1、第一章集合与常用逻辑用语第一节集 合(全国卷5年13考)【知识梳理【知识梳理】1.1.集合与元素集合与元素(1)(1)集合中元素的三个集合中元素的三个特征特征:_:_、_、_._.(2)(2)元素与集合的关系是元素与集合的关系是_或或_,_,用符号用符号_或或_表示表示.确定性确定性互异性互异性无序性无序性属于属于不属于不属于(3)(3)集合的表示法集合的表示法:_:_、_、_._.列举法列举法描述法描述法图示法图示法(4)(4)常见数集的记法常见数集的记法集合集合自然数自然数集集正整数正整数集集整数集整数集有理数有理数集集实数集实数集符号符号_N NN N+或或N N*Z ZQ QR R2.
2、2.集合间的基本关系集合间的基本关系关系关系自然语言自然语言符号语言符号语言VennVenn图图子集子集集合集合A A中的任意中的任意一个元素都是一个元素都是集合集合B B中的元素中的元素(若若xAxA,则则xBxB)_ A AB(B(或或B BA)A)关系关系自然语言自然语言符号语言符号语言VennVenn图图真子真子集集集合集合A A是集合是集合B B的子集的子集,且集合且集合B B中至少有一个中至少有一个元素不在集合元素不在集合A A中中_ 集合集合相等相等集合集合A,BA,B中的元中的元素相同或集合素相同或集合A,BA,B互为子集互为子集_ A A B B(或或B BA)A)A=BA=
3、B3.3.集合的基本运算集合的基本运算运算运算自然语言自然语言符号语言符号语言韦恩韦恩(Venn)(Venn)图图交集交集由属于集合由属于集合A A且且属于集合属于集合B B的所的所有元素组成的有元素组成的集合集合AB=x|AB=x|xAxA且且xxBB 运算运算 自然语言自然语言符号语言符号语言 韦恩韦恩(Venn)(Venn)图图并集并集由所有属于集由所有属于集合合A A或属于集合或属于集合B B的元素组成的的元素组成的集合集合AB=x|AB=x|xAxA或或xxBB 补集补集由全集由全集U U中不属中不属于集合于集合A A的所有的所有元素组成的集元素组成的集合合 U UA=A=x|xUx
4、|xU且且x x AA 【常用结论【常用结论】1.1.几个常用等价关系几个常用等价关系AB=AAB=AB BA,AB=AA,AB=AA AB.B.2.2.集合的运算性质集合的运算性质(1)AA=A,A(1)AA=A,A =.(2)AA=A,A(2)AA=A,A =A.=A.(3)A(3)A(U UA)=A)=,A(,A(U UA)=U,A)=U,U U(U UA)=A.A)=A.3.3.子集个数子集个数若集合若集合A A中含有中含有n n个元素个元素,则它的子集个数为则它的子集个数为2 2n n,真子集真子集个数为个数为2 2n n-1,-1,非空真子集个数为非空真子集个数为2 2n n-2.
