1、一元二次方程及其解法（一）直接开平方法【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方
2、程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0，则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若ab+c=0，则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则ab+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.要点二、一元二次方程的解法1
3、直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程： 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据： 平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： 形如关于x的一元二次方程x2=a，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根； 若，则x=0；表示为x1=x2=0，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根 形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程
4、的根.【典型例题】类型一、关于一元二次方程的判定【例1】判定下列方程是不是一元二次方程:(1) ； (2) 【变式】判断下列各式哪些是一元二次方程 ； ； ； ； ； 类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定【例2】把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：(1) 3x24x+2=0； (2)【变式】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项： （1）； （2）类型三、一元二次方程的解（根）【例3】如果关于x的一元二次方程x2+px+q0的两根分别为x12，x21，那么p，q的值分别是( ) A3，2 B3，2 C2，3 D2，3
5、类型四、用直接开平方法解一元二次方程【例4】解方程（1）3x224=0； (2)5(43n)2=320 【变式1】用直接开平方法求下列各方程的根： (1) x2=361； (2) 2y272=0； (3) 5a21=0；(4) 8m2+36=0【变式2】解下列方程： (1) (x+5)2=225； (2) (3y2)2=27； (3) 3(b+4)2=96. 一元二次方程的解法（二）配方法【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法-配方法1配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元
6、二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： 把原方程化为的形式； 将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； 再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； 若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式知识点二、配方法的应用1用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于
7、零（或小于零）而比较出大小.2用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值3用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值4用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程【例1】用配方法解方程x27x1=0
8、【变式】用配方法解方程. (1) x24x2=0； (2) x2+6x+8=0. 类型二、配方法在代数中的应用【例2】若代数式，则的值（）A一定是负数 B一定是正数 C一定不是负数D一定不是正数【例3】用配方法说明： 代数式 x2+8x+17的值总大于0.【变式】求代数式 x2+8x+17的最小值【例4】已知，求的值一元二次方程的解法（三）公式法，因式分解法【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式： 当时，原方程有两个不等的实数根； 当时，原方程有两个相等的实数根； 当时，原方程没有实数根.3.用
9、公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： 把一元二次方程化为一般形式； 确定a、b、c的值（要注意符号）； 求出的值； 若，则利用公式求出原方程的解； 若，则原方程无实根.要点诠释： （1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：. 当时，右端是正数因此，方程有两个不相等的实根： 当时，右端是零因此，方程有两个相等的实根：. 当时，右端是负数因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式
10、的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积；（2） 用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：必须将方程的右边化为0；方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程【例1】用公式法解下列方程 (1) x2+3x+1
11、=0； (2) ； (3) 2x2+3x1=0【变式】用公式法解方程：3x2=4x+1【例2】用公式法解下列方程： (1)； (2) ； （3）2x22x5=0【变式】用公式法解下列方程： ；类型二、因式分解法解一元二次方程【例3】用因式分解法解下列方程： (1) 3(x+2)22(x+2)； (2) (2x+3)2250； （3）x（2x+1）=8x3【例4】解下列一元二次方程： (1)(2x+1)2+4(2x+1)+40； (2)【变式】（1）（x+8）25(x+8)+6=0 （2）【例5】探究下表中的奥秘，并完成填空： 一元二次方程 两个根二次三项式因式分解 x22x+1=0 x1=1，
12、x2=1 x22x+1=（x1）（x1） x23x+2=0 x1=1，x2=2 x23x+2=（x1）（x2） 3x2+x2=0 x1=，x2=13x2+x2=3（x）（x+1） 2x2+5x+2=0 x1=，x2=2 2x2+5x+2=2（x+）（x+2） 4x2+13x+3=0 x1=，x2= 4x2+13x+3=4（x+）（x+）将你发现的结论一般化，并写出来一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【要点梳理】知识点一、一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当
13、=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当0时，一元二次方程没有实数根.要点诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：把一元二次方程化为一般形式；确定a，b，c的值；计算的值；根据的符号判定方程根的情况.2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中，（1）方程有两个不相等的实数根0；（2）方程有两个相等的实数根=0；（3）方程没有实数根0.要点诠释：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则 0.知识点二、一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根
14、是，2.一元二次方程的根与系数的关系的应用 （1）验根不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； （2）已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； （3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：；（4）已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是.（5）已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.设一元二次方程的两根为、，则当0且时，两根同号当0且，时，两根同为正数；当0且，时，两根同为负数当0且时
