1、3 空间直角坐标系 3.1 空间直角坐标系的建立 3.2 空间直角坐标系中点的坐标 1.1.如何确定空中飞行的飞机的位置？如何确定空中飞行的飞机的位置？ y O x 2.2.教室里某位同学的头部所在的位置教室里某位同学的头部所在的位置 z O 数轴上的点可以用数轴上的点可以用 唯一的唯一的一个实数一个实数表示表示 - -1 - -2 1 2 3 A B 数轴上的点数轴上的点 x y P O x y (x,y) 平面中的点可以用平面中的点可以用 有序有序实数对实数对(x，y) 来表示来表示 平面坐标系中的点平面坐标系中的点 在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, , 平面上任意一点的位置，平面上
2、任意一点的位置， 可以用坐标唯一表示可以用坐标唯一表示. . 那么空间中任意一点的位置，可以用坐标表示那么空间中任意一点的位置，可以用坐标表示 吗？怎样用坐标表示吗？怎样用坐标表示? ?请进入本节课的学习！请进入本节课的学习！ 1. 1. 了解了解建立空间直角坐标系的建立空间直角坐标系的背景背景. . （重点）（重点） 2. 2. 掌握建立空间直角坐标系的掌握建立空间直角坐标系的方法方法. . （重点）（重点） 3. 3. 会在空间直角坐标系中表示会在空间直角坐标系中表示点的坐标点的坐标. . （难点）（难点） 墙墙 墙墙 地面地面 下图是一个房间的示意图下图是一个房间的示意图, ,我们来探讨
3、表示电灯位置的我们来探讨表示电灯位置的 方法方法. . z z 1 3 4 x x 4 y y 1 5 O (4,5,3)(4,5,3) 探究点探究点1 1 空间直角坐标系的建立空间直角坐标系的建立 O x y z 从空间某一个定点从空间某一个定点O O引三条引三条 互相垂直且有相同单位长度的互相垂直且有相同单位长度的 数轴，这样就建立了空间直角数轴，这样就建立了空间直角 坐标系坐标系O O- -xyzxyz 点点O O叫作叫作坐标原点，坐标原点，x x，y y，z z轴统称为轴统称为坐标轴，坐标轴， 这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称 为
4、为x xO Oy y平面、平面、 y yO Oz z平面和平面和 x xO Oz z平面平面 空间直角坐标系空间直角坐标系 右手系：右手系：伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四 指先指向指先指向x x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转 指向指向y y轴正方向，此时大拇指的指向即为轴正方向，此时大拇指的指向即为z z轴正向轴正向. . 我们也称这样的坐标系为右手系我们也称这样的坐标系为右手系 说明说明: : 本书建立的坐标系本书建立的坐标系 都是右手直角坐标系都是右手直角坐标系. . o 90 思考思考1 1：有了空间直角坐标
5、系，那空间中的任意一点有了空间直角坐标系，那空间中的任意一点 怎样来表示它的坐标呢？怎样来表示它的坐标呢？ o o x x y y z z a a b b c c (a,b,c)(a,b,c) 探究点探究点2 2 空间直角坐标系中点的坐标空间直角坐标系中点的坐标 提示提示: :经过经过A A点作三个平面分别垂直于点作三个平面分别垂直于x x轴、轴、y y轴和轴和 z z轴，它们与轴，它们与x x轴、轴、y y轴和轴和z z轴分别交于三点，三点轴分别交于三点，三点 在相应的坐标轴上的坐标在相应的坐标轴上的坐标a,b,ca,b,c组成的有序实数组成的有序实数 对（对（a,b,c)a,b,c)叫作点
6、的坐标叫作点的坐标. . 记为（记为（a,b,c).a,b,c). x yo z xoy面面 yoz面 面 zox面面 空间直角坐标系共有八个卦限空间直角坐标系共有八个卦限 x xO Oy y平面上的点竖坐标为平面上的点竖坐标为0 0 y yO Oz z平面上的点横坐标为平面上的点横坐标为0 0 x xO Oz z平面上的点纵坐标为平面上的点纵坐标为0 0 x x轴上的点纵坐标和竖坐标都为轴上的点纵坐标和竖坐标都为0 0 z z轴上的点横坐标和纵坐标都为轴上的点横坐标和纵坐标都为0 0 y y轴上的点横坐标和竖坐标都为轴上的点横坐标和竖坐标都为0 0 一、坐标平面内的点一、坐标平面内的点 二、
