1、2.3 互斥事件 第1课时 互斥事件 古典概型概率公式古典概型概率公式 1.1.试验的所有结果只有有限个且每次只有一个结果试验的所有结果只有有限个且每次只有一个结果. . 2.2.每一个试验结果出现的可能性相同每一个试验结果出现的可能性相同. . 古典概型的两个特征：古典概型的两个特征： 一般来说一般来说, ,在建立概率模型时，我们把什么看作是在建立概率模型时，我们把什么看作是 一个基本事件是人为规定的一个基本事件是人为规定的, ,也就是说也就是说, ,对于同一个对于同一个 随机试验随机试验, ,可以根据需要可以根据需要, ,建立满足我们要求的概率建立满足我们要求的概率 模型模型. . 事事件
2、件A A包包含含的的可可能能结结果果数数 试试验验的的所所有有可可能能结结果果数数 () ( ) ) . ( m P A n 一袋中装有一袋中装有2 2个红球个红球,3,3个黄球个黄球,5,5个白球个白球, ,各球除各球除 了颜色外其他都相同了颜色外其他都相同, ,从中任意摸出一球从中任意摸出一球, ,设设A=“A=“摸摸 出红球”出红球”,B=“,B=“摸出黄球”摸出黄球”,C=“,C=“摸出白球”摸出白球”, D=“, D=“ 摸出的球不是白球”摸出的球不是白球”. .回答下列问题回答下列问题: : (1)(1)求这些事件发生的概率求这些事件发生的概率 P(A),P(B),P(C),P(D
3、)P(A),P(B),P(C),P(D). . (2)(2)摸出红球或黄球的概率是多少？摸出红球或黄球的概率是多少？ (3)C(3)C与与D D能同时发生吗能同时发生吗? A? A与与B B呢？呢？ 1.1.了解事件“了解事件“A+B”A+B”的含义，并能将一些复杂的事的含义，并能将一些复杂的事 件表示为互斥事件的和，以便于利用概率加法公件表示为互斥事件的和，以便于利用概率加法公 式求其概率式求其概率. . 2.2.正确理解互斥事件和对立事件的概念正确理解互斥事件和对立事件的概念. .( (重点重点) ) 3.3.掌握互斥事件的概率加法公式以及对立事件的掌握互斥事件的概率加法公式以及对立事件的
4、 概率之间的关系概率之间的关系. .（难点）（难点） 互斥事件互斥事件 在一个随机试验中在一个随机试验中, ,我们把一次试验下不能同时发我们把一次试验下不能同时发 生的两个事件生的两个事件A A与与B B称作互斥事件称作互斥事件. . 如：如： 从字面上如从字面上如 何理解“互何理解“互 斥事件”斥事件” 互：相互；斥：排斥互：相互；斥：排斥. . 互斥事件：一次试验下不能同时互斥事件：一次试验下不能同时 发生的两个或多个事件发生的两个或多个事件. . 若若A,BA,B互斥互斥, ,则则A,BA,B不能同时发生不能同时发生. . 相互排斥，即不能同时出相互排斥，即不能同时出现现. 抛硬币时，“
5、正面朝上”和“反面朝抛硬币时，“正面朝上”和“反面朝 上”；抽奖时，“中奖”和“不中奖”上”；抽奖时，“中奖”和“不中奖”. . 你还能举出一些你还能举出一些 生活中的其他例生活中的其他例 子吗？子吗？ 抛掷一枚骰子一次抛掷一枚骰子一次, ,下面的事件下面的事件A A与事件与事件B B是互斥事件是互斥事件 吗？吗？ (1)(1)事件事件A=“A=“点数为点数为2”,2”,事件事件B=“B=“点数为点数为3”3”； (2)(2)事件事件A=“A=“点数为奇数”点数为奇数”, ,事件事件B=“B=“点数为点数为4” 4” ； (3)(3)事件事件A=“A=“点数不超过点数不超过3”,3”,事件事件
6、B=“B=“点数超过点数超过3”3”； (4)(4)事件事件A=“A=“点数为点数为5”,5”,事件事件B=“B=“点数超过点数超过3”.3”. 解：解：互斥事件互斥事件: (1)(2)(3), (4): (1)(2)(3), (4)不是互斥事件不是互斥事件, ,当点当点 数为数为5 5时时, , A A B B A A B B A A，B B互斥互斥 A A，B B不互斥不互斥 从集合的意义理解，事件从集合的意义理解，事件A A和事件和事件B B同时发生同时发生. . A A与与B B交集为空集交集为空集 A A与与B B交集不为空集交集不为空集 在在(1)(1)中中,A,A表示事件“点数为
