1、第四章 函数应用 2 实际问题的函数建模 1.会利用已知函数模型解决实际问题. 2.能建立函数模型解决实际问题. 学习 目标 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 栏目 索引 知识梳理 自主学习 知识点一 常见函数模型 常 用 函 数 模 型 (1)一次函数模型 ykxb(k，b为常数，k0) (2)二次函数模型 yax2bxc(a，b，c为常数，a0) (3)指数函数模型 ybaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1) (4)对数函数模型 ymlogaxn(m，a，n为常数，m0，a0且a1) (5)幂函数模型 yaxnb(a，b为常数，a0) (6)分段函数 y a
2、xbx120， 两边取常用对数得lg100(11.2%)xlg 120， 整理得2xlg 1.0122lg 1.2，得x16， 所以大约16年以后，该城市人口将达到120万人. 解析答案 题型三 分段函数模型 例3 如图所示，等腰梯形ABCD的两底分别为AD2，BC1，BAD 45，直线MNAD交AD于M，交折线ABCD于N，记AMx，试将梯形 ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域和 值域. 解析答案 反思与感悟 跟踪训练3 通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依 赖于老师引入概念和描述问题所用的时间.讲座开始时，学生的兴趣激增， 中间有一段不太长的
3、时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的 注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念 的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间 (单位：min)，可有以下的公式： 解析答案 f(x) 0.1x22.6x43，0x10， 59，10x16， 3x107，16x30. (1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？ (2)开讲后5 min与开讲后20 min比较，学生的接受能力何时强一些？ 解析答案 解 f(5)0.1(513)259.959.96.453.5， f(20)3201074753.5f(5). 因此，开讲后5
4、min学生的接受能力比开讲后20 min强一些. (3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13 min时间，老师能否及时 在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？ 解析答案 题型四 拟合函数模型的应用 例4 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观 察站，测量最大积雪深度x cm与当年灌溉面积y hm2.现有连续10年的实测 资料，如下表所示. 年序 最大积雪深度x/cm 灌溉面积y/hm2 1 15.2 28.6 2 10.4 21.1 3 21.2 40.5 4 18.6 36.6 5 26.4 49.8 解析答案 6 23.4 45.0 7 13.5 29.
5、2 8 16.7 34.1 9 24.0 45.8 10 19.1 36.9 (1)描点画出灌溉面积y(hm2)随积雪深度x(cm)变化的图像； 解 描点作图如图甲. (2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型yf(x)，并画出图像； 解析答案 代入 yaxb，得 21.110.4ab， 45.824.0ab， 用计算器可算得a1.8，b2.4. 这样，我们得到一个函数模型y1.8x2.4. 作出函数图像如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度 较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系. 解 从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假 设灌溉面积y和
6、最大积雪深度x满足线性函数模型yaxb. 取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)， (3)根据所建立的函数模型，求最大积雪深度为25 cm时，可以灌溉的 土地数量. 解 由y1.8252.4，求得y47.4，即当最大积雪深度为25 cm时， 可以灌溉土地47.4 hm2. 解析答案 反思与感悟 跟踪训练4 我国1999年至2002年国内生产总值(单位：万亿元)如下 表所示： 解析答案 (1)画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关 系式； 年份 1999 2000 2001 2002 x/年 0 1 2 3 生产总值 8.206 7 8.944 2 9
7、.593 3 10.239 8 (2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较. 解 由得到的关系式计算出2000年和2001年的国内生产总值分别为 f(1)0.677 718.206 78.884 4， f(2)0.677 728.206 79.562 1. 与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元. 解析答案 解析答案 建立函数模型时忽略自变量的取值范围致误 易错点 例5 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数不超过30， 游客需付给旅行社飞机票每张900元；若每团人数多于30，则给予优惠： 每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止.旅行社需付给 航空公
8、司包机费每团15 000元. (1)写出飞机票的价格y(单位：元)关于人数x(单位：人)的函数关系式； 解 由题意，得 y 900，0x30， 90010x30，30x75， 即 y 900，0x30， 1 20010x，305时，函数f(x)为单调递减函数. 当年产量为475件时，公司所得利润最大. 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 1.某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示. 时间 1 2 3 4 利润(千元) 2 3.98 8.01 15.99 现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的( ) A.ylog2x B.y2x C.yx2 D.y2x 解析 逐个检验可得答案为
9、B. B 解析答案 1 2 3 4 5 2.一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km，则这辆汽车行驶的 路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是( ) A.y2t B.y120t C.y2t(t0) D.y120t(t0) D 答案 1 2 3 4 5 答案 3.小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看 10分钟报纸后，用20分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开 家的时间与距离之间的关系的是( ) D 1 2 3 4 5 4.里氏震级M的计算公式为：Mlg Alg A0，其中A是测震仪记录的地 震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅.
10、假设在一次地震中， 测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次 地震的震级为_级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的 _倍. 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 5.用一根长为12 m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最 大面积是_ m2. 解析 设矩形的一边长为x m， 9 则与这条边垂直的边长为122x 2 m， 所以矩形面积 Sx 122x 2 x26x(0x6)， 当x3 m时，S最大9 m2. 课堂小结 1.函数模型的应用实例主要包括三个方面： (1)利用给定的函数模型解决实际问题； (2)建立确定性的函数模型解决实际问题； (3)建立拟合函数模型解决实际问题. 2.在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量 的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以 使结果符合实际问题的要求. 3.在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引 入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化. 4.根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基 本过程，如下图所示. 返回
