1、第三章 指数函数和对数函数 6 指数函数、幂函数、对数 函数增长的比较 1.了解指数增长、幂增长、对数增长的意义. 2.能结合具体实际问题，建立恰当函数模型. 学习 目标 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 栏目 索引 知识梳理 自主学习 知识点一 三种函数模型的性质 1.当a1时， 指数函数yax在R上是增函数，对数函数ylogax在(0，)上是增 函数； 当0a1时，指数函数yax在R上是减函数， 对数函数ylogax在(0，)上是减函数. 2.幂函数yx，当0时，在(0，)上是增函数. 知识点二 三种函数的增长趋势 当a1时，指数函数yax是 ，并且当a越大时，其
2、函数值的 增长就 . 当a1时，对数函数ylogax是 ，并且当a越小时，其函数值 的增长就 . 当x0，n1时，幂函数yxn是 ，并且当x1时，n越大其 函数值的增长就 . 答案 增函数 越快 增函数 越快 增函数 越快 知识点三 三种函数的增长对比 对数函数ylogax(a1)增长最慢，幂函数yxn(n0)，指数函数y ax(a1)增长的快慢交替出现，当x足够大时，一定有 . 答案 axxnlogax 返回 题型探究 重点突破 解析答案 题型一 函数模型的增长差异 例 1 (1)当 x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( ) A.y10 000x B.ylog2x C.yx1
3、000 D.y e 2 x 解析 由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当 x 越来越大时，函数 y e 2 x 增长速度最快. D 解析答案 (2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表： x 1 5 10 15 20 25 30 y1 2 26 101 226 401 626 901 y2 2 32 1 024 32 768 1.05106 3.36107 1.07109 y3 2 10 20 30 40 50 60 y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 关于x呈指数函数变化的变量是_. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练 1 下列函数
4、中，随 x 增大而增大速度最快的是( ) A.2 014ln x B.yx2 014 C.y x 2 014 D.y2 014 2 x 解析 由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y 2 014 2x的增长速度最快.故选D. D 题型二 几种函数模型的比较 例2 某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种 植成本y(单位：元/102kg)与上市时间x(单位：天)的数据如下表： 解析答案 时间x 50 110 250 种植成本y 150 108 150 (1)根据上述表格中的数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植 成本y与上市时间x的变化关系： yaxb，y
5、ax2bxc， ya bx，yalogax. 解析答案 (2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低的上市天数及最低种 植成本. 解 当x150时，ymin100(元/102kg). 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2 某汽车制造商在2013年初公告：随着金融危机的解除，公司 计划2013年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表 所示： 年份 2010 2011 2012 产量 8(万) 18(万) 30(万) 如果我们分别将2010,2011,2012,2013定义为第一、二、三、四年.现在你 有两个函数模型：二次函数模型f(x)ax2bxc(a0)，指数函数模型 g(x)a
6、 bxc(a0，b0，b1)，哪个模型能更好地反映该公司年产量y 与年份x的关系？ 对几种函数的增长趋势把握不准致误 易错点 解析答案 例3 甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路 程fi(x)(i1,2,3,4)关于时间x(x0)的函数关系式分别为f1(x)2x1，f2(x) x2，f3(x)x，f4(x)log2(x1).有以下结论： 当x1时，甲走在最前面； 当x1时，乙走在最前面； 当01时，有下列结论： 指数函数yax，当a越大时，其函数值的增长越快； 指数函数yax，当a越小时，其函数值的增长越快； 对数函数ylogax，当a越大时，其函数值的增长越快； 对数函
7、数ylogax，当a越小时，其函数值的增长越快. 其中正确的结论是( ) A. B. C. D. B 1 2 3 4 5 解析答案 3.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x 倍，需经过y年，则函数yf(x)的图像大致是( ) 解析 设该林区的森林原有蓄积量为a， 由题意得，axa(10.104)y，故ylog1.104x(x1)， yf(x)的图像大致为D中图像. D 1 2 3 4 5 4.当2x4时，2x，x2，log2x的大小关系是( ) A.2xx2log2x B.x22xlog2x C.2xlog2xx2 D.x2log2x2x 解析 方法一 在同一平面
8、直角坐标系中分别画出函数ylog2x，yx2， y2x在区间(2,4)上从上往下依次是yx2，y2x，ylog2x的图像，所以 x22xlog2x. 方法二 比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法. 可取x3，经检验易知选B. B 解析答案 1 2 3 4 5 5.某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天 可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为 _. 解析答案 解析 设解析式为ykxb， 由 30k80b， 20k120b， 解得 k1 4，b50， y1 4x50(0x200). y1 4x50(0x200) 课堂小结 三种函数模型的选取 (1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型. (2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常 选用对数函数模型. (3)幂函数模型yxn(n0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n值较 小(n1)时，增长较慢；n值较大(n1)时，增长较快. 返回
