1、2 古典概型 2.1 古典概型的特征和概率 计算公式 你参加过“抽奖”吗？你参加过“抽奖”吗？ 活动规则活动规则 奖箱里装有奖箱里装有2 2个白球和个白球和2 2个黑球，这个黑球，这4 4个个 球除了颜色外完全相同，白球代表奖球除了颜色外完全相同，白球代表奖 品品.4.4个人按顺序依次从中摸球并记录结个人按顺序依次从中摸球并记录结 果，估计第一个人、第二个人、第三个果，估计第一个人、第二个人、第三个 人、第四个人摸到白球的概率人、第四个人摸到白球的概率. . 白白 糖果一颗糖果一颗 蓝蓝 果冻一个果冻一个 绿绿 明信片一张明信片一张 活动规则活动规则 每人可从规定的每人可从规定的 奖箱中抽取小
2、球奖箱中抽取小球1 1 个，人人有奖，个，人人有奖， 奖品见表格奖品见表格. . 不透明的奖箱里面装了不透明的奖箱里面装了3 3个大小相同个大小相同 的小球的小球. . 白白 糖果一颗糖果一颗 蓝蓝 果冻一个果冻一个 绿绿 明信片一张明信片一张 “抽到果冻”与“抽到明信片”的可能性相“抽到果冻”与“抽到明信片”的可能性相 等吗？为什么？等吗？为什么？ 抽到果冻的可能性是多少？抽到果冻的可能性是多少？ 1.1.通过实例对古典概型概念进行归纳和总结，使学通过实例对古典概型概念进行归纳和总结，使学 生体验知识产生和形成的过程，培养学生的抽象概生体验知识产生和形成的过程，培养学生的抽象概 括能力括能力
3、. . 2.2.理解古典概型的概念，通过实例归纳出古典概型理解古典概型的概念，通过实例归纳出古典概型 概率计算公式，能运用公式求一些简单的古典概型概率计算公式，能运用公式求一些简单的古典概型 的概率的概率. .( (重点、难点）重点、难点） 掷硬币试验掷硬币试验 摇骰子试验摇骰子试验 转盘试验转盘试验 试验一：抛掷一枚质地均匀的硬币，试验的结果有试验一：抛掷一枚质地均匀的硬币，试验的结果有 _个，其中出现“正面朝上”的概率个，其中出现“正面朝上”的概率_;_;出现出现 “反面朝上”的概率“反面朝上”的概率=_.=_. 试验二：摇一粒质地均匀的骰子，试验结果有试验二：摇一粒质地均匀的骰子，试验结
4、果有_ _ 个，其中出现“点数个，其中出现“点数5”5”的概率的概率_._. 试验三：转试验三：转8 8等分标记的转盘，试验结果有等分标记的转盘，试验结果有_个，个， 出现“箭头指向出现“箭头指向4”4”的概率的概率_._. 上述三个试验有什么特点？上述三个试验有什么特点？ 2 0.5 0.5 6 1 6 8 1 8 归纳上述三个试验的特点：归纳上述三个试验的特点： （1 1）试验的所有可能结果只有有限个，每次试验）试验的所有可能结果只有有限个，每次试验 只出现其中的一个结果只出现其中的一个结果. . （2 2）每一个试验结果出现的可能性相同）每一个试验结果出现的可能性相同. . 我们把具有这
5、样两个特征的随机试验的数学模型我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型 称为称为古典概型古典概型. . 1.1.向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在 圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概 型吗？为什么？型吗？为什么？ 提示：提示：不是古典概型不是古典概型. .因为试因为试 验的所有可能结果是圆面内所验的所有可能结果是圆面内所 有的点，试验的所有可能结果有的点，试验的所有可能结果 数是无限的，虽然每一个试验数是无限的，虽然每一个试验 结果出现的结果出现的“可能性相同可能性相同”， 但这个试验不满足古典概
6、型的但这个试验不满足古典概型的 第一个条件第一个条件. . 思考思考1 1： 2.2.如图，射击运动员向一靶心进行射击，这一试验如图，射击运动员向一靶心进行射击，这一试验 的结果只有有限个：命中的结果只有有限个：命中1010环、命中环、命中9 9环环命中命中1 1环环 和命中和命中0 0环环. .你认为这是古典概型吗？为什么？你认为这是古典概型吗？为什么？ 提示：提示：不是古典概型不是古典概型. .因为试验因为试验 的所有可能结果只有的所有可能结果只有1111个，而个，而 命中命中1010环、命中环、命中9 9环环命中命中1 1环环 和命中和命中0 0环的出现不是等可能的，环的出现不是等可能的