5、-2.【基础自测【基础自测】题组一题组一:走出误区走出误区1.1.判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确(打打“”或或“”).”).(1)(1)集合集合xN|xxN|x3 3x,x,用列举法表示为用列举法表示为 1 1，0 0，1 1.()(2)x|y(2)x|yx x2 2 y|yy|yx x2 2(x(x，y)|yy)|yx x2 2.()(3)(3)方程方程 +(y+2 019)+(y+2 019)2 2=0=0的解集为的解集为2 0182 018，2 019.2 019.()x2 018提示提示:(1)(1).由于由于-1-1 N,N,故故(1)(1)错错.(2)(2).x|yx|y
6、x x2 2 R R，y|yy|yx x2 2 y|y0y|y0=0,+),=0,+),以上两集合为数集以上两集合为数集,但范围不同但范围不同,(x(x，y)|yy)|yx x2 2 表示表示抛物线抛物线y=xy=x2 2上所有点的集合上所有点的集合,故故(2)(2)错错.(3)(3).该方程含有两个未知数该方程含有两个未知数,解集为解集为(2 018(2 018，2 019)2 019),故故(3)(3)错错.2.2.已知集合已知集合M=1,2,3,4,M=1,2,3,4,则集合则集合P=x|xMP=x|xM,且且2x2x MM的子集的个数为的子集的个数为()A.8A.8B.4B.4C.3C
7、.3D.2D.2【解析【解析】选选B.B.由题意由题意,得得P=P=3,43,4,所以集合所以集合P P的子集有的子集有2 22 2=4=4个个.3.3.已知集合已知集合A=mA=m2,2m2,2m2 2m,m,若若3A,3A,则则m m的值为的值为_._.【解析【解析】因为因为3A,3A,所以所以m+2=3m+2=3或或2m2m2 2+m=3.+m=3.当当m+2=3,m+2=3,即即m=1m=1时时,2m,2m2 2+m=3,+m=3,此时集合此时集合A A中有重复元素中有重复元素3,3,所以所以m=1m=1不不符合题意符合题意,舍去舍去;当当2m2m2 2+m=3+m=3时时,解得解得m
8、=-m=-或或m=1(m=1(舍去舍去),),当当m=-m=-时时,m+2=3,m+2=3符合题意符合题意.所以所以m=-.m=-.答案答案:-3232123232题组二题组二:走进教材走进教材1.(1.(必修必修1P12A1P12A组组T5T5改编改编)若集合若集合P=xQ|xP=xQ|x ,a=,a=,则则()A.aPA.aPB.aPB.aPC.aC.aP PD.aD.a P P2 020【解析【解析】选选D.D.因为因为a=a=不是有理数不是有理数,而集合而集合P P是不大于是不大于 的有理数构成的集合的有理数构成的集合,所以所以a a P P.2 0202.(2.(必修必修1P12A1
9、P12A组组T6T6改编改编)已知集合已知集合A=x|xA=x|x2 2-2x-30,-2x-30,B=x|0 x4,B=x|0 x4,则则AB=AB=()A.-1,4A.-1,4B.(0,3B.(0,3C.(-1,0(1,4C.(-1,0(1,4D.-1,0(1,4D.-1,0(1,4【解析【解析】选选A.A=x|xA.A=x|x2 22x2x3030 x|x|1x3,1x3,故故AB=-1,4.AB=-1,4.3.(3.(必修必修1P111P11练习练习T1T1改编改编)已知集合已知集合A=1,3,5,7A=1,3,5,7，B=2,3,4,5,B=2,3,4,5,则则AB=AB=()A.3
10、A.3B.5B.5C.3,5C.3,5D.1,2,3,4,5,7D.1,2,3,4,5,7【解析【解析】选选C.AB=3,5.C.AB=3,5.考点一集合的基本概念考点一集合的基本概念【题组练透【题组练透】1.1.已知集合已知集合A=1,2,3,A=1,2,3,集合集合B=x|xAB=x|xA,则集合则集合A A与集与集合合B B的关系为的关系为()A.AA.AB B B.BB.BA C.A=BA C.A=B D.D.不能确定不能确定【解析【解析】选选C.C.由题意可得由题意可得,集合集合B=1,2,3,B=1,2,3,所以所以A=B.A=B.2.2.已知已知a,bRa,bR,若若 =a=a2
11、 2,a+b,0,a+b,0,则则a a2 0192 019+b+b2 0192 019为为()A.1A.1B.0B.0C.-1C.-1D.D.1 1ba1a，【解析【解析】选选C.C.由已知得由已知得a0,a0,则则 =0,=0,所以所以b=0,b=0,于是于是a a2 2=1,=1,即即a=1a=1或或a=-1,a=-1,又根据集合中元素的互异性可知又根据集合中元素的互异性可知a=1a=1应舍去应舍去,因此因此a=-1,a=-1,故故a a2 0192 019+b+b2 0192 019=(-1)=(-1)2 0192 019+0+02 0192 019=-1.-1.ba3.3.若集合若集
