图所示，则在下列各不等式中成立的个数是中成立的个数是_1-10 xyabc0 a+b+c b2a+b=0 =b-4ac 02、已知二次函数、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。的图象如图。(1)、当、当x为何值时，为何值时，y随随x的增大而增大的增大而增大;(2)、当、当x为何值时，为何值时，y0,c0时时,图象与图象与
16、x轴交点情况是轴交点情况是()A 无交点无交点 B 只有一个交点只有一个交点 C 有两个交点有两个交点 D不能确定不能确定DC归纳小结：归纳小结：（1）二次函数）二次函数y=ax2+bx+c及抛物线的性质和应用及抛物线的性质和应用 注意：图象的递增性，以及利用图象求自变量注意：图象的递增性，以及利用图象求自变量x或函或函数值数值y的取值范围的取值范围返回返回 （2）a，b，c，的正负与图象的位置关系的正负与图象的位置关系 注意：图象与轴有两个交点注意：图象与轴有两个交点A（x1，0），），B（x2，0）时）时AB=|x2-x1|=(x1+x2)2+4x1 x2=这一结论及推导过程。这一结论及推导过程。|a|3.如果关于如果关于x的一元二次方程的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等有两个相等的实数根的实数根,则则m=,此时抛物线此时抛物线 y=x2-2x+m与与x轴有个交点轴有个交点.4.已知抛物线已知抛物线 y=x2 8x+c的顶点在的顶点在 x轴上轴上,则则c=.1116