7、， 即不满足古典概型的第二个条即不满足古典概型的第二个条 件件. . 思考思考2 2：掷一粒质地均匀的骰子，骰子落地时向上掷一粒质地均匀的骰子，骰子落地时向上 的点数为的点数为2 2的概率是多少？点数为的概率是多少？点数为4 4的概率呢？点的概率呢？点 数为数为6 6的概率呢？骰子落地时向上的点数为偶数的的概率呢？骰子落地时向上的点数为偶数的 概率是多少？概率是多少？ 31 ( ). 62 P A 分析：分析：用事件用事件A A表示表示“向上的点数为偶数向上的点数为偶数”，则事件，则事件 A A由由“点数为点数为2 2”、“点数为点数为4 4”、“点数为点数为6 6”三种三种 可能的结果组成，
8、又因为出现可能的结果组成，又因为出现“点数为点数为2 2”的概率的概率 为为 ，出现，出现“点数为点数为4 4”的概率为的概率为 ，出现，出现“点数点数 为为6 6”的概率为的概率为 ， 且且A A的发生，指三种情形之一的发生，指三种情形之一 的出现，因此骰子落地时向上的点数为偶数的概率的出现，因此骰子落地时向上的点数为偶数的概率 是是 . . 1 6 1 6 1 6 1 2 古典概型中，试验的所有可能结果（基本事古典概型中，试验的所有可能结果（基本事 件）数为件）数为n n，随机事件，随机事件A A包含包含m m个基本事件，那么个基本事件，那么 随机事件随机事件A A的概率规定为：的概率规定
9、为： 应该注意：应该注意： （1 1）要判断该概率模型是不是古典概型）要判断该概率模型是不是古典概型. . （2 2）要找出随机事件）要找出随机事件A A包含的基本事件的个数和包含的基本事件的个数和 试验中基本事件的总数试验中基本事件的总数. . 事事件件A A包包含含的的可可能能结结果果数数 试试验验的的所所有有可可能能结结果果数数 ( ). m P A n 解古典概解古典概 型问题型问题 的方法的方法 如图，转动转盘计算下列事件如图，转动转盘计算下列事件 的概率：的概率： （1 1）箭头指向）箭头指向8 8； （2 2）箭头指向）箭头指向3 3或或8 8； （3 3）箭头不指向）箭头不指向
10、8 8； （4 4）箭头指向偶数）箭头指向偶数. . 1 8 1 4 7 8 1 2 练一练练一练: : 例例. . 在一个健身房里，用拉力器进行锻炼时，需要选在一个健身房里，用拉力器进行锻炼时，需要选 取取2 2个质量盘装在拉力器上个质量盘装在拉力器上. .有有2 2个装质量盘的箱子，每个装质量盘的箱子，每 个箱子中都装有个箱子中都装有4 4个不同的质量盘：个不同的质量盘：2.5 kg2.5 kg，5 kg5 kg， 10 kg10 kg和和20 kg20 kg，每次都随机地从，每次都随机地从2 2个箱子中各取个箱子中各取1 1个质个质 量盘装在拉力器上后，再拉动这个拉力器量盘装在拉力器上后
11、，再拉动这个拉力器. . （1 1）随机地从）随机地从2 2个箱子中各取个箱子中各取1 1个质量盘，共有多少种个质量盘，共有多少种 可能的结果？用表格列出所有可能的结果可能的结果？用表格列出所有可能的结果. . （2 2）计算选取的）计算选取的2 2个质量盘的总质量分别是下列质量个质量盘的总质量分别是下列质量 的概率：的概率： （）20 kg20 kg；（；（）30 kg30 kg； （）不超过）不超过10 kg10 kg；（；（）超过）超过10 kg.10 kg. （3 3）如果一个人不能拉动超过）如果一个人不能拉动超过22 kg22 kg的质量，那么他的质量，那么他 不能拉开拉力器的概率是
12、多少？不能拉开拉力器的概率是多少？ 解：解：（1 1）第一个箱子的质量盘和第二个箱子的质量盘）第一个箱子的质量盘和第二个箱子的质量盘 都可以从都可以从4 4种不同的质量盘中任意选取种不同的质量盘中任意选取. .我们可以用一我们可以用一 个个“有序实数对有序实数对”来表示随机选取的结果来表示随机选取的结果. .例如，我们例如，我们 用（用（1010，2020）来表示：在一次随机的选取中，从第一）来表示：在一次随机的选取中，从第一 个箱子里取的质量盘是个箱子里取的质量盘是10 kg10 kg，从第二个箱子里取的质，从第二个箱子里取的质 量盘是量盘是20 kg.20 kg.表表1 1列出了所有可能的