7、坐标轴上的点二、坐标轴上的点 O x y z 1 1 1 A D C B E F 特殊位置的点的坐标特殊位置的点的坐标 【提升总结提升总结】 思考思考2 2：在空间直角坐标系中，空间任意一点在空间直角坐标系中，空间任意一点A A与有与有 序数组序数组(x,y,z)(x,y,z)有什么关系？有什么关系？ 提示：提示：在空间直角坐标系中，空间任意一点在空间直角坐标系中，空间任意一点A A与有序与有序 数组数组(x,y,z)(x,y,z)之间是一种一一对应关系之间是一种一一对应关系. . （1 1）过点）过点A A作三个平面分别垂直于作三个平面分别垂直于x x轴，轴，y y轴，轴，z z轴，轴， 它
8、们与它们与x x轴，轴，y y轴，轴，z z轴分别交于点轴分别交于点P P，Q,R,Q,R,点点P,Q,RP,Q,R在在 相应数轴上的坐标依次为相应数轴上的坐标依次为x x，y y，z.z.这样，对空间任这样，对空间任 意一点意一点A A，就定义了一个有序数组，就定义了一个有序数组(x,y,z)(x,y,z) （2 2）反之，对任意一个有序数组（）反之，对任意一个有序数组（x,y,z)x,y,z)，按照，按照 上述作图的相反顺序，在坐标轴上分别作出点上述作图的相反顺序，在坐标轴上分别作出点 P,Q,RP,Q,R，使它们在，使它们在x x轴，轴，y y轴，轴，z z轴上的坐标分别是轴上的坐标分别
9、是x x， y y，z z，再分别过这些点作垂直于各自所在的坐标轴，再分别过这些点作垂直于各自所在的坐标轴 的平面，这三个平面的交点就是所求的点的平面，这三个平面的交点就是所求的点A A 思考思考3：空间直角坐标系的建系不同空间直角坐标系的建系不同,点的坐标相同吗点的坐标相同吗? 提示：提示：建立坐标系是解题的关键建立坐标系是解题的关键, ,坐标系建立的不同坐标系建立的不同, , 点的坐标也不同点的坐标也不同, ,但点的相对位置是不变的但点的相对位置是不变的, ,坐标系的坐标系的 不同也会引起解题过程的难易程度不同，因此解题时不同也会引起解题过程的难易程度不同，因此解题时 建立空间直角坐标系要
10、慎重建立空间直角坐标系要慎重. . 例例1 1 如图点如图点P P 在 在x x轴正半轴上，轴正半轴上，|OP|=2,PP|OP|=2,PP 在在xOzxOz平面上，且垂直于平面上，且垂直于x x轴，轴，|PP|=1|PP|=1，求点，求点PP 和和P P的坐标的坐标. . 解：解：点点P P 的坐标为（ 的坐标为（2,0,02,0,0）, ,点点P P的的 坐标为坐标为(2,0,1)(2,0,1)或或(2,0,(2,0,- -1).1). C D B A C O A B z y x (0,0,2) D (3,0,2) A (0,4,0)C (3,4,2) B 在长方体在长方体OABCOABC
11、- -DABCDABC中，中， |OA|=3, |OA|=3, |OC|=4, |OD|=2,|OC|=4, |OD|=2,写出写出DD，AA，BB，C C四点的四点的 坐标坐标. . 【变式练习变式练习】 例例2 2在空间直角坐标系中作出点在空间直角坐标系中作出点P(3,P(3,- -2,4).2,4). 解解: :先确定点先确定点P P (3, (3,- -2,0)2,0)在在xOyxOy平面上的位置平面上的位置. . 因为点因为点P P的的z z坐标为坐标为4,4, 则则|P|P P|=4 P|=4，且点，且点P P和和z z轴的正轴的正 半轴在半轴在xOyxOy平面的同侧，这样平面的同
12、侧，这样 就确定了点就确定了点P P在空间直角坐标在空间直角坐标 系中的位置系中的位置, ,如图所示如图所示. . p(3,-2,4) p(3,-2,0) z x y O 例例3.3.在同一个空间直角坐标系中画出下列各点：在同一个空间直角坐标系中画出下列各点： A A（0 0，0 0，0 0），），B B（3 3，0 0，0 0），），C C（3 3，2 2，0 0），）， D D（0 0，2 2，0 0），），A A （ （0 0，0 0，1 1），），B B （ （3 3，0 0，1 1），）， C C （ （3 3，2 2，1 1），），D D （ （ 0 0，2 2，1 1）. . 解
