1、第十一章 三角形11.1 与三角形有关的线段一、三角形的边三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做三角形。 注意点：（1）三条线段（2）不在同一直线上（3）首尾顺次相接三角形的表示：三角形用符号“”表示，记作“ ABC”，读作“三角形ABC”，除此 ABC还可记作BCA, CAB, ACB等.三角形的分类：不等边三角形直角三角形底和腰不相等的等腰三角形锐角三角形等边三角形等腰三角形钝角三角形按角分按边分等腰三角形：两边相等的三角形叫等腰三角形。相等的两边都叫腰，另一边叫做底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。三角形中三边的关系：三角形两边的和大于第三边，三角
2、形两边的差小于第三边。（在做题时，不仅要考虑到两边之和大于第三边，还必须考虑到两边之差小于第三边.）二、三角形的高、中线与角平分线三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形这边的高，简称三角形的高。1、 锐角三角形的三条高交于同一点。三条高都在三角形的内部。2、 直角三角形的三条高交于直角顶点.3、 钝角三角形的三条高不相交于一点。钝角三角形的三条高所在直线交于一点。总结：三角形的三条高的特性锐角三角形直角三角形钝角三角形高在三角形内部的数量311高所在的直线是否相交相交相交相交高之间是否相交相交相交不相交三条高所在直线的交点的位置三角形内部直角顶
3、点三角形外部三角形的三条高所在直线交于一点三角形的中线：在三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段叫做这个三角形这边的中线.三角形中线的符号语言：AD是ABC的中线三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的内部。三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。BD=CD =1/2 BC三角形的角平分线：在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段,叫做三角形的角平分线。AD是 ABC的角平分线BAD = CAD =1/2BAC三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部三、三角形的稳定性三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性11.2 与三角形有关的角四、三角形的内角三角
4、形的内角：三角形两边的夹角叫做三角形的内角。三角形内角和定理：三角形的内角和等于1800.直角三角形的两个锐角互余.由三角形内角和定理可得：有两个角互余的三角形是直角三角形。直角三角形可以用符号“Rt”表示，直角三角形ABC也可以写成RtABC.例：已知ABC中,ABCC=2A ,BD是AC边上的高，求DBC的度数。ADBC小结：由三角形内角和等于180，可得出(1)直角三角形两锐角互余；(2)一个三角形最多有一个直角或钝角；(3)任意一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；(4)一个三角形中至少有一个角小于或等于60。五、三角形的外角三角形的外角：三角形的一边与另一边的反向延长线组成的
5、角三角形的外角和等于360。三角形外角的两条性质：1、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；2、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。11.3 多边形及其内角和六、多边形多边形：在平面内，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。多边形的内角和外角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角；多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. n边形有n个内角，2n个（n对）外角多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。正多边形：如果多边形的各个角都相等，各条边都相等，那么就称它为正多边形.多边形的内角和与外角和：一般地，从n边形的一个
6、顶点出发，可以作（n-3）条对角线，它们将n边形分为(n-2)个三角形，n边形的内角和等于（n2）180.多边形的外角和等于360o.第十二章 全等三角形一、全等三角形全等形：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。能够完全重合的两个图形叫做全等形。两个图形全等，它们的形状一定相同 ，大小一定相等！全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。其中：互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。一个三角形经过平移、旋转、翻折后所得到的三角形与原三角形全等。全等的表示：.“全等”用符号“ ”来表示，读作全等于。书写全等式时要求把对应字母放在对应的位置上全等三
7、角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.二、全等三角形的判定判定定理1：三边对应相等的两个三角形全等。（简写为“边边边”或“SSS”）判定定理2：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。（简写为“边角边”或“SAS”）判定定理3：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等.(简写成“角边角”或“ASA”）判定定理4：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。(简写成“角角边”或“AAS”）判定定理5（直角三角形）：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。（简写成“斜边、直角边”或“HL”）证明的书写步骤：准备条件：证全等时要用的条件要先证好；三角形全等书写三步骤