13、结果列出了所有可能的结果. . 表表1: 1: 2.52.5 5 5 1010 2020 2.52.5 (2.5(2.5，2.5)2.5) (2.5(2.5，5)5) (2.5(2.5，10)10) (2.5(2.5，20)20) 5 5 (5(5，2.5)2.5) (5(5，5)5) (5(5，10)10) (5(5，20)20) 1010 (10(10，2.5)2.5) (10(10，5)5) (10(10，10)10) (10(10，20)20) 2020 (20(20，2.5)2.5) (20(20，5)5) (20(20，10)10) (20(20，20)20) 第二个质量盘第二个质
14、量盘 的质量的质量/kg/kg 第一个第一个 质量盘的质量质量盘的质量/kg/kg 从表中可以看出，随机地从从表中可以看出，随机地从2 2个箱子中各取个箱子中各取1 1个质量个质量 盘的所有可能结果共有盘的所有可能结果共有1616种种. .由于选取质量盘是随机由于选取质量盘是随机 的，因此这的，因此这1616种结果出现的可能性是相同的，这个种结果出现的可能性是相同的，这个 试验属于古典概型试验属于古典概型. . （2 2）表）表2:2: 4040 3030 2525 22.522.5 2020 3030 2020 1515 12.512.5 1010 2525 1515 1010 7.57.5
15、 5 5 22.522.5 12.512.5 7.57.5 5 5 2.52.5 2020 1010 5 5 2.52.5 第二个质量盘第二个质量盘 的质量的质量/kg/kg 第一个第一个 质量盘的质量质量盘的质量/kg/kg 总质量总质量/kg/kg （）用）用A A表示事件表示事件“选取的选取的2 2个质量盘的总质量是个质量盘的总质量是 20 kg20 kg”，因为总质量为，因为总质量为20 kg20 kg的所有可能结果只有的所有可能结果只有 1 1种，因此，事件种，因此，事件A A的概率的概率P(A)= =0.062 5.P(A)= =0.062 5. （）用）用B B表示事件表示事件“
16、选取的选取的2 2个质量盘的总质量是个质量盘的总质量是 30 kg30 kg”，从表，从表2 2中可以看出，总质量为中可以看出，总质量为30 kg30 kg的所的所 有可能结果共有有可能结果共有2 2种，因此事件种，因此事件B B的概率的概率 P(B)= = =0.125.P(B)= = =0.125. 1 16 2 16 1 8 （）用）用C C表示事件表示事件“选取的选取的2 2个质量盘的总质量不超个质量盘的总质量不超 过过10 kg10 kg”，总质量不超过，总质量不超过10 kg10 kg，即总质量为，即总质量为5 kg5 kg， 7.5 kg7.5 kg，10 kg10 kg之一，从
17、表之一，从表2 2中容易看出，所有可能结中容易看出，所有可能结 果共有果共有4 4种，因此，事件种，因此，事件C C的概率的概率P(C)= = =0.25.P(C)= = =0.25. （）用）用D D表示事件表示事件“选取的选取的2 2个质量盘的总质量超过个质量盘的总质量超过 10 kg10 kg”，总质量超过，总质量超过10 kg10 kg，即总质量为，即总质量为12.5 kg12.5 kg， 15 kg15 kg， 20 kg20 kg，22.5 kg22.5 kg，25 kg25 kg，30 kg30 kg，40 kg40 kg之之 一一, ,从表从表2 2中可以看出，所有可能结果共有
18、中可以看出，所有可能结果共有1212种，因此，种，因此， 事件事件D D的概率的概率P(D)= = =0.75. P(D)= = =0.75. 4 16 1 4 12 16 3 4 （3 3）用）用E E表示事件表示事件“不能拉开拉力器不能拉开拉力器”，即总质，即总质 量超过了量超过了22 kg22 kg，总质量超过，总质量超过22 kg22 kg是指总质量为是指总质量为 22.5 kg22.5 kg，25 kg25 kg，30 kg30 kg，40 kg40 kg之一，从表之一，从表2 2中可中可 以看出，这样的可能结果共有以看出，这样的可能结果共有7 7种，因此，不能拉种，因此，不能拉 开