13、：解：在空间直角坐标系中，画在空间直角坐标系中，画 出以上各点，如图，它们刚好出以上各点，如图，它们刚好 是一个长方体的八个顶点是一个长方体的八个顶点. . y x O z 1 1 1 A B C D E F 在空间直角坐标系中描出下列各在空间直角坐标系中描出下列各 点点. . A A（0,1,10,1,1） B B（0,0,20,0,2） C C（0,2,00,2,0） D D（1,0,31,0,3） E E（2,2,02,2,0） F F（1,0,01,0,0） 解：解：在空间直角坐标系中，在空间直角坐标系中， 画出以上各点画出以上各点 如图：如图： 【变式练习变式练习】 想 一 想 ？
14、想 一 想 ？ 在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中, x, x轴上轴上 的点、的点、xOyxOy坐标平面内的点的坐标坐标平面内的点的坐标 各有什么特点？各有什么特点？ ),(zyxM x y z )0 , 0 ,(xP )0 , 0(yQ ), 0 , 0(zR )0 ,(yxA ), 0(zyB C(x,0,z) )0 , 0 , 0(O 1 1x轴上的点横坐标就是与轴上的点横坐标就是与x轴交点轴交点 的坐标，纵坐标和竖坐标都是的坐标，纵坐标和竖坐标都是0 0 2 2xOy坐标平面内坐标平面内 的点的竖坐标为的点的竖坐标为0 0， 横坐标与纵坐标分横坐标与纵坐标分 别是点向两轴作垂别是点向
15、两轴作垂 线交点的坐标线交点的坐标 1.1.在空间直角坐标系中，点在空间直角坐标系中，点A A（1,2,11,2,1）关于）关于x x轴对轴对 称的点的坐标为（称的点的坐标为（ ） A.A.（- -1 1，2 2，1 1） B.B.（- -1 1，- -2 2，1 1） C.C.（1 1，- -2 2，- -1 1） D.D.（1 1，2 2，- -1 1） C C 2.2.在空间直角坐标系中，点在空间直角坐标系中，点P(3,1,5)P(3,1,5)关于关于yOzyOz平面平面 对称的点的坐标为（对称的点的坐标为（ ） A.A.（- -3 3，1 1，5 5） B.(B.(- -3 3，- -
16、1 1，- -5) 5) C.(3C.(3，- -1 1，- -5) D.(5) D.(- -3 3，1 1，- -5)5) A A 3 3有下列叙述：有下列叙述： 在空间直角坐标系中，在在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定可轴上的点的坐标一定可 记为记为(0(0，b，c) )； 在空间直角坐标系中，在在空间直角坐标系中，在y轴上的点的坐标一定可轴上的点的坐标一定可 记为记为(0(0，b, ,0)0)； 在空间直角坐标系中，在在空间直角坐标系中，在xOy平面上的点的坐标一平面上的点的坐标一 定可记为定可记为( (a, ,0 0，c) )； 在空间直角坐标系中，在在空间直角坐标系中，在yO
17、z平面上的点的坐标一平面上的点的坐标一 定可记为定可记为(0(0，b，c) ) 其中叙述正确的个数是其中叙述正确的个数是_ 2 2 4.4.如图，长方体如图，长方体OABC OABC DABCDABC中，中，|OA| |OA| = 3= 3，|OC| = 4|OC| = 4，|OD| = 3|OD| = 3，ACAC与与BDBD相相 交于点交于点P.P.分别写出点分别写出点C,B,PC,B,P的坐标的坐标. . 答案：答案：C,B,P 各点的坐标分别是各点的坐标分别是 (0，4，0)，(3，4，3)， 3 (,2,3) 2 . 5.5.如图，棱长为如图，棱长为3a3a的正方体的正方体OABCO
18、ABC- -D DA AB BC C，点，点M M 在在B BC C上，且上，且|C|CM|=2|MBM|=2|MB| |，以，以O O为坐标原点，建为坐标原点，建 立如图空间直角坐标系，求点立如图空间直角坐标系，求点M M的坐标的坐标. . 解：解：由图形可知，由图形可知，M M点在正方体的上点在正方体的上 底面，所以底面，所以M M点的竖坐标与点的竖坐标与DD的竖坐标的竖坐标 相同，相同，M M在面在面BCCBBCCB上，得到点的上，得到点的 纵坐标为纵坐标为3a3a，因为，因为 所以所以M M点的横坐标是点的横坐标是2 2a， 所以所以M M点的坐标是（点的坐标是（2 2a，3 3a，3 3a） C M2 MB， 1 1空间直角坐标系的概念空间直角坐标系的概念 2 2空间直角坐标系的画法空间直角坐标系的画法 3 3运用空间直角坐标系表示空间点的坐标运用空间直角坐标系表示空间点的坐标