15、，两根异号 当0且，时，两根异号且正根的绝对值较大；当0且，时，两根异号且负根的绝对值较大要点诠释：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）【典型例题】类型一、一元二次方程根的判别式的应用【例1】不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）2x2+3x-4=0 （2）ax2+bx=0(a0)【变式】不解方程，判别方程根的情况： . 【例2】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）A B且 C D且【变式】m为任意实数，试说明关于x的方程x2（m1）
16、x3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用【例3】已知方程的一个根是2，求另一个根及k的值【变式】已知方程的一个根是3，求它的另一根及c的值【例4】求作一个一元二次方程，使它的两根分别是，一元二次方程的应用【要点梳理】要点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验(检验方程的解能否保证实际问题有意义)答(写
17、出答案，切忌答非所问).要点诠释： 列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.要点二、一元二次方程应用题的主要类型1.数字问题(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、 千位，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、，数位上的数字只能是0、1、2、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数
18、为c，则这个三位数可表示为： 100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x1，x+1.几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x2，x+2.2.平均变化率问题列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题：平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)(2)降低率
19、问题：平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)3.利息问题(1)概念：本金：顾客存入银行的钱叫本金.利息：银行付给顾客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和.期数：存入银行的时间叫期数.利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.(2)公式:利息=本金利率期数利息税=利息税率本金(1+利率期数)=本息和本金1+利率期数(1-税率)=本息和(收利息税时)4.利润(销售)问题利润(销售)问题中常用的等量关系：利润=售价-进价(成本)总利润=每件的利润总件数5.形积问题此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形
20、的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.要点诠释：列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想方程思想.【典型例题】类型一、数字问题【例1】已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少【变式】有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字少2，求这个两位数.类型二、平均变化率问题【例2】2017年5月中央召开了新疆工作座谈会，为实现新疆跨越式发展和长治久安，作出了重要战略决策部署为此我市抓住机遇，加快发展，决定今年投入5亿元用于城市基础设施维护和建设，以后逐年增加，
21、计划到2019年当年用于城市基础设施维护与建设资金达到8.45亿元 (1)求从2017年至2019年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率； (2)若2017年至2019年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率相同，预计我市这三年用于城市基础设施维护和建设资金共多少亿元?【变式】某产品原来每件是600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两次降价的百分数相同，求平均每次降价率.类型三、利润（销售）问题【例3】某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖出(35010a)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20
22、%，商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品?每件商品售价多少元?类型四、形积问题【例4】如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD，求该矩形草坪BC边的长一元二次方程【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1. 一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程2. 一元二次方程的一般式： 3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式
23、方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：一个未知数；未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0要点二、一元二次方程的解法1基本思想 一元二次方程一元一次方程2基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当时，一元二次方
24、程有2个不相等的实数根；（2）当时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a0， 0.要点诠释：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题 2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程要点四、列一元
25、二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为
26、数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念【例1】下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） AB CD【变式】关于x的方程,当a 时为一元一次方程；当a 时为一元二次方程.类型二、一元二次方程的解法【例2】用适当的方法解一元二次方程 (1) ； (2)；(3) 2x2-4x-1=0； (4) 【变式】解方程 (1)(3x-2)2+(2-3x)0； (2)2(t-1)2+t1.类型三、一元二次方程根的判别式的应用【例3】已知关于x的一元二次方程（al）x22x+l0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（） Aa2Ba2 Ca2且
27、alDa2类型四、一元二次方程的根与系数的关系【例4】已知x1、x2是关于x的方程的两个不相等的实数根，（1）求t的取值范围； （2）设，求s关于t的函数关系式【变式】已知关于x的一元二次方程的两实数根为，（1）求m的取值范围；（2）设，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值类型五、一元二次方程的应用【例5】如图所示，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长 【变式】有一块长方形的土地，如图所示，宽为120m，建筑商把它分成三部分：甲、乙、丙甲和乙为正方形，现计划甲建住宅区；乙建商场；丙开辟公园，公园的面积为3200m2，那么这块地长应为多少? 【例6】某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元，空床可全部租出；若每床每晚提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出以每次提高2元的这种方法变化下去，为了每晚获得1120元的利润，每床每晚应提高多少元?
