1、7.3 球 如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球，且涂的如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球，且涂的 油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？为什么？油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？为什么？ 只需要求出它们的表面积只需要求出它们的表面积 一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，球一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，球 内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则哪一内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则哪一 个球充入的气体较多？为什么？个球充入的气体较多？为什么？ 只需求出它们的体积只需求出它们的体积 那如何求球的表面积和体积呢？请进入本节课的学习！那如何求球的表面积和体积呢？请进入本节课的
2、学习！ 1.1.理解球的截面，并能解决相应问题；理解球的截面，并能解决相应问题； 2.2.了解圆的切线的相关概念；了解圆的切线的相关概念； 3.3.记住球的表面积和体积公式记住球的表面积和体积公式. .（重点）（重点） 4.4.会用球的表面积和体积公式进行有关的计算，并会用球的表面积和体积公式进行有关的计算，并 能解决一些简单的实际问题能解决一些简单的实际问题. .( (难点）难点） 问题问题2 2：把直线换成平面，圆换成球，即用一个平：把直线换成平面，圆换成球，即用一个平 面去截球，情况又怎样呢？面去截球，情况又怎样呢？ 提示：提示：圆面圆面. . 探究点探究点1 1 球的截面球的截面 问题
3、问题1 1：一条直线与圆相交，在圆内的部分是什么图形？一条直线与圆相交，在圆内的部分是什么图形？ 提示：提示：弦（线段）弦（线段）. . r d R O 2.2.球心到截面的距离球心到截面的距离d d与球的半径与球的半径R R和截面半径和截面半径r r有下有下 面的关系面的关系: : 1.1.球心和截面圆心的连线垂直于该截面球心和截面圆心的连线垂直于该截面 22 .rRd 截面：截面：用一个平面去截一个球用一个平面去截一个球, ,截面是圆面截面是圆面( (黄色圆面黄色圆面).). 截面圆：截面圆：平面截球面所得图形是圆平面截球面所得图形是圆. . 截面的性质：截面的性质： 大小圆的定义：大小圆
4、的定义： 1.1.大圆：大圆：球面被经过球心球面被经过球心 的平面截得的圆叫做大圆的平面截得的圆叫做大圆. . 如如O(O(浅蓝色圆面）浅蓝色圆面）. . o o O 2.2.小圆：小圆：球面被不经过球球面被不经过球 心的平面截得的圆叫做小心的平面截得的圆叫做小 圆圆. .如如O(O(黄色圆面）黄色圆面）. . 问题：问题：在球中，球心到截面的距离在球中，球心到截面的距离d d与截面圆的大小与截面圆的大小 有什么关系？有什么关系？ 0.dR（3）当时，截面称作小圆 0,.dRr（2）当时，截面和球相切 0,.dRr（1）当时，则截面圆最大 称作大圆 2222 dRrrRd由提示： 探究点探究点
5、2 2 球的切线球的切线 直线与球相切：直线与球相切：当直线与球有唯一交点时，称直当直线与球有唯一交点时，称直 线与球相切，其中它们的交点称为直线与球的切线与球相切，其中它们的交点称为直线与球的切 点点. 问题：问题：过球外一点过球外一点P P，有无数条切线，那么所有，有无数条切线，那么所有 切线长都相等吗？所有切点组成什么图形？切线长都相等吗？所有切点组成什么图形？ 提示：提示：如图如图 可知可知 ，APAP为定值，为定值， 这说明，过球外一点的所有切线长都相等，这说明，过球外一点的所有切线长都相等， 这些切点的集合是一个圆这些切点的集合是一个圆. . 22 APPOR 怎样求球的体积怎样求
6、球的体积? ? 知识探究知识探究 探究点探究点3 3 球的表面积和体积球的表面积和体积 h 实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积 h 实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积 h 实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积 h 实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积 h 实验：排液法测实验：排液法测 小球的体积小球的体积 h 实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积 h 实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积 h H 小球的体积小球的体积 等于等于它排开它排开 液体的体积液体的体积 实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积 割圆术割
7、圆术 早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面 积公式而发明了“倍边法割圆术”积公式而发明了“倍边法割圆术”. .他用加倍的方式他用加倍的方式 不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面 积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小”积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小”. .这样这样 重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割，重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割， 则与圆合体而无所失矣”则与圆合体而无所失矣”. .这是世界上最早的“极限”这是世界上最早的“极限” 思想思想. . A O 球体
