1、3 模拟方法概率的应用 知识回顾：我们已经学习了两种计算事件发生的概知识回顾：我们已经学习了两种计算事件发生的概 率的方法率的方法: : （1 1）通过试验方法得到事件发生的频率）通过试验方法得到事件发生的频率, ,来估计概来估计概 率率.(.(一种近似估计一种近似估计, ,需通过大量重复试验需通过大量重复试验) ) （2 2）用古典概型的公式来计算概率）用古典概型的公式来计算概率.(.(仅适用于基本仅适用于基本 事件为有限个的情况事件为有限个的情况) ) 如何求面如何求面 积？积？ 在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那 种仅有有限个等可能结
2、果的随机试验是不够的，还必种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必 须考虑有无限多个试验结果的情况须考虑有无限多个试验结果的情况. .常常会遇到试验的常常会遇到试验的 所有可能结果所有可能结果( (即基本事件即基本事件) )为无穷多个的情况为无穷多个的情况, ,且这无且这无 穷多个基本事件保持着古典概型的“等可能性”穷多个基本事件保持着古典概型的“等可能性”. .这时这时 用大量试验的方法很难获得一个符合要求的概率用大量试验的方法很难获得一个符合要求的概率, ,也不也不 能用古典概型的方法求解能用古典概型的方法求解. .例如，一个人到单位的时间例如，一个人到单位的时间 可能是可能是8 8
3、：00009 9：0000的任何一个时刻；往一个方格中的任何一个时刻；往一个方格中 投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点这这 些试验可能出现的结果都是无限多个些试验可能出现的结果都是无限多个. .那怎么办呢那怎么办呢? ? 请请 观察下列问题并思考如何确定其概率观察下列问题并思考如何确定其概率. . 问题问题1 1：如图所示在边长为如图所示在边长为a a的正方的正方 形内有一个不规则的阴影部分，那形内有一个不规则的阴影部分，那 么怎样求阴影部分的面积呢？么怎样求阴影部分的面积呢？ 问题问题2:2:一个人上班的时间可能是一个人上班的时间可能是8:008
4、:00 9:009:00的任一时刻，那么他在的任一时刻，那么他在8:308:30之之 前到达的概率是多大呢？前到达的概率是多大呢？ 问题问题3:3:已知在边长为已知在边长为a a的正方形内的正方形内 有一个半径为有一个半径为0.50.5的圆的圆. .向正方形内向正方形内 随机地投石头，那么石头落在圆内随机地投石头，那么石头落在圆内 的概率是多大呢的概率是多大呢? ? 带着上述问题，我们开始学习新的内带着上述问题，我们开始学习新的内 容：模拟方法容：模拟方法概率的应用概率的应用. . 1. 1. 会用模拟方法估计概率会用模拟方法估计概率, ,近似计算不规则图形近似计算不规则图形 的面积的面积,
5、, 求求 的近似值的近似值. . 2. 2. 通过解决具体问题的实例通过解决具体问题的实例, ,感受、体会模拟方感受、体会模拟方 法的基本思想法的基本思想, ,学会依据随机试验的试验结果设计学会依据随机试验的试验结果设计 合理的模拟方法合理的模拟方法, ,通过模拟试验加深对随机事件频通过模拟试验加深对随机事件频 率的随机性和概率的稳定性的认识以及用频率去率的随机性和概率的稳定性的认识以及用频率去 估计概率的方法估计概率的方法. .( (重点、难点重点、难点) ) 问题问题1 1：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内 为黑色、白色、蓝色、红色，靶心
6、为黄色为黑色、白色、蓝色、红色，靶心为黄色, ,靶面直径为靶面直径为 122 cm122 cm，靶心直径为，靶心直径为12.2 cm12.2 cm，运动员在，运动员在70 m70 m外射击外射击 假设射箭都能中靶，且射中靶面内任意一点都是等可能假设射箭都能中靶，且射中靶面内任意一点都是等可能 的，那么射中黄心的概率有多大？的，那么射中黄心的概率有多大？ （1 1）试验中的基本事件是什么？）试验中的基本事件是什么？ 提示：提示：射中靶面上每一点都是一个基射中靶面上每一点都是一个基 本事件本事件, ,这一点可以是直径为这一点可以是直径为122 cm122 cm 靶面的大圆内的任意一点靶面的大圆内的