12、合A=xR|axA=xR|ax2 2-3x+2=0-3x+2=0中只有一个元素中只有一个元素,则则a a等等于于()999A.B C 0 D 0288或【解析【解析】选选D.D.若集合若集合A A中只有一个元素中只有一个元素,则方程则方程axax2 2-3x-3x+2=0+2=0只有一个实根或两个相等实根只有一个实根或两个相等实根.当当a=0a=0时时,x=,x=,符符合题意合题意;当当a0a0时时,由由=(-3)=(-3)2 2-8a=0,-8a=0,得得a=,a=,所以所以a a的的值为值为0 0或或 .2398984.4.设设2 019x,x2 019x,x2 2,则满足条件的所有则满足
13、条件的所有x x组成的集组成的集合的真子集的个数为合的真子集的个数为_._.【解析【解析】由题意知由题意知,x=-2 019,x=-2 019或或x=-,x=-,所以所有所以所有x x组成的集合为组成的集合为-2 019,-,-2 019,-,所以真子集有所以真子集有2 22 2-1=31=3个个.答案答案:3 32x2 0192 019【规律方法【规律方法】与集合中的元素有关的问题的求解思路与集合中的元素有关的问题的求解思路(1)(1)确定集合的元素是什么确定集合的元素是什么,即集合是数集还是点集即集合是数集还是点集.(2)(2)看清元素的限制条件看清元素的限制条件.(3)(3)根据限制条件
14、求参数的值或确定集合中元素的个数根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数,但是注意满足集合元素的互异性但是注意满足集合元素的互异性.考点二集合间的基本关系考点二集合间的基本关系【典例【典例】(1)(1)已知集合已知集合A=x|xA=x|x2 2-3x+2=0,xR,B=x|0-3x+2=0,xR,B=x|0 x5,xN,x5,xN,则满足条件则满足条件A AC CB B的集合的集合C C的个数为的个数为 ()A.1A.1B.2B.2C.3C.3 D.4D.4(2)(2)已知集合已知集合A=x|xA=x|x2 2-2 019x+2 0180,B=x|x-2 019x+2 0180,B=x|x
15、a,a,若若A AB,B,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是_._.世纪金榜导世纪金榜导学号学号【解析【解析】(1)(1)选选D.D.由题意可得由题意可得,A=1,2,B=1,2,3,4,A=1,2,B=1,2,3,4,又因为又因为A AC CB,B,所以所以C=1,2C=1,2或或1,2,31,2,3或或1,2,41,2,4或或1,2,3,4.1,2,3,4.(2)(2)由由x x2 2-2 019x+2 0180,-2 019x+2 0180,解得解得1x2 018,1x2 018,故故A=x|1 A=x|1 x2 018.x2 018.又因为又因为B=x|xa,AB=x|xa,A
16、B B,如图所示如图所示,可得可得a2 018.a2 018.答案答案:2 018,+)2 018,+)【互动探究【互动探究】本例本例(2)(2)中中,若将集合若将集合B B改为改为x|xax|xa,其其他条件不变他条件不变,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是_._.【解析【解析】A=x|1x2 018,B=x|xa,AA=x|1x0,B=x|-x0,B=x|-x22或或x0,x22或或x0 x|-x =R.x0 x|-x =R.552.2.已知集合已知集合A=xR|xA=xR|x2 2+x-6=0,B=xR|ax-1=0,+x-6=0,B=xR|ax-1=0,若若B BA,A,则实数
17、则实数a a的值为的值为()1111A.B32321111C.0 D03232或 或或 或 或或【解析【解析】选选D.D.由题意知由题意知A=2,-3,A=2,-3,当当a=0a=0时时,B=,B=,满足满足B BA;A;当当a0a0时时,ax-1=0,ax-1=0的解为的解为x=,x=,由由B BA,A,可得可得 =-3=-3或或 =2,=2,所以所以a=-a=-或或a=.a=.综上综上,a,a的值为的值为-或或 或或0.0.1a1a1a13121213考点三集合的基本运算考点三集合的基本运算【明考点【明考点知考法知考法】集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、集合运算多与解简单的不等式、