7、表示事件“点数为2”,B2”,B表示事件“点数表示事件“点数 为为3”,3”,我们把事件“点数为我们把事件“点数为2 2或或3”3”记作记作A+BA+B. . 事件事件A+BA+B发生的意义发生的意义: :事件事件A A和事件和事件B B至少有一个至少有一个 发生发生. . 当当A A与与B B互斥时互斥时,A+B,A+B事件指“事件指“A A发生发生B B不发生”和“不发生”和“A A 不发生不发生B B发生”发生”. . 题中题中(2)(3)(2)(3)和和(4)(4)中的事件中的事件A A和和B B，A+BA+B各表示什么事各表示什么事 件？件？ (2)A+B(2)A+B表示“点数为奇数
8、或表示“点数为奇数或4”4”. . (3)A+B(3)A+B表示“点数不超过表示“点数不超过3 3或点数超过或点数超过3”,3”,即事即事 件全体件全体. . (4)A+B(4)A+B表示“点数为表示“点数为5 5或点数超过或点数超过3”,3”,即事件即事件 B B. . 对题中对题中(1),(2),(3)(1),(2),(3)中每一对事件中每一对事件, ,完成下表完成下表. . (1)(1) (2)(2) (3)(3) P(A)P(A) P(B)P(B) P(A)+P(B)P(A)+P(B) P(A+B)P(A+B) 根据你的结果根据你的结果, , 你发现你发现P(A+B)P(A+B) 与与
9、P(A)+P(B)P(A)+P(B)有有 什么样的大小什么样的大小 关系？关系？ P(A+B)=P(A)+P(B)P(A+B)=P(A)+P(B) 1/61/6 1/61/6 2/62/6 2/62/6 3/63/6 1/61/6 4/64/6 4/64/6 3/63/6 3/63/6 1 1 1 1 例例1 1 在在2.12.1例中随机地从例中随机地从2 2个箱子中各取个箱子中各取1 1个质量盘个质量盘, ,下下 面的事件面的事件A A和事件和事件B B是否是互斥事件是否是互斥事件? ? (1)(1)事件事件A=“A=“总质量为总质量为20 kg”,20 kg”,事件事件B=“B=“总质量为
10、总质量为 30 kg”30 kg”. . (2)(2)事件事件A=“A=“总质量为总质量为7.5 kg”,7.5 kg”,事件事件B=“B=“总质量超过总质量超过 10 kg”10 kg”. . (3)(3)事件事件A=“A=“总质量不超过总质量不超过10 kg”,10 kg”,事件事件B=“B=“总质量超总质量超 过过10 kg”10 kg”. . (4)(4)事件事件A=“A=“总质量为总质量为20 kg”,20 kg”,事件事件B=“B=“总质量超过总质量超过 10 kg”. 10 kg”. 解解: :在在(1)(2)(3)(1)(2)(3)中中, ,事件事件A A与事件与事件B B不可
11、能同时发生不可能同时发生, , 因此，事件因此，事件A A与事件与事件B B是互斥事件是互斥事件. . 对于对于(4)(4)中的事件中的事件A A和事件和事件B,B,随机地从随机地从2 2个箱子个箱子 中各取中各取1 1个质量盘个质量盘, ,当总质量为当总质量为20 kg20 kg时时, ,事件事件A A与事与事 件件B B同时发生同时发生, ,因此因此, ,事件事件A A与事件与事件B B不是互斥事件不是互斥事件. . 给定事件给定事件A,B,A,B,我们规定我们规定A+BA+B为一个事件为一个事件, ,事件事件 A+BA+B发生是指事件发生是指事件A A和事件和事件B B至少有一个发生至少
12、有一个发生. . 例如例如: :在例在例1 1(1)(1)中中,A,A表示事件“总质量为表示事件“总质量为20kg”,20kg”, B B 表示事件“总质量为表示事件“总质量为30kg”,30kg”, 我们把事件“总质量为我们把事件“总质量为20kg20kg或或30kg”30kg”记作记作A+B.A+B. (1)(1)与集合类比与集合类比, ,事件事件A+BA+B可用如图表示可用如图表示. . (2)(2)事件事件A+BA+B与事件与事件B+AB+A是同一事件，即是同一事件，即 A+B=B+A.A+B=B+A. (3)A+B(3)A+B有三层意思有三层意思: : 事件事件A A发生发生, ,事