7、任意一点. . （2 2）每个基本事件的发生是等可能的吗？）每个基本事件的发生是等可能的吗？ 提示：提示：是等可能的是等可能的 （3 3）符合古典概型的特点吗？）符合古典概型的特点吗？ 提示：提示：不符合不符合 问题问题2:2:取一根长度为取一根长度为3 m3 m的绳子，拉直后在任意位的绳子，拉直后在任意位 置剪断，那么剪得两段的长度都不小于置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1 m1 m的概率的概率 有多大？有多大？ 3 m （1 1）试验中的基本事件是什么？）试验中的基本事件是什么？ （3 3）符合古典概型的特点吗？）符合古典概型的特点吗？ 提示：提示：不符合不符合 提示：提示：从每一个位置
8、剪断都是一个基本事件从每一个位置剪断都是一个基本事件, ,剪剪 断位置可以是长度为断位置可以是长度为3 m3 m的绳子上的任意一点的绳子上的任意一点. . （2 2）每个基本事件的发生是等可能的吗？）每个基本事件的发生是等可能的吗？ 提示：提示：是是 问题问题3:3: 有一杯有一杯1 1升的水，其中漂浮有升的水，其中漂浮有1 1个微生物，个微生物， 用一个小杯从这杯水中取出用一个小杯从这杯水中取出0.10.1升，求小杯水中含升，求小杯水中含 有这个微生物的概率有这个微生物的概率. . （1 1）试验中的基本事件是什么？）试验中的基本事件是什么？ （2 2）每个基本事件的发生是等可能的吗？）每个
9、基本事件的发生是等可能的吗？ （3 3）符合古典概型的特点吗？）符合古典概型的特点吗？ 提示：提示：微生物出现的每一个位置都微生物出现的每一个位置都 是一个基本事件是一个基本事件, ,微生物出现位置可微生物出现位置可 以是以是1 1升水中的任意一点升水中的任意一点. . 提示：提示：是是 提示：提示：不符合不符合 (1)(1)一次试验的所有可能出现的结果有无限多个；一次试验的所有可能出现的结果有无限多个； (2) (2) 每个结果发生的可能性大小相等每个结果发生的可能性大小相等 上面三个随机试验有什么共同特点？上面三个随机试验有什么共同特点？ 向向平平面面上上有有限限区区域域（集集合合）G G
10、内内随随机机地地投投掷掷点点 M M，若若点点M M落落在在子子区区域域G G G G的的概概率率与与G G 的的面面积积成成 正正比比, ,而而与与G G的的形形状状、位位置置无无关关，即即 G G 的的面面积积 P P（点点M M落落在在G G ） = =， G G的的面面积积 则则称称这这种种模模型型几几型型. .何何为为概概 11 1 1 将古典概型中的基本事件的有限性推广到无将古典概型中的基本事件的有限性推广到无 限性，而保留等可能性，就得到几何概型限性，而保留等可能性，就得到几何概型 (1)(1)基本事件的个数有限基本事件的个数有限. . (2)(2)每一个基本事件都是等可能发生的
11、每一个基本事件都是等可能发生的 古典概型的本质特征：古典概型的本质特征： 几何概型的特点：几何概型的特点： （1 1）试验的所有可能出现的结果有无限多个）试验的所有可能出现的结果有无限多个, , （2 2）每个试验结果的发生是等可能的）每个试验结果的发生是等可能的. . 古典概型与几何概型之间的联系古典概型与几何概型之间的联系: : 试验：试验：取一个矩形，在面积为四分之一的部分画上阴取一个矩形，在面积为四分之一的部分画上阴 影，随机地向矩形中撒一把芝麻（以影，随机地向矩形中撒一把芝麻（以100100粒为例），假粒为例），假 设每一粒芝麻落在正方形内的每一个位置的可能性大小设每一粒芝麻落在正方
12、形内的每一个位置的可能性大小 相等相等. .统计落在阴影统计落在阴影A A内的芝麻数与落在矩形内的总芝麻内的芝麻数与落在矩形内的总芝麻 数，观察它们有怎样的比例关系？数，观察它们有怎样的比例关系？ A A 分析分析: :由于区域由于区域A A的面积是矩形面的面积是矩形面 积的积的 , ,因此大约有因此大约有 的芝麻的芝麻(25(25 粒粒) )落在区域落在区域A A内内. . 1 4 1 4 落在区域落在区域A A内的芝麻数内的芝麻数 落在矩形内的芝麻数落在矩形内的芝麻数 区域区域A A的面积的面积 矩形的面积矩形的面积 通过计算机做模拟试验通过计算机做模拟试验, ,不难得出下面的结论不难得出
13、下面的结论: : 一般地一般地, ,在向几何区域在向几何区域D D中随机地投一点中随机地投一点, ,记事件记事件 A A为“该点落在其内部一个区域为“该点落在其内部一个区域d d内”内”, ,则事件则事件A A发发 生的概率为生的概率为: : 注注: :利用这个定理利用这个定理 可以求出不规则图可以求出不规则图 形的面积、体积形的面积、体积. . D d 区域区域D D的面积的面积( (长度或体积长度或体积) ) P(A)=P(A)= 区域区域d d的面积的面积( (长度或体积长度或体积) ) . . 用模拟方法估计圆周率的值用模拟方法估计圆周率的值 y x 0 1 -1 1 -1 基本思想基
