1、第2课时 平面与平面垂直的判定 问题问题1 1：平面几何中“角”是怎样定义的？平面几何中“角”是怎样定义的？ 问题问题2 2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、在立体几何中，“异面直线所成的角”、 “直线和平面所成的角”有什么共同的特征？“直线和平面所成的角”有什么共同的特征？ 有公共顶点的两条射线所形成的图形有公共顶点的两条射线所形成的图形 转化为平面上的角转化为平面上的角 问题问题3 3：在生产实践中，有许多问题要涉及两个平面在生产实践中，有许多问题要涉及两个平面 相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例 子吗？子吗？ 这样的角有何特点，该
2、如何表示呢？这样的角有何特点，该如何表示呢？请进入本节课请进入本节课 的学习！的学习！ 堤坝面与河底水平面，堤坝面与河底水平面， 打开的笔记本电脑打开的笔记本电脑 1.1.理解二面角及其平面角的概念，掌握二面角的平理解二面角及其平面角的概念，掌握二面角的平 面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角. .( (难难 点）点） 2.2.掌握两个平面互相垂直的概念和判定定理，能用掌握两个平面互相垂直的概念和判定定理，能用 定义和定理判定面面垂直定义和定理判定面面垂直. .（重点）（重点） 展示一张纸面，并对折观察其形状，将它与角进展示一张纸面，并对折观察其形状
3、，将它与角进 行类比行类比. . 探究点探究点1 1 二面角二面角 1 1二面角的有关概念二面角的有关概念 从一条直线出发的两个半平面所从一条直线出发的两个半平面所 组成的图形叫作组成的图形叫作二面角二面角, , 这条直线叫作这条直线叫作二面角的棱二面角的棱，这两，这两 个半平面叫作个半平面叫作二面角的面二面角的面. . l 半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分 成成_，其中的，其中的_都叫作半平面都叫作半平面. . 两部分两部分 每一部分每一部分 2 2二面角的记法与表示二面角的记法与表示 以直线以直线ABAB为棱、半平面为棱、半平面 ， 为面
4、的二面角为面的二面角. . 记作记作二面角二面角 - -ABAB- - 思考：思考：二面角的大小反映了两个平面相交的位置关二面角的大小反映了两个平面相交的位置关 系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大 一些，那我们应如何度量二面角的大小呢？一些，那我们应如何度量二面角的大小呢？ 提示：提示：以二面角的棱上任一点以二面角的棱上任一点 为端点，在两个半平面内分别为端点，在两个半平面内分别 作垂直于棱的两条射线，这两条射作垂直于棱的两条射线，这两条射 线所成的角叫作二面角的平面角，线所成的角叫作二面角的平面角， 如图中的如图中的 .AOB 注意：注意
5、： . .在表示二面角的平面角时，要求“在表示二面角的平面角时，要求“OAOAl” ， “OBOBl”； . .AOBAOB的大小与点的大小与点O O在在l上位置无关；上位置无关； . .平面角是直角的二面角叫作平面角是直角的二面角叫作直二面角直二面角. . 思考交流思考交流 1.1.两个平面互相垂直的定义两个平面互相垂直的定义 两个平面相交，如果所成的二面角是两个平面相交，如果所成的二面角是_， 就说这两个平面就说这两个平面互相垂直互相垂直. . 探究点探究点2 2 平面与平面垂直平面与平面垂直 直二面角直二面角 平面平面 与与 垂直，记作：垂直，记作： 2.2.两个平面互相垂直的画法及其表
6、示两个平面互相垂直的画法及其表示: : 问题问题1:1:根据定义判断两个平面是否垂直需要解决什么根据定义判断两个平面是否垂直需要解决什么 问题？问题？ 提示：提示：两个平面所成的角是否为直二面角两个平面所成的角是否为直二面角 问题问题2:2:如图，如图，AOBAOB为直二面角为直二面角 - -l- - 的平面角，那么的平面角，那么 直线直线AOAO与平面与平面 的位置关系如何？的位置关系如何？ A A B B O O l 垂直垂直 探究点探究点3 3 平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定 两个平面垂直的判定定理两个平面垂直的判定定理: : 定理定理6.26.2：如果一个平面经过另一个平面的
7、一条垂：如果一个平面经过另一个平面的一条垂 线，那么这两个平面互相垂直线，那么这两个平面互相垂直 注：这个定理简称注：这个定理简称 “线面垂直，则面面垂直线面垂直，则面面垂直.” 转化为线与面垂直转化为线与面垂直 ,.ABABB AB已知： 求证：求证： . 证明：证明：设设=CD=CD，则，则BCDBCD 所以所以ABCD.ABCD. 在平面在平面内过点内过点B B作直线作直线BECDBECD， 则则ABEABE是二面角是二面角- -CDCD- -的平面的平面 角，又角，又ABBEABBE，即二面角，即二面角- -CDCD- - 是直二面角是直二面角 所以所以 ,ABCD因为， 两个平面垂直