8、由球体由N N个这样的形状组成个这样的形状组成 球体的分割球体的分割 3 3 4 RV 这样可以求出球体体积为这样可以求出球体体积为 球面被分割成球面被分割成n n个网格，表面积分别为：个网格，表面积分别为： 则球的表面积：则球的表面积： i V i S O O O O 球的表面积球的表面积 123n S , S , S ,S 123n S= S + S + S + S R 2 4SR 球的表面积是大圆球的表面积是大圆 面积的面积的4 4倍倍 半径是半径是 的球的表面积：的球的表面积： 观察球的体积与表面积公式，思考下列问题：观察球的体积与表面积公式，思考下列问题： 思考思考1:1:计算球的表
9、面积与体积，关键需要确定哪计算球的表面积与体积，关键需要确定哪 个量？个量？ 提示：提示：要计算球的表面积与体积，关键需要确定要计算球的表面积与体积，关键需要确定 球的半径球的半径R.R. 32 4 VR ,S4 R . 3 思考思考2.2.想一想若球的表面积为想一想若球的表面积为S S，如何用，如何用S S表示球表示球 的体积的体积V V呢？呢？ 提示：提示：因为因为S=4RS=4R2 2，所以，所以 即球的体积即球的体积V V与表面积与表面积S S的关系式为的关系式为 S R 4 ， 33 44SSS VR() 33434 所以，g SS V. 34 思考思考3.3.若两球的半径之比为若两
10、球的半径之比为R R1 1RR2 2，那么两球的表，那么两球的表 面积之比及体积之比分别是多少？面积之比及体积之比分别是多少？ 提示提示： 所以两球的表面积之比为所以两球的表面积之比为 两球的体积之比两球的体积之比 为为 3 223 1 11111 223 3 22222 2 4 R S4 RRVR 3 4 S4 RRVR R 3 因为， 22 12 RR； 33 12 RR . 例例1.1.如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球 形的冰激凌，如果冰激凌融化了，会溢出杯子吗？形的冰激凌，如果冰激凌融化了，会溢出杯子吗？ （假设冰激凌融化前后体积不变）（
11、假设冰激凌融化前后体积不变） 12 cm 4 cm 解：解： V 圆锥 圆锥 2 11 33 hr hS 23 1 412201(cm ) 3 ， 33 14 4134 cm 23 ， 3 14 23 半球 VR 因为因为 所以，所以，冰激凌冰激凌融化了，不会溢出杯子融化了，不会溢出杯子. V V半球 半球V V圆锥 圆锥 8cm 8.5cm 例例2.2.一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3 cm3 cm，瓶里所，瓶里所 装的水深为装的水深为8 cm8 cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中，将一个钢球完全浸入水中，瓶中 水的高度上升到水的高度上升到8.5 cm8.5 cm，
12、求钢球的半径，求钢球的半径. . 3cm 3cm 解：解： 设钢球半径为设钢球半径为 ,则由题意有则由题意有 R 232 4 3838.5 3 R， 解得解得 1.5 cm .R 答：钢球的半径为答：钢球的半径为 1.5cm. 【变式练习变式练习】某街心花园有许多钢球（钢的密度是某街心花园有许多钢球（钢的密度是 7.9 g/cm7.9 g/cm3 3），每个钢球重），每个钢球重145 kg145 kg，并且外径等于，并且外径等于 50 cm50 cm，试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空心，试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空心 的如果是空心的，请你计算出它的内径（的如果是空心的，请你计算
13、出它的内径（ 取取3.143.14， 结果精确到结果精确到1 cm1 cm） 解：解：设球的内径是设球的内径是2 2x xcmcm，那么球的质量为：，那么球的质量为： 答：钢球是空心的答：钢球是空心的, ,其内径约为其内径约为45 cm45 cm 33 4504 7.9 ()145000 323 x， 3 11240.98x， 22.4x所以， 244.845.x所以 1.1.填空填空 (1)(1)球的表面积变为原来的球的表面积变为原来的2 2倍倍, ,则半径变为原来的则半径变为原来的 倍倍. . (2)(2)球半径变为原来的球半径变为原来的2 2倍，则表面积变为原来的倍，则表面积变为原来的
14、倍倍. . (3)(3)两球表面积之比为两球表面积之比为1 12 2，则其体积之比是，则其体积之比是 . . (4)(4)两球体积之比是两球体积之比是1 12 2，则其表面积之比是，则其表面积之比是 . . 2 4 1: 2 2 3 1:4 注意注意: :影响球的表面积及体积的只有一个元素，就影响球的表面积及体积的只有一个元素，就 是球的半径是球的半径. . 2.2. 某几何体的三视图如图所示某几何体的三视图如图所示, ,它的体积为它的体积为( )( ) A. B. C. D.A. B. C. D. 72483024 C C 【解析解析】选选C.C.该几何体下部分是半径为该几何体下部分是半径为3,3,高为高为4 4 的圆锥的圆锥, ,体积为体积为 , ,上部分是半上部分是半 球球, ,体积为体积为 , ,所以体积为所以体积为 . . 2 1 3412 3 V 3 14 318 23 V 30 A A 球的体积和表面积公式球的体积和表面积公式 已知：球的半径为已知：球的半径为R.R. 结论：结论：体积体积V=_V=_， 表面积表面积S=_.S=_. 3 4 R 3 4 4 R R2 2