14、本思想: : 先作出圆的外切先作出圆的外切 正方形正方形, ,再向正方形中随机地再向正方形中随机地 撒芝麻撒芝麻, ,数出落在圆内的芝麻数出落在圆内的芝麻 数和落在正方形中的芝麻数数和落在正方形中的芝麻数, , 用芝麻落在圆内的频率来估用芝麻落在圆内的频率来估 计圆与正方形的面积比计圆与正方形的面积比, ,由此由此 得出得出 的近似值的近似值. . 我国古代数学家祖冲之早在我国古代数学家祖冲之早在15001500多年前就算出圆周多年前就算出圆周 率率 的值在的值在3.141 592 63.141 592 6和和3.141 592 73.141 592 7之间，这是之间，这是 我国古代数学家的一
15、大成就，请问你知道祖冲之是我国古代数学家的一大成就，请问你知道祖冲之是 怎样算出怎样算出 的近似值的吗？的近似值的吗？ 正方形的面积正方形的面积 = 落在圆内的芝麻数落在圆内的芝麻数 落在正方形内的芝麻数落在正方形内的芝麻数 圆的面积圆的面积 4 问题：问题：如果正方形面积不变，但形状改变，如果正方形面积不变，但形状改变， 所得的比例发生变化吗？所得的比例发生变化吗？ 每个事件发生的概率只与该事件区域的长度每个事件发生的概率只与该事件区域的长度 （面积或体积）有关，与图形的形状无关（面积或体积）有关，与图形的形状无关. . 解：解：设设A=A=等待的时间不多于等待的时间不多于1010分钟分钟
16、，事件，事件 A A恰好是打开收音机的时刻位于恰好是打开收音机的时刻位于5050，6060分分 钟时间段内，因此由几何概型的概率公式得钟时间段内，因此由几何概型的概率公式得 P P（A A）= = 所以所以“等待报时的时间不超过等待报时的时间不超过1010分钟分钟”的概的概 率为率为 60501 606 （） 1 . 6 例例1. 1. 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电 台报时，求他等待的时间不多于台报时，求他等待的时间不多于1010分钟的概率分钟的概率. . 例例2 2在等腰直角三角形在等腰直角三角形ABCABC中，在斜边中，在斜边
17、ABAB上任取上任取 一点一点M M，求，求AMAM小于小于ACAC的概率的概率 解：解：在在ABAB上截取上截取ACACACAC， 故故AMAMACAC的概率等于的概率等于 AMAMACAC的概率的概率 记事件记事件A A为为“AMAM小于小于ACAC”， 2 ( ) 22 ACACAC P A ABABAC 答：答：AMAMACAC的概率为的概率为 2 . 2 C C A A C C B B M M 结论结论 试验的所有可能出现的结果所构成的区域长度试验的所有可能出现的结果所构成的区域长度 构成事件构成事件A A的区域长度的区域长度 ( )P A . . 例例3. 3. 小明家的晚报在下午
18、小明家的晚报在下午5 5：30306 6：3030的任何一个时的任何一个时 间随机地被送到，小明一家人在下午间随机地被送到，小明一家人在下午6 6：00007 7：0000的的 任何一个时间随机地开始晚餐任何一个时间随机地开始晚餐. . （1 1）你认为晚报在晚餐开始之前被送到和在晚餐开始）你认为晚报在晚餐开始之前被送到和在晚餐开始 之后被送到哪一种可能性更大？之后被送到哪一种可能性更大？ （2 2）晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少）晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少? ? 解：解：（1 1）设计一个模拟方案）设计一个模拟方案 晚报在晚报在5:305:30 6:006:00被送到，或晚餐
19、在被送到，或晚餐在6 6：30307 7： 0000开始，这两种情况都使得晚报的送达在晚餐开始开始，这两种情况都使得晚报的送达在晚餐开始 之前，因此晚报在晚餐开始之前被送到的可能性更之前，因此晚报在晚餐开始之前被送到的可能性更 大大. . 我们用模拟方法来估计晚报在晚餐开始之前被送到我们用模拟方法来估计晚报在晚餐开始之前被送到 的概率的概率: : 用两个转盘来模拟上述过程，一个转盘用于模用两个转盘来模拟上述过程，一个转盘用于模 拟晚报的送达，另一个转盘用于模拟晚餐，两个转拟晚报的送达，另一个转盘用于模拟晚餐，两个转 盘各转动一次并记录下结果就完成一次模拟盘各转动一次并记录下结果就完成一次模拟.