19、拉力器的概率开拉力器的概率P(E)= P(E)= 0.44.0.44. 7 16 【规律方法规律方法】 在这个例子中，我们用列表的方法列出了在这个例子中，我们用列表的方法列出了 所有可能的结果所有可能的结果. .在计算古典概率时，只要所有在计算古典概率时，只要所有 可能结果的数量不是很多，列举法就是我们常可能结果的数量不是很多，列举法就是我们常 用的一种方法用的一种方法. . 1.1.（20142014江苏高考）从江苏高考）从1,2,3,61,2,3,6这这4 4个数中一次随个数中一次随 机地取机地取2 2个数个数, ,则所取则所取2 2个数的乘积为个数的乘积为6 6的概率是的概率是_ 1 3
20、 【解析解析】从从1,2,3,61,2,3,6这这4 4个数中一次随机地取个数中一次随机地取2 2个数共有个数共有 结果数为（结果数为（1 1，2 2）（）（1 1，3 3）（）（1 1，6 6）（）（2 2，3 3）（）（2 2，6 6） （3 3，6 6）所取两个数积为）所取两个数积为6 6共有（共有（1,61,6）（）（2 2，3 3）故概）故概 率为率为 1 . 3 2.2.单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A A，B B， C C，D D四个选项中选择一个正确答案四个选项中选择一个正确答案. .如果考生掌握了如果考生掌握了 考查的内容，他
21、可以选择唯一正确的答案考查的内容，他可以选择唯一正确的答案. .假设考生假设考生 不会做，他随机地选择一个答案，问他答对的概率是不会做，他随机地选择一个答案，问他答对的概率是 多少？多少？ 【解析解析】这是一个古典概型，因为试验的可能结果这是一个古典概型，因为试验的可能结果 只有只有4 4个：选择个：选择A A、选择、选择B B、选择、选择C C、选择、选择D D，即基本，即基本 事件共有事件共有4 4个，考生随机地选择一个答案，即选择个，考生随机地选择一个答案，即选择A A， B B，C C，D D的可能性是相等的的可能性是相等的. .从而由古典概型的概率从而由古典概型的概率 计算公式得：计
22、算公式得： 3.3. 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y Y（单位：（单位： 万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X X（单位：毫米）有关（单位：毫米）有关. . 据统计，当据统计，当X=70X=70时，时，Y=460Y=460；X X每增加每增加1010，Y Y增加增加5.5.已知近已知近2020年年X X的的 值为：值为：140140，110110，160160，7070，200200，160160，140140，160160，220220，200200， 110110，160160，160160，
23、200200，140140，110110，160160，220220，140140，160.160. （1 1）完成如下的频率分布表；）完成如下的频率分布表； 近近2020年六月份降雨量频率分布表年六月份降雨量频率分布表 降雨量：毫米降雨量：毫米 7070 110110 140140 160160 200200 220220 频频 率率 （2 2）假定今年六月份的降雨量与近）假定今年六月份的降雨量与近2020年六月份降雨量的分布年六月份降雨量的分布 规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的 发电量低于发电量低于490490万千
24、瓦时或超过万千瓦时或超过530530万千瓦时的概率万千瓦时的概率. . 4 20 1 20 2 20 1 20 3 20 4 20 7 20 3 20 2 20 【解析解析】（1 1）在所给数据中，降雨量为）在所给数据中，降雨量为110110毫米的有毫米的有3 3 个，为个，为160160毫米的有毫米的有7 7个，为个，为200200毫米的有毫米的有3 3个，故近个，故近2020 年六月份降雨量频率分布表为年六月份降雨量频率分布表为 降雨量：毫米降雨量：毫米 7070 110110 140140 160160 200200 220220 频率频率 （2 2） 故今年六月份该水力发电站的发电量低