8、的判定定理不仅是判定两个平面互两个平面垂直的判定定理不仅是判定两个平面互 相垂直的依据，而且是找出一个平面垂直于另一个平相垂直的依据，而且是找出一个平面垂直于另一个平 面的依据面的依据 特别提醒：特别提醒： 如：建筑工人砌墙时，沿系有铅锤的线砌墙如：建筑工人砌墙时，沿系有铅锤的线砌墙 例：如图，例：如图，ABAB为为O O的直径，的直径，PAPA垂直于垂直于OO所在的平所在的平 面，面，C C为为O O上异于上异于A A，B B的一点的一点. . 求证：平面求证：平面PACPAC平面平面PBCPBC. . 证明：证明：设设O O所在平面为所在平面为， 由已知条件，有由已知条件，有PAPA，BC
9、BC在在内，内， 所以，所以，PABCPABC 因为，点因为，点C C是不同于是不同于A A，B B的任意的任意 一点，一点，ABAB为为O O的直径，的直径， 所以，所以，BCABCA9090，即，即BCCA.BCCA. 又因为又因为PAPA与与ACAC是是PACPAC所在平面内的两条相交直线，所在平面内的两条相交直线， 所以，所以，BCBC平面平面PACPAC， 又因为又因为BCBC在平面在平面PBCPBC内，内， 所以，平面所以，平面PACPAC平面平面PBCPBC 思考思考：你还能发现哪些面互相垂直？你还能发现哪些面互相垂直？ PACABC PABABC 面面 面面 【变式练习变式练习
10、】三棱锥三棱锥P P- -ABCABC中中ABC=90ABC=90，PA=PB=PCPA=PB=PC， 则下列说法正确的是（则下列说法正确的是（ ） A.A.平面平面PACPAC平面平面ABCABC B.B.平面平面PABPAB平面平面PBCPBC C.PBC.PB平面平面ABCABC D.BCD.BC平面平面PABPAB 解析：解析：如图，因为如图，因为ABC=90ABC=90，PA=PB=PCPA=PB=PC， 所以点所以点P P在底面的射影落在在底面的射影落在ABCABC的斜边的的斜边的 中点中点O O处，连接处，连接OBOB，OPOP，则，则POOBPOOB又因为又因为 PA=PCPA
11、=PC，所以，所以POACPOAC，且，且ACOB=OACOB=O，所以，所以 POPO平面平面ABCABC又所以又所以POPO 平面平面PACPAC，所以平面，所以平面PACPAC平面平面ABC.ABC. A A 1.1.二面角指的是（二面角指的是（ ） A A从一条直线出发的两个半平面所夹的角度从一条直线出发的两个半平面所夹的角度 B B从一条直线出发的两个半平面所组成的图形从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 C C两个平面相交时，两个平面所夹的锐角两个平面相交时，两个平面所夹的锐角 D D过棱上一点和棱垂直的两条射线所成的角过棱上一点和棱垂直的两条射线所成的角 B B 2.2.判断正
12、误判断正误 (1)(1)如果平面如果平面 内有一条直线垂直于平面内有一条直线垂直于平面 内的一条内的一条 直线，则直线，则 . .（ ） (2)(2)如果平面如果平面 内有一条直线垂直于平面内有一条直线垂直于平面 内的两条直内的两条直 线，则线，则 . .（ ） (3) (3) 如果平面如果平面 内的一条直线垂直于平面内的一条直线垂直于平面 内的两条内的两条 相交直线相交直线, , 则则 . .（ ） 3.3.直三棱柱直三棱柱ABCABC- -ABCABC中，底面三角形中，底面三角形ABCABC为正为正 三角形，则两侧面三角形，则两侧面AACCAACC与与AABBAABB所成二面角所成二面角
13、的大小为的大小为_._. 6060 4.4. 如图如图, ,在四棱锥在四棱锥P P- -ABCDABCD中中, ,底面底面ABCDABCD是矩是矩 形形, ,PD=CD=2 ., ,PD=CD=2 . (1)(1)求异面直线求异面直线PAPA与与BCBC所成角的正切值所成角的正切值. . (2)(2)证明：平面证明：平面PDCPDC平面平面ABCD.ABCD. ,1,2 3ADPD BCPC 【解析解析】(1)(1)在四棱锥中在四棱锥中, ,因为底面是矩形因为底面是矩形, ,所以所以 AD=BC,AD=BC,且且ADBC,ADBC,又因为又因为ADPD,ADPD,故故P PAD(AD(或其补或
14、其补 角角) )是异面直线是异面直线PAPA与与BCBC所成的角所成的角. . 在直角在直角PDAPDA 中中, , ,所以异面直线所以异面直线PAPA与与BCBC所成所成 角的正切值为角的正切值为2. 2. tan2 PD PAD AD (2)(2)由于底面由于底面ABCDABCD是矩形是矩形, ,因此因此ADADCD,CD, 又由于又由于ADADPD, CDPD, CDPD=D,PD=D, 因此因此ADAD平面平面PDC,PDC,而而ADAD在平面在平面ABCDABCD中中, , 所以平面所以平面PDCPDC平面平面ABCD.ABCD. 1.1.二面角的定义及度量二面角的定义及度量. . 2.2.判断两个平面垂直的方法判断两个平面垂直的方法. . 定义法根据面面垂直的判定定理定义法根据面面垂直的判定定理 3.3.从面面垂直的判定定理我们还可以看出从面面垂直的判定定理我们还可以看出面面垂直面面垂直的的 问题可以转化为问题可以转化为线面垂直线面垂直的问题来解决的问题来解决. .