18、函数的定义域、值域相联系值域相联系,考查对集合的理解及不等式的有关知识考查对集合的理解及不等式的有关知识;有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题,考查学生考查学生的灵活处理问题的能力的灵活处理问题的能力.命题角度命题角度1 1交集或并集的运算交集或并集的运算【典例【典例】(1)(2018(1)(2018北京高考北京高考)已知集合已知集合A=x|xA=x|x|2,|2,B=-2,0,1,2,B=-2,0,1,2,则则AB=AB=()A.0,1A.0,1B.-1,0,1B.-1,0,1C.-2,0,1,2C.-2,0,1,2D.-1,0,1,2D.-1,0,1
19、,2【解析【解析】选选A.A.集合集合A=x|-2x2,A=x|-2x2,所以所以AB=0,1.AB=0,1.(2)(2)设集合设集合A=x|xA=x|x2 2-2x-30,B=x|x-2x-30,0,则则AB=AB=世纪金榜导学号世纪金榜导学号()A.(-1,+)A.(-1,+)B.(-,3)B.(-,3)C.(0,3)C.(0,3)D.(-1,3)D.(-1,3)【解析【解析】选选A.A.因为集合因为集合A=x|xA=x|x2 2-2x-30=x|-1x3,-2x-30=x|-1x0,0,所以所以AB=x|xAB=x|x-1.-1.【状元笔记【状元笔记】集合运算三步骤集合运算三步骤:命题角
20、度命题角度2 2补集的运算补集的运算【典例【典例】(2018(2018全国卷全国卷I)I)已知集合已知集合A=x|xA=x|x2 2-x-20,-x-20,则则 R RA=A=()A.x|1x2 B.x|1x2C.x|x1x|x2 D.x|x1x|x2 【解析【解析】选选B.A=x|xB.A=x|x22或或x-1,x0,B=x|x0,B=x|x2 2-x-20,-x-20,B=x|-1x0,B=x|-1x2,所以所以 U UB=x|x-1B=x|x-1或或x2,x2,所以所以A(A(U UB)=x|x2.B)=x|x2.【状元笔记【状元笔记】灵活表示集合简化运算灵活表示集合简化运算(1)(1)
21、用列举法表示的集合进行交、并、补集运算时用列举法表示的集合进行交、并、补集运算时,常常采用采用VennVenn图法解决图法解决,此时要搞清此时要搞清VennVenn图中的各部分区域图中的各部分区域表示的实际意义表示的实际意义.(2)(2)用描述法表示的数集进行运算用描述法表示的数集进行运算,常采用数轴分析法常采用数轴分析法解决解决,此时要注意此时要注意“端点端点”能否取到能否取到.(3)(3)若给定的集合是点集若给定的集合是点集,常采用数形结合法求解常采用数形结合法求解.命题角度命题角度4 4求集合元素中参数值或参数的范围求集合元素中参数值或参数的范围【典例【典例】(1)(2017(1)(20
22、17全国卷全国卷)设集合设集合A=1,2,4,A=1,2,4,B=x|xB=x|x2 2-4x+m=0.-4x+m=0.若若AB=1,AB=1,则则B=B=()A.1,-3A.1,-3B.1,0B.1,0C.1,3C.1,3D.1,5D.1,5【解析【解析】选选C.C.由由AB=1AB=1得得1B,1B,所以所以m=3,m=3,所以所以B=1,3.B=1,3.(2)(2)已知集合已知集合A=x|xA=x|x2 24,B=m.4,B=m.若若AB=A,AB=A,则则m m的取值的取值范围是范围是()A.(-,-2)A.(-,-2)B.2,+)B.2,+)C.-2,2C.-2,2D.(-,-22,
23、+)D.(-,-22,+)【解析【解析】选选D.D.因为因为AB=A,AB=A,所以所以B BA,A,即即mAmA,得得m m2 24,4,解得解得m2m2或或m-2.m-2.【状元笔记【状元笔记】集合运算求参步骤集合运算求参步骤:(1):(1)化简所给集合化简所给集合.(2).(2)用数轴表示用数轴表示所给集合所给集合.(3).(3)根据集合端点间关系列出不等式根据集合端点间关系列出不等式(组组).).(4)(4)解不等式解不等式(组组).(5).(5)检验检验,通过返回代入验证端点是通过返回代入验证端点是否能够取到否能够取到.【对点练【对点练找规律找规律】1.(20151.(2015全国卷