8、：写出在哪两个三角形中摆出三个条件用大括号括起来写出全等结论例：已知：如图，AB=AD，BC=DC， 求证：ABC ADC证明：在ABC和ADC中AB=AD (已知)BC=DC （已知）AC=AC （公共边） ABC ADC（SSS）CA三、角的平分线的性质1角平分线：一条射线把一个角分成两个相等的2角，这条射线叫做这个角的平分线。OB尺规作角的平分线：画法： 以为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于 分别以，为圆心大于 1/2 的长为半径作弧两弧在的内部交于作射线射线即为所求角平分线的性质：1、 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。用数学语言表示为： QDOA,QEOB,点Q在AOB的平
9、分线上 QDQE2、角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。用数学语言表示为： QDOA，QEOB，QDQE点Q在AOB的平分线上第十三章 轴对称一、轴对称轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形。这条直线是这个图形的对称轴。轴对称：平面上的两个图形，将其中一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称， 简称轴对称,这条直线叫对称轴。两个图形中的对应点（即两图形重合时互相重合的点）叫做关于这条直线的对称点。注意：如果一点在对称轴上，它的对称点就是它本身。例：判断：1、轴对称图形必有
10、对称轴 （ ）2、轴对称图形至少有一条对称轴 （ ）3、关于某直线成轴对称的两个图形必能互相重合（ ）4、两个完全互相重合的图形必是轴对称（ ）垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。图形轴对称的性质：1、 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；2、 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。二、线段的垂直平分线的性质：1、 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；2、 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。尺规作线段的垂直平分线（p63）三、画轴对称图形例：如
11、图，已知ABC和直线l，作出与ABC关于直线l对称的图形。作法：（1） 过点A作直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OA=OA，点A就是点A关于直线l的对称点。（2） 过点B作直线l的垂线，垂足为点P，在垂线上截取PB=PB，点B就是点B关于直线l的对称点。（3） 过点C作直线l的垂线，垂足为点M，在垂线上截取MC=MC，点C就是点C关于直线l的对称点。（4） 连接AB、BC、CA，得到ABC即为所求。作图步骤：1、找特征点 2、作垂线 3、截取等长 4、依次连线四、等腰三角形等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角
12、，腰和底边的夹角叫做底角.等腰三角形的性质：性质1：等腰三角形的两底角相等。（简写成“等边对等角” ）性质2：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合。（简称“三线合一” ）例：在ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求 ABC各角的度数解:AB=AC,BD=BC=AD, ABC= C= BDC A= ADD(等边对等角)设A=x,则 BDC= A+ ABD=2x从而 ABC= C= BDC=2x于是在 ABC中,有 A+ ABC+ C=x+2x+2x=1800.解得x=360在 ABC中, A=360 ,ABC= C=720等腰三角形的判定方法： 如果一个
13、三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简写成“等角对等边”）五、等边三角形等边三角形：三边相等的三角形，叫做等边三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。等边三角形的性质：（1） 边三角形的三边都相等；（2） 边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60。（3） 等边三角形的内角都相等,且都等于60 。等边三角形的判定定理：1、三边相等的三角形是等边三角形.2、三个内角都等于60 的三角形是等边三角形.3、有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半。即在RtABC 中，如果ACB90,A30
14、,那么BC=1/2 AB 第十四章 整式的乘法与因式分解14.1 整式的乘法一、同底数幂的乘法 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即aman=am+n （m,n都是正整数）二、幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘。即（am）n=amn （m,n都是正整数）三、积的乘方 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即(ab)n=an b n（n是正整数）四、整式的乘法单项式乘以单项式：单项式相乘，把它们的系数相乘、字母部分的同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。例：单项式乘以多项式： 用单项式分别去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。例：