20、 . （2 2）理论上的精确值）理论上的精确值: =0.875.: =0.875. 7 8 如果小明家的晚报在下午如果小明家的晚报在下午5 5:45:456 6:45:45的任何一个的任何一个 时间随机地被送到，小明一家人在下午时间随机地被送到，小明一家人在下午6 6:00:007 7:00:00的的 任何一个时间随机地开始晚餐任何一个时间随机地开始晚餐. . 你认为晚报在晚餐开始之前被送到可能性是变大你认为晚报在晚餐开始之前被送到可能性是变大 了还是变小了呢？了还是变小了呢？ 变小了变小了 1 1. .某商场为了吸引顾客某商场为了吸引顾客，设立设立 了一个可以自由转动的转盘了一个可以自由转动
21、的转盘， 并规定并规定: :顾客每购买顾客每购买100100元的商元的商 品品，就能获得一次转动转盘的就能获得一次转动转盘的 机会机会. .如果转盘停止时如果转盘停止时，指针正指针正 好对准红好对准红、黄或绿的区域黄或绿的区域，顾顾 客就可以获得客就可以获得100100元元、5050元元、2020 元的购物券元的购物券（转盘等分成转盘等分成2020 份份）. . 绿绿 黄黄 绿 绿绿 红红 绿绿 黄黄 甲顾客购物甲顾客购物120120元，他获得购物券的概率是多少？元，他获得购物券的概率是多少？ 他得到他得到100100元、元、5050元、元、2020元的购物券的概率分别是多少？元的购物券的概率
22、分别是多少？ 解：解：甲顾客购物的钱数在甲顾客购物的钱数在100100元到元到200200元之间，可以元之间，可以 获得一次转动转盘的机会，转盘一共等分了获得一次转动转盘的机会，转盘一共等分了2020份，份， 其中其中1 1份红色、份红色、2 2份黄色、份黄色、4 4份绿色，因此对于顾客来份绿色，因此对于顾客来 说：说： P P（获得购物券）（获得购物券）= = P P（获得（获得100100元购物券）元购物券）= = P P（获得（获得5050元购物券）元购物券）= = P P（获得（获得2020元购物券）元购物券）= = 1247 , 2020 1 , 20 21 , 2010 41 .
23、205 B B 2.2.(2014(2014湖南高考湖南高考) )在区间在区间 - -2,32,3上随机选取一上随机选取一 个数个数 X,X,则则 X X1 1 的概率为的概率为( ( ) ) A.A. 4 5 B.B. 3 5 C.C. 2 5 D D. . 1 5 【解析解析】 选选 B.B.基本事件空间为区间基本事件空间为区间 - -2,3,2,3,它的度它的度 量是长度量是长度 5,X5,X1 1 的度量是的度量是 3,3,所以所求概率为所以所求概率为 3 5 . . 1.1.几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几 何概型的概率计算
24、公式时，一定要注意其适用条件：每何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每 个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或 体积）成比例，而与事件的位置及形状无关体积）成比例，而与事件的位置及形状无关. . 2.2.几何概型的两个特点几何概型的两个特点: : 基本事件的个数是无限的基本事件的个数是无限的; ; 基基 本事件的发生是等可能的；本事件的发生是等可能的； 3.3.几何概型概率的计算公式几何概型概率的计算公式 4.4.几何概型的应用：几何概型主要用来计算事件可几何概型的应用：几何概型主要用来计算事件可 “连续”发生的有关概率问题“连续”发生的有关概率问题, ,如与速度、温度变化如与速度、温度变化 有关的物理问题有关的物理问题, ,与长度、面积、体积有关的实际生与长度、面积、体积有关的实际生 产、生活问题产、生活问题. . ( ). A P A 构成事件 的区域长度（面积或体积） 全部结果所构成的区域长度（面积或体积） 三更灯火五更鸡，正是男儿读书时； 黑发不知勤学早，白首方悔读书迟. （唐）颜真卿
