1、第四章 1 函数与方程 1.2 利用二分法求方程的近似解 1.能用二分法求出方程的近似解. 2.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近” 的思想. 学习 目标 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 栏目 索引 知识梳理 自主学习 知识点一 二分法的定义 对于图像在区间a，b上连续不断且满足f(a) f(b)0的函数yf(x)，每次 取区间的 ，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区 间的方法称为二分法. 思考 所有的函数都可以用二分法求零点吗？ 答 用二分法求出的零点一般是零点的近似值，但并不是所有函数都可 以用二分法求零点，必须是满足在区间a，
2、b上连续不断且f(a) f(b)0的 函数f(x)才能用二分法求零点的近似值. 答案 中点 知识点二 用二分法求方程近似解的步骤 给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下： (1)确定区间a，b，验证 ，给定精确度； (2)求区间(a，b)的中点c； (3)计算f(c)； 若f(c)0，则 就是函数的零点； 若f(a) f(c)0，则令bc(此时零点x0 ). 若f(c) f(b)0，则令ac(此时零点x0 ). (4)判断是否达到精确度：即若 ，则得到零点近似值a(或b)； 否则重复(2)(4). 答案 f(a) f(b)0 c (a，c) (c，b) |ab| 返回 题型探究
3、 重点突破 题型一 二分法概念的理解 例1 下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( ) 解析答案 反思与感悟 跟踪训练1 下列函数中，能用二分法求零点的为( ) 解析答案 解析 函数图像连续不断，函数零点附近的函数值异号，这样的函数零 点才能使用二分法求解，观察四个函数图像，只有B选项符合. B 题型二 用二分法求方程的近似解 例2 (1)根据下表，用二分法求函数f(x)x33x1在区间(1,2)上的零点 的近似值(精确到0.1)是_. 解析答案 f(1)1 f(2)3 f(1.5)0.125 f(1.75) 1.109 375 f(1.625) 0.416 015 625
4、f(1.562 5) 0.127 197 265 解析 由表中数据知f(1.5) f(2)0，f(1.5) f(1.562 5)0， 所以函数零点在区间(1.5,1.562 5)上， 又因为|1.562 51.5|0.062 50.1， 所以函数f(x)x33x1在区间(1,2)上的零点的近似值可以取1.5.故填1.5. 1.5 (2)用二分法求方程2x33x30的一个正实数近似解(精确度0.1). 解析答案 反思与感悟 跟踪训练2 用二分法求2xx4在1,2内的近似解(精确度为0.2).参考 数据： 解析答案 x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875 2
5、x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67 解析答案 忽视给定区间造成失误 易错点 例3 函数f(x)2x24x6在区间1,2上零点的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 错解 由f(x)2x24x60，得2(x3)(x1)0， 解得x13，x21.故f(x)有两个零点，所以答案为C. 正解 前同错解得x13，x21. 因为31,2，11,2， 所以f(x)在1,2上只有一个零点，故选B. 纠错心得 求方程的解要注意给定区间，在解题时审题要细，看清条件 很关键. 解析答案 忽视二次项系数为零致误 易错点 例4 已知函数f(x)2(m1)x24mx2m1，若
6、f(x)的图像与x轴只有 一个交点，求m值. 解析答案 跟踪训练3 已知方程mx2x10在区间(0,1)内恰有一解，则实数m 的取值范围是_. 解析 设函数f(x)mx2x1， 因为方程mx2x10在(0,1)内恰有一解， 所以当m0时，方程x10在(0,1)内无解， 当m0时，由f(0)f(1)0， 即(m11)2. (2，) 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 1.下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的近似 值的是( ) B 答案 1 2 3 4 5 答案 2.已知定义在R上的函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表： x 0 1 2 3 f(x) 3.1 0.1
7、 0.9 3 那么函数f(x)一定存在零点的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3，) B 1 2 3 4 5 解析答案 3.用二分法求函数f(x)x35的零点可以取的初始区间是( ) A.2,1 B.1,0 C.0,1 D.1,2 解析 f(2)30，f(1)60， f(2) f(1)0，故可取2,1作为初始区间，用二分法逐次计算. A 1 2 3 4 5 4.函数f(x)的图像是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)0在区间 (1,2)内的近似解的过程中得f(1)0，f(1.5)0，f(1.25)0，则方程的解 所在区间为( ) A.(1.25,1.5)
8、B.(1,1.25) C.(1.5,2) D.不能确定 解析答案 解析 由于f(1.25) f(1.5)0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5). A 1 2 3 4 5 解析答案 5.用二分法求方程x32x50在区间(2,3)内的实根，取区间中点为x0 2.5，那么下一个有根的区间是_. 解析 f(2)2322510，f(2.5)2.5322.555.6250， 下一个有根的区间是(2,2.5). (2,2.5) 课堂小结 1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐 步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度， 用此区间的某个数值近似地表示真正的零点. 2.并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足： (1)在区间a，b上连续不断； (2)f(a) f(b)0. 上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值. 返回