15、注意：1、单项式乘多项式的结果仍是多项式，积的项数与原多项式的项数相同。2、在单项式乘法运算中要注意系数的符号。3、不要出现漏乘现象，运算要有顺序。多项式乘以多项式： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加。 例：(3x+1)(x+2) =(3x)x+(3x)2+1x+12 =3x2+6x+x+2 =3x2+7x+2五、同底数幂相除 同底数幂相除，底数不变，指数相减。 即：am/an=am-n （a不等于0，m,n都是正整数，且mn） 规定：a0=1 (a不等于0)，即任何不等于0的数的0次幂都等于1.六、单项式除以单项式 单项式相除，把系数与同底数幂
16、分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 例： 28x4y2 / 7x3y =(28/7)x4-3y2-1 =4xy七、多项式除以单项式 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 例：（12a3-6a2+3a）/3a = 12a3/3a-6a2/3a+3a/3a = 4a2-2a+114.2 乘法公式八、平方差公式两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. 这个公式叫做(乘法的)平方差公式.即：(a+b)(a-b) = a2-b2例： 运用平方差公式计算:(3x+2) (3x-2) = (3x)2-22 =
17、9x2-4(b+2a)(2a-b) =(2a)2-b2 =4a2-b2(-x+2y) (-x-2y) = (-x)2-(2y)2 = x2-4y2 九、完全平方公式 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。即： （a+b）2=a2+2ab+b2 （a-b）2=a2-2ab+b2这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式。14.3 因式分解十、 因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。也叫做把这个多项式分解因式。即：一个多项式 几个整式的积注意：必须分解到每个多项式因式不能再分解为止例：X2-1=(x+1)(x-1)十一、 分解因式的方法：
18、1、 提取公因式法 如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。即： ma + mb + mc = m（a+b+c）例题：把下列各式分解因式 6x3y2-9x2y3+3x2y2 p（y-x）-q（x-y） (x-y)2-y(y-x)22、 运用公式法运用公式法中主要使用的公式有如下几个： a2b2（ab）（ab） 平方差公式 a2 2ab b2 （ab）2 完全平方公式 a2 2ab+ b2 （ab）2 完全平方公式 例题：把下列各式分解因式 x24y2 9x2-6x+1 3、十字相乘法公式：x2+(a+b)x+ab=(x+
19、a)(x+b)例题：把下列各式分解因式 X2-5x+6 a2-a-24、分组分解法分组的原则：分组后要能使因式分解继续下去1、分组后可以提公因式2、分组后可以运用公式例题：把下列各式分解因式解：原式=x2-2x+1-4y2 =(x-1)2-(2y)2 =(x-1+2y)(x-1-2y) 3x+x2-y2-3y x2-2x-4y2+1解：原式=(x2-y2)+(3x-3y)=(x+y)(x-y)+3(x-y)=(x-y)(x+y+3)分解因式的技巧：一提：对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提取公因式。二套：对于二项式，考虑应用平方差公式分解。对于三项式，考虑应用完全平方公式或十字相乘法分解。三
20、分：再考虑分组分解法四查：检查：特别看看多项式因式是否分解彻底第十五章 分式一、分式分式：如果整式A除以整式B, 可以表示成的形式, 且除式B中含有字母，那么称式子为分式. 其中，A叫做分式的分母，B叫做分式的分子。分式的特点：1、 分式是两个整式相除的商式。对于任意一个分式，分母都不为零。即当B不等于0时，分式才有意义。2、 分数线有除号和括号的作用，如：可表示为（x -1) (x -3) . 分式的基本性质：分式的分子与分母乘或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变。约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。经过约分后的分式，其分子与分母没有公因式，像这样分子与分母没有公因
21、式的分式，叫做最简分式。通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。二、分式的运算 分式的乘除：分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 上述法则用式子表示为： 例子：p136 例1分式的的乘方：分式乘方要把分子、分母分别乘方。 即：例：p139 例5分式的加减：法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 用式子表示为： 例子：p141 练习 计算2整数指数幂：整数指数幂的运算性质：若m,n为整数，且a0,b0，则有 例：p144 例9三、分式方程分式方程：如方程，像这样，分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为，则整式方程的解是原分式方程的解，否则这个解就不是原分式方程的解解分式方程的一般步骤：1、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.2、解这个整式方程.3、把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.4、写出原方程的根.例：p151 例1 例2