13、件事件B B不发生不发生; ; 事件事件A A不发生不发生, ,事件事件B B发生发生; ; 事件事件A A、事件、事件B B同时发生同时发生. . A B 用集合解释用集合解释 在一个随机试验中在一个随机试验中, ,如果随机事件如果随机事件A A和事件和事件B B 是互斥事件是互斥事件, ,那么有那么有 P(A+B)=P(A)+P(B).P(A+B)=P(A)+P(B). 说明说明: : (1)(1)上面的公式叫作互斥事件的概率加法公式上面的公式叫作互斥事件的概率加法公式. . (2)(2)加法公式的前提条件是加法公式的前提条件是: :事件事件A A与事件与事件B B互斥互斥. . 如果没有
14、这一条件如果没有这一条件, ,加法公式将不能应用加法公式将不能应用. . 例例2 2 从一箱产品中随机地抽取一件产品从一箱产品中随机地抽取一件产品, ,设事件设事件A=“A=“抽抽 到的是一等品”到的是一等品”, ,事件事件B=“B=“抽到的是二等品”抽到的是二等品”, ,事件事件C=C= “抽到的是三等品”抽到的是三等品”, ,且已知且已知P(A)=0.7,P(B)=0.1,P(C)=P(A)=0.7,P(B)=0.1,P(C)= 0.05.0.05.求下列事件的概率求下列事件的概率: : ( (1)1)事件事件D=“D=“抽到的是一等品或三等品”抽到的是一等品或三等品”. . ( (2 2
15、) )事件事件E=E=“抽到的是二等品或三等品抽到的是二等品或三等品”. . 解解: :(1)(1)事件事件D D即事件即事件A+C,A+C, 因为事件因为事件A=A=“抽到的是一等品抽到的是一等品”和事件和事件C=C=“抽抽 到的是三等品到的是三等品”是互斥事件是互斥事件, , 由互斥事件的概率加法公式由互斥事件的概率加法公式, , P(D)=P(A+C)=P(A)+P(C)=0.7+0.05=0.75.P(D)=P(A+C)=P(A)+P(C)=0.7+0.05=0.75. (2)(2)事件事件E E即事件即事件B+CB+C，因为事件，因为事件B=B=“抽到的是二等抽到的是二等 品品”和事
16、件和事件C=C=“抽到的是三等品抽到的是三等品”是互斥事件，由是互斥事件，由 互斥事件的概率加法公式，互斥事件的概率加法公式， P P（E E）=P(B+C)=P(B)+P(C)=0.1+0.05=0.15.=P(B+C)=P(B)+P(C)=0.1+0.05=0.15. 【思考交流思考交流】事件事件D+ED+E表示的是什么表示的是什么? ?它的概率它的概率 P(D+E)P(D+E)等于等于P(D)+P(E)P(D)+P(E)吗吗? ? 容易看出容易看出, ,事件事件D+ED+E表示“抽到的是一等品或二表示“抽到的是一等品或二 等品或三等品”等品或三等品”. .事件事件D D和事件和事件E E
17、不是互斥事件不是互斥事件, , 因此不满足互斥事件的概率加法公式因此不满足互斥事件的概率加法公式. . 事实上事实上,P(D+E)=P(A)+P(B)+P(C)=0.85,P(D+E)=P(A)+P(B)+P(C)=0.85,而而 P(D)+P(E)= P(A)+P(C)+P(B)+P(C)=0.9,“P(D)+P(E)= P(A)+P(C)+P(B)+P(C)=0.9,“抽到抽到 的是三等品”的概率的是三等品”的概率P(C)P(C)在在P(D)P(D)和和P(E)P(E)中各算了一中各算了一 次次, ,因此因此, ,事件事件D+ED+E的概率的概率P(D+E)P(D+E)不等于不等于P(D)
