1、5 简单的幂函数 第二章 函 数 1.了解幂函数的定义及几个常见的幂函数的图像与性质. 2.理解函数奇偶性及其几何意义，会判断函数的奇偶性. 学习 目标 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 栏目 索引 知识梳理 自主学习 知识点一 幂函数的定义 如果一个函数， 是自变量x， 是常量，即yx，这样的函数 称为幂函数. 答案 底数 指数 答案 思考 (1)任意一次函数和二次函数都是幂函数吗？若函数ymx是幂 函数，m应满足什么条件？ 答 并不是所有一次函数和二次函数都是幂函数，只有其中的yx和y x2是幂函数.若ymx是幂函数，则必有m1. (2)幂函数与指数函数有何区别？
2、 答 幂函数与指数函数不同点在于：幂函数形式为yx(R)，其自 变量x处于底数位置，常数处于指数位置；而指数函数形式为y ax(a0且a1)，其自变量x处于指数位置，常数a处于底数位置，且a须 满足大于0而且不等于1. 知识点二 简单的幂函数的图像和性质 答案 幂函数 yx yx2 yx3 yx yx1 图像 定义域 R R R 0，) (，0) (0，) 1 2 答案 值域 R R 奇偶性 单调性 x0， ) ， x(， 0 x(0，) ， x(，0) 定点 奇 增 0，) 偶 增 减 奇 奇 增 增 减 减 0，) y|yR，且y0 (1,1) 非奇非偶 知识点三 函数的奇偶性 1.奇函数
3、的定义 一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数，在奇函数f(x)中，f(x) 和f(x)的绝对值相等，符号相反，即 . 反 之 ， 满 足 f(x)f(x)的函数yf(x)一定是奇函数. 注意：奇函数的定义域一定关于 对称. 答案 f(x)f(x) 原点 2.偶函数的定义 一般地，图像关于y轴对称，像这样的函数叫作偶函数.在偶函数f(x)中， f(x)和f(x)的值相等，即f(x)f(x)；反之，满足f(x)f(x)的函数y f(x)一定是偶函数. 注意：偶函数的定义域一定关于 对称. 3.当一个函数是奇函数或偶函数时，称该函数具有 . 答案 原点 奇偶性 返回 题型探究 重点突破 题型一
4、幂函数的概念 例1 (1)已知( 2，2)在幂函数f(x)的图像上，求f(2)的值； 解 设f(x)x， ( 2，2)在f(x)的图像上， f( 2)( 2)2，2. 故f(x)x2，f(2)224. 解析答案 (2)已知函数f(x)(a23a3)x (a为常数)为幂函数，且在(0，) 上单调递减，求实数a的值. 解 f(x)为幂函数，a23a31， 得a1或a2. 当a1时，f(x)x，在(0，)上单调递增，不合题意. 当a2时，f(x)x1，在(0，)上单调递减，符合题意. 综上，得a的值为2. 解析答案 反思与感悟 2 55aa 解析答案 跟踪训练1 函数f(x)(m2m1)x 是幂函数
5、，且当x(0，)时， f(x)是增函数，求f(x)的解析式. 解 根据幂函数定义得， m2m11，解得m2或m1， 当m2时，f(x)x3在(0，)上是增函数， 当m1时，f(x)x3，在(0，)上是减函数，不合题意. f(x)的解析式为f(x)x3. 2 3mm 题型二 函数奇偶性的判断 例2 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)2|x|； 解 函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(x)2|x|2|x|f(x)， f(x)为偶函数. 解析答案 解 函数f(x)的定义域为1,1，关于原点对称，且f(x)0，又 f(x)f(x)，f(x)f(x)， f(x)既是奇函数又是偶函数. 解
6、析答案 (2)f(x) x211x2； 解 函数f(x)的定义域为x|x1，不关于原点对称， f(x)是非奇非偶函数. (3)f(x) x x1； 解 f(x)的定义域是(，0)(0，)，关于原点对称. 当x0时，x0， x1，x0，则x 的取值范围是_. 解析 f(2)0，f(x1)0，f(x1)f(2)， 又f(x)是偶函数，且在0，)上单调递减， f(|x1|)f(2)， |x1|2，2x12，1x3， x(1,3).故填(1,3). (1,3) 反思与感悟 解析答案 跟踪训练5 函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在0，)上是增 函数，f(3)1 B.a1或a2 D.1a2 解析
7、因为函数f(x)在实数集上是偶函数，且f(3)f(2a1)，所以 f(3)f(|2a1|)，又函数f(x)在0，)上是增函数，所以31或a0时，解析式为f(x)x2x，则 当x0时，f(x)_. 解析答案 x2x 解析 设x0， f(x)(x)2xx2x. 又f(x)是定义域为R的偶函数， f(x)f(x)x2x， 当x0时，f(x)x2x. 课堂小结 1.判断一个函数是不是幂函数应严格按其定义判断. 2.幂函数性质可以通过其图像研究，只需掌握1,2,3，1 2，1这几种 情况即可，其他的不做研究. 3.判断函数的奇偶性的方法： (1)定义法； (2)图像法：若函数的图像关于原点对称，函数是奇函数；若函数的图 像关于y轴对称，函数是偶函数. 返回