24、全国卷)已知集合已知集合A=-2,-1,0,1,2,B=A=-2,-1,0,1,2,B=x|(x-1)(x+2)0,x|(x-1)(x+2)0,则则AB=AB=()A.-1,0A.-1,0B.0,1B.0,1C.-1,0,1C.-1,0,1D.0,1,2D.0,1,2【解析【解析】选选A.A.由题意知由题意知B=x|-2x1,B=x|-2x22或或x0,B=y|1y3,x0,B=y|1y3,所以所以(U UA)B=(-,0)1,+).A)B=(-,0)1,+).4.(20194.(2019长沙模拟长沙模拟)设常数设常数aRaR,集合集合A=x|(x-1)(x-A=x|(x-1)(x-a)0,B
25、=x|xa-1,a)0,B=x|xa-1,若若AB=R,AB=R,则则a a的取值范围为的取值范围为世纪金榜导学号世纪金榜导学号()A.(-,2)A.(-,2)B.(-,2B.(-,2C.(2,+)C.(2,+)D.2,+)D.2,+)【解析【解析】选选B.B.集合集合A A讨论后利用数轴可知讨论后利用数轴可知 解得解得1a21a2或或a1,a1,即即a2.a2.a1a 1 1，或a1a 1a，数学能力系列数学能力系列1 1集合相关的新定义问题的运算集合相关的新定义问题的运算【能力诠释【能力诠释】(1)(1)紧扣紧扣“新新”定义定义:分析新定义的特点分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质
26、弄清楚把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具并能够应用到具体的解题过程之中体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题的关键这是破解新定义型集合问题的关键所在所在.(2)(2)把握把握“新新”性质性质:集合的性质集合的性质(概念、元素的性概念、元素的性质、运算性质等质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础是破解新定义型集合问题的基础,也也是突破口是突破口,在解题时要善于从试题中发现可以使用集合在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素性质的一些因素,在关键之处用好集合的性质在关键之处用好集合的性质.(3)(3)遵守遵守“新新”法则法则:准确把握新定义的运算法则准确把握新定
27、义的运算法则,将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可.【典例【典例】(2018(2018合肥模拟合肥模拟)对于集合对于集合M,N,M,N,定义定义M-N=M-N=x|xMx|xM,且且x x N,MNN,MN=(M-N)(N-M).=(M-N)(N-M).设设A=y|yA=y|y=x=x2 2-3x,xR,B=y|y3x,xR,B=y|y=-2=-2x x,xR,xR,则则AB=AB=()99A.0 B.0)4499C.()0)D.(0)44（，【解析【解析】选选C.C.因为因为A=y|y-,B=y|yA=y|y-,B=y|y0,0,所以所以A-B
28、=y|y0,B-A=y|yA-B=y|y0,B-A=y|y-,-,AB=(A-B)(B-A)=y|y0AB=(A-B)(B-A)=y|y0或或y-.y-.949494【技法点拨【技法点拨】解决集合新定义问题解决集合新定义问题,要抓住两关键点要抓住两关键点(1)(1)紧扣新定义紧扣新定义,首先分析定义的特点首先分析定义的特点,把新定义所叙述把新定义所叙述的问题的本质弄清楚的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之并能够应用到具体的解题过程之中中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在这是破解新定义型集合问题难点的关键所在;(2);(2)用用好集合的性质好集合的性质,解题时要善于从试题中发现
29、可以使用集解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算性质在关键之处用好集合的运算性质.【即时训练【即时训练】定义一种新的集合运算定义一种新的集合运算:A:AB=x|xAB=x|xA,且且x x B B,若若集合集合A=x|xA=x|x2 2-4x+30,B=x|2x4,-4x+30,B=x|2x4,则按运算则按运算,B,BA A等于等于()A.x|3x4A.x|3x4B.x|3x4B.x|3x4C.x|3x4C.x|3x4D.x|2x4D.x|2x4【解析【解析】选选B.A=x|1x3,B=x|2x4,B.A=x|1x3,B=x|2x4,由题意知由题意知B BA=x|xBA=x|xB,且且x x A A=x|3x4.=x|3x4.