25、于故今年六月份该水力发电站的发电量低于490490万千万千 瓦时或超过瓦时或超过530530万千瓦时的概率为万千瓦时的概率为 3. 10 4.4.（20132013北京北京高考高考改编改编）下图是某市）下图是某市3 3月月1 1日至日至3 3月月1414日的日的 空气质量指数趋势图，空气质量指数小于空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100100表示空气质量表示空气质量 优良，空气质量指数大于优良，空气质量指数大于200200表示空气质量重度污染，某人表示空气质量重度污染，某人 随机选择随机选择3 3月月1 1日至日至3 3月月1313日中的某一天到达该市，并停留日中的某一天到达该市，并停留2
26、 2天天. . （1 1）求此人到达当日空气质量优良的概率）求此人到达当日空气质量优良的概率. . （2 2）求此人在该市停留期间只有）求此人在该市停留期间只有1 1天空气重度污染的概天空气重度污染的概 率率. . （3 3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差 最大？（结论不要求证明）最大？（结论不要求证明） （2 2）此人在该市停留此人在该市停留2 2天期间的空气质量所有可能天期间的空气质量所有可能 情况有：情况有：(86,25)(86,25)，（，（2525，5757），（），（5757，143143），）， （143143，2202
27、20），（），（220220，160160），（），（160160，4040），）， （4040，217217），（），（217217，160160），（），（160160，121121），）， （121121，158158），（），（158158，8686），（），（8686，7979），（），（7979， 3737）共有）共有1313种可能种可能. . 【解析解析】（1 1）此人到达的时间从）此人到达的时间从1 1日到日到1313日，共有日，共有 1313种情况种情况. .事件事件A=A=“此人到达当日空气质量优良此人到达当日空气质量优良”= = 1 1，2 2，3 3，7 7，1212，
28、1313，包含基本事件数为，包含基本事件数为6 6. .所所 以所求概率为以所求概率为 6. 13 其中只有其中只有1 1天重度污染的有：（天重度污染的有：（143143，220220），）， （220220，160160），（），（4040，217217），（），（217217，160160）共）共4 4种种 情况，所以此人在该市停留期间只有情况，所以此人在该市停留期间只有1 1天空气重度污天空气重度污 染的概率为染的概率为 （3 3）因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不 稳定，由图看出从稳定，由图看出从5 5日开始连续日开始连续5 5、6 6、7
29、 7三天的空气三天的空气 质量指数方差最大质量指数方差最大 4 P. 13 1 1古典概型古典概型 特征：特征： （1 1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个. . （有限性）（有限性） （2 2）每个基本事件出现的可能性相等）每个基本事件出现的可能性相等. .（等可能性）（等可能性） 这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概率模这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概率模 型，简称古典概型型，简称古典概型. . 2 2古典概型计算任何事件的概率计算公式为：古典概型计算任何事件的概率计算公式为： 3 3求某个随机事件求某个随机事件A A包含的基本事件的个数和试包含的基本事件的个数和试 验中基本事件的总数时常用的方法是列举法（画验中基本事件的总数时常用的方法是列举法（画 树状图或列表），注意做到不重不漏树状图或列表），注意做到不重不漏. . 自小多才学，平生志气高; 别人怀宝剑，我有笔和刀 . 神童诗
