1、第二章 1 生活中的变量关系2 对函数的进一步认识 2.3 映 射 1.了解映射、一一映射的概念及表示方法. 2.了解像与原像的概念. 3.了解映射与函数的区别与联系. 学习 目标 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 栏目 索引 知识梳理 自主学习 知识点一 映射的概念 1.两个 集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的 元 素 x，B中总有 的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射， 记作f：AB. 2.像与原像的概念 在映射f：AB中， 称为原像， 称 为 x 的 像，记作 . 答案 非空 每一个 唯一 A中的元素x B中的对应元素y f：xy 知识点
2、二 一一映射 一一映射是一种特殊的映射，它满足： A中每一个元素在B中都有 与之对应； A中的 元素的像也不同； B中的每一个元素都有 . 答案 唯一的像 不同 原像 知识点三 函数与映射 设A、B是两个非空数集，f是A到B的一个 ，那么映射 就叫 作A到B的函数.即函数是一种特殊的映射，是从 到 的映射. 答案 映射 非空数集 非空数集 f：AB 思考 函数与映射有何区别与联系？ 答案 答 函数是一种特殊的映射，即一个对应关系是函数，则一定是映射， 但反之，一个对应关系是映射，则不一定是函数. 返回 题型探究 重点突破 题型一 映射的概念 例1 判断下列对应是不是映射？ (1)Ax|0x3，
3、By|0y1，f：y1 3x，xA，yB； 解 是映射. 解析答案 (2)AN，BN*，f：y|x1|，xA，yB； 解 对于A中的元素1，在f作用下的像是0，而0B，故(2)不是映射. (3)Ax|0x1，By|y1，f：y1 x，xA，yB； 解析答案 解 是映射. 反思与感悟 (4)AR，By|yR，y0，f：y|x|，xA，yB. 解 对于A中的元素1和1，在f作用下的像都是1，所以f是映射. 解析答案 跟踪训练 1 下列对应是从集合 M 到集合 N 的映射的是( ) MNR， f： xy1 x， xM， yN； MNR， f： xyx 2， xM， yN；MNR，f：xy 1 |x|
4、x，xM，yN；MNR，f：xy x3，xM，yN. A. B. C. D. 题型二 求某一映射中的像或原像 例2 设f：AB是A到B的一个映射，其中AB(x，y)|x，yR， f：(x，y)(xy，xy). (1)求A中元素(1,2)的像； 解 A中元素(1,2)在B中对应的元素为(12，12)，即A中元素 (1,2)的像为(3,1). 解析答案 (2)求B中元素(1,2)的原像. 解析答案 解 设 A 中元素(x，y)与 B 中元素(1,2)对应，则 xy1， xy2， 解得 x1 2， y3 2. 所以 B 中元素(1,2)的原像为(1 2， 3 2). 反思与感悟 解析答案 跟踪训练
5、2 设集合 A、B 都是坐标平面上的点集(x，y)|xR，yR， 映射 f：AB 使集合 A 中的元素(x，y)映射成集合 B 中的元素(xy，x y)，则在 f 作用下，像(2,1)的原像是( ) A.(3,1) B. 3 2， 1 2 C. 3 2， 1 2 D.(1,3) 解析 由 xy2， xy1， 得 x3 2， y1 2. 故选 B. B 解析答案 题型三 映射的个数问题 例3 已知Aa，b，c，B1,2. (1)从A到B可以建立多少个不同的映射？从B到A呢？ 解 从A到B可以建立8个映射，如下图所示. 从B到A可以建立9个映射，如图所示. 解析答案 (2)若f(a)f(b)f(c
6、)0，则从A到B的映射中满足条件的映射有几个？ 解 欲使f(a)f(b)f(c)0，需a，b，c中有两个元素对应1，一个元 素对应2，共可建立3个映射. 反思与感悟 跟踪训练3 设集合Aa，b，B0,1，则从A到B的映射共有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 解析答案 解析 列举法. fa0， fb0， fa0， fb1， fa1， fb0， fa1， fb1， 共 4 个. C 解析答案 求映射的个数出错 易错点 例4 已知集合Aa，b，集合Bc，d，则由A到B的对应中，映射 有几个？ 解析答案 返回 跟踪训练4 设Ma，b，c，N1,0,1，若从M到N的映射f满 足：f(a)f
7、(b)f(c)，求这样的映射f的个数. 当堂检测 1 2 3 4 5 1.下列集合A到集合B的对应中，构成映射的是( ) 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 解析 由题意得 xy4， xy2， 解得 x1， y3. 2.已知集合A中元素(x，y)在映射f下对应B中元素(xy，xy)，则B中元 素(4，2)在A中对应的元素为( ) A.(1,3) B.(1,6) C.(2,4) D.(2,6) A 1 2 3 4 5 解析答案 3.已知集合 A0,4，B0,2，按照对应关系 f 不能成为从集合 A 到集 合 B 的一个映射的是( ) A.f：xy1 2x B.f：xyx2 C.f：xy x
8、D.f：xy|x2| 解析 A、C、D均满足映射的定义，B不满足集合A中任一元素在集合B 中都有唯一元素与之对应，且A中元素0在B中无元素与之对应. B 1 2 3 4 5 4.集合Aa，b，Bc，d，e，则从A到B可以建立不同的映射个 数为( ) A.5 B.6 C.8 D.9 答案 D 1 2 3 4 5 解析答案 5.设f：AB是从集合A到B的映射，AB(x，y)|xR，yR，f：(x， y)(kx，yb)，若B中元素(6,2)在映射f下的原像是(3,1)，则k，b的值分 别为_. 解析 由题意得 3k6， 1b2， 得 k2， b1. 2,1 课堂小结 1.对映射的定义，应注意以下几点： (1)集合A和B必须是非空集合，它们可以是数集、点集，也可以是其他集合. (2)映射是一种特殊的对应，对应关系可以用图示或文字描述的方法来表达. 2.映射的特征 (1)任意性：A中任意元素x在B中都有元素y与之对应，即A中元素不能空着. (2)唯一性：从集合A到集合B的映射，允许多个元素对应一个元素，而不允 许一个元素对应多个元素，即一对多不是映射. (3)方向性：f：AB与f：BA，一般是不同的映射. 3.映射与函数的关系 函数是特殊的映射，即当两个集合A，B均为非空数集时，则从A到B 的映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函数，映射 是函数的推广. 返回