18、+P(E).P(D)+P(E). 例例3 3 某地政府准备对当地的农村产业结构进行调某地政府准备对当地的农村产业结构进行调 整整, ,为此政府进行了一次民意调查为此政府进行了一次民意调查.100.100个人接受了个人接受了 调查调查, ,他们被要求在赞成调整、反对调整、对这次他们被要求在赞成调整、反对调整、对这次 调整不发表看法中任选一项调整不发表看法中任选一项. .调查结果如表所示调查结果如表所示: : 男男 女女 总计总计 赞成赞成 1818 9 9 2727 反对反对 1212 2525 3737 不发表看法不发表看法 2020 1616 3636 总计总计 5050 5050 1001
19、00 随机选取一个被调查者随机选取一个被调查者, ,他对这次调整表示反对他对这次调整表示反对 或不发表看法的概率是多少或不发表看法的概率是多少? ? 解解: :用用A A表示事件表示事件“对这次调整表示反对对这次调整表示反对”,B,B表表 示事件示事件“对这次调整不发表看法对这次调整不发表看法”, ,则则A A和和B B是互是互 斥事件斥事件, ,并且并且A+BA+B就表示事件就表示事件“对这次调整表示对这次调整表示 反对或不发表看法反对或不发表看法”, ,由互斥事件的概率加法公由互斥事件的概率加法公 式得式得: : 因此因此, ,随机选取的一个被调查者对这次调整随机选取的一个被调查者对这次调
20、整 表示反对或不发表看法的概率是表示反对或不发表看法的概率是0.73.0.73. 373673 ()( )( )0.73. 100100100 P ABP AP B P(A)=1P(A)=1P(A).P(A). 一次试验中，必有一个发生的互斥事件，称一次试验中，必有一个发生的互斥事件，称 为对立事件为对立事件. . (3)(3)对立事件是针对两个事件来说的对立事件是针对两个事件来说的, ,一般地一般地, ,两个事两个事 件对立件对立, ,则两个事件必互斥则两个事件必互斥. .反之反之, ,两个事件互斥两个事件互斥, ,则则 未必是对立事件未必是对立事件. . (4)(4)对立事件的概率公式对立
21、事件的概率公式: : (1)(1)对立事件也称逆事件，对立事件也称逆事件，A A的对立事件记作的对立事件记作 . . A (2)(2)其含义是其含义是: :在一次试验中在一次试验中, ,事件事件A A与与 只发生其中只发生其中 之一之一, ,并且必然发生其中之一并且必然发生其中之一. . A 对立事件对立事件 例例4 4 某学校成立了数学、英语、音乐某学校成立了数学、英语、音乐3 3个课外兴趣个课外兴趣 小组小组,3,3个小组分别有个小组分别有39,32,3339,32,33名成员名成员, ,一些成员参一些成员参 加了不止加了不止1 1个小组个小组, ,具体情况如图所示具体情况如图所示. .随
22、机选取随机选取1 1名名 成员成员: : (1)(1)他至少参加他至少参加2 2个小组的概率是多少个小组的概率是多少? ? (2)(2)他参加不超过他参加不超过2 2个小组的概率是多少个小组的概率是多少? ? 数学数学 10 英语英语 6 音乐音乐 8 7 11 10 8 “至少至少” “不超过不超过 ”等的等的 方法方法 解解: :(1)(1)从图中可以看出从图中可以看出,3,3个课外兴趣小组总人数为个课外兴趣小组总人数为 60.60.用用A A表示事件表示事件“选取的成员只参加选取的成员只参加1 1个小组个小组”， 因此因此, ,随机选取的随机选取的1 1名成员至少参加名成员至少参加2 2
23、个小组的概率个小组的概率 是是0.6.0.6. 6810 ( )1( )10.6. 60 P AP A 则则 就表示就表示“选取的成员至少参加选取的成员至少参加2 2个个 小组小组”, ,于是于是, , A 813 ( )1( )10.87. 6015 BB=BB=PP B B （2 2）用）用B B表示事件表示事件“选取的成员参加选取的成员参加3 3个小组个小组”，则，则 就表示就表示“选取的成员参加不超过选取的成员参加不超过2 2个小组个小组”，于是，于是 所以，随机选取的名成员参加不超过个小组的所以，随机选取的名成员参加不超过个小组的 概率约等于概率约等于0.87.0.87. P(AP(
24、A1 1+A+A2 2+ +A+An n)=P(A)=P(A1 1)+P(A)+P(A2 2)+)+P(A+P(An n).). 2.2.一般地一般地, ,如果随机事件如果随机事件A A1 1,A,A2 2, , ,A An n中任意中任意 两个都是互斥事件两个都是互斥事件, ,那么有那么有 1.1.事件事件A A1 1,A,A2 2, , ,A An n中至少有一个发生表示中至少有一个发生表示 事件事件A A1 1+A+A2 2+ + +A An n发生发生. . 【知识扩展知识扩展】 1 1从从1 1，2 2，9 9中任取两数，其中：恰有一个偶中任取两数，其中：恰有一个偶 数和恰有一个奇数
25、；至少有一个奇数和两个都是奇数和恰有一个奇数；至少有一个奇数和两个都是奇 数；至少有一个奇数和两个都是偶数；至少有一数；至少有一个奇数和两个都是偶数；至少有一 个奇数和至少有一个偶数个奇数和至少有一个偶数. .在上述事件中，是对立事在上述事件中，是对立事 件的是（件的是（ ） A.A. B.B. C.C. D.D. C C 2.2.甲、乙两人下棋，下成和棋的概率是甲、乙两人下棋，下成和棋的概率是 , ,乙获胜乙获胜 的概率是的概率是 ，则甲不胜的概率是（，则甲不胜的概率是（ ） A. B. A. B. C. D. C. D. 1 2 1 3 1 2 5 6 1 6 2 3 B B 3.3.某产
26、品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次 品，若生产中出现乙级品的概率为品，若生产中出现乙级品的概率为0.030.03，出现丙级品，出现丙级品 的概率为的概率为0.010.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为，则对成品抽查一件抽得正品的概率为 （ ） A.0.09 B.0.98 A.0.09 B.0.98 C.0.97 D.0.96C.0.97 D.0.96 D D 4.4.某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞 机去的概率分别为机去的概率分别为0.30.3，0.20.2，0.10.1，0.40.4， （1
27、 1）求他乘火车或乘飞机去的概率）求他乘火车或乘飞机去的概率. . （2 2）求他不乘轮船去的概率）求他不乘轮船去的概率. . （3 3）如果他乘某种交通工具去开会的概率为）如果他乘某种交通工具去开会的概率为0.50.5， 请问他有可能是乘何种交通工具去的？请问他有可能是乘何种交通工具去的？ 解：解：记记“他乘火车去他乘火车去”为事件为事件A A，“他乘轮船去他乘轮船去”为事为事 件件B B，“他乘汽车去他乘汽车去”为事件为事件C C，“他乘飞机去他乘飞机去”为事为事 件件D D，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥， （1 1）P(A+D)=0.
28、3+0.4=0.7P(A+D)=0.3+0.4=0.7. . （2 2）设他不乘轮船去的概率为）设他不乘轮船去的概率为P P，则，则P=1P=1P(B)=0.8P(B)=0.8. . （3 3）由于）由于0.5=0.2+0.3=0.1+0.40.5=0.2+0.3=0.1+0.4，故他有可能乘火车，故他有可能乘火车 或轮船去，也有可能乘汽车或飞机去或轮船去，也有可能乘汽车或飞机去. . P(A+B) = P(A) + P(B).P(A+B) = P(A) + P(B). (2)(2)若事件若事件A A1 1，A A2 2，A An n都彼此互斥都彼此互斥: : P P（A A1 1+ +A A2 2+ + +A An n)=P(A)=P(A1 1)+P(A)+P(A2 2)+P(A)+P(An n).). 1.1.互斥事件互斥事件: :不同时发生的两个或多个事件不同时发生的两个或多个事件. . (1)(1)若事件若事件A A与与B B互斥：互斥： 2.2.对立事件：必有一个发生的两个互斥事件对立事件：必有一个发生的两个互斥事件( (与与 对立）对立） P(A)=1P(A)=1P(B)=1P(B)=1 P(A). 一个人如果胸无大志，即使有再壮丽 的举动也称不上是伟人. 拉罗什夫科
