1、概率统计一一.数学期望的定义数学期望的定义二二.随机变量的函数的数学期望随机变量的函数的数学期望三三.数学期望的性质数学期望的性质四四.常见分布的数学期望常见分布的数学期望 数学期望数学期望概率统计设设 离散型随机变量离散型随机变量X的分布律为的分布律为:P(X=xk)=pk,k=1,2,也就是说，离散型随机变量的数学期望是一个也就是说，离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和绝对收敛的级数的和.1()kkkE Xx p 1kkkx p 若正项级数若正项级数收敛，收敛，定义定义11.离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望的和为随机变量的和为随机变量 X 的数学期望，记为：的数
2、学期望，记为：则称此级数则称此级数一一.数学期望的定义数学期望的定义概率统计注：注：()E X是个是个(实实)数。它数。它形式上形式上是是X的可能取值的可能取值的加权平均值；的加权平均值；本质上本质上体现了体现了X的真正的平的真正的平均，故常称均，故常称 为为 X 的均值；的均值；物理上物理上表示表示了一个质点系的重心坐标。了一个质点系的重心坐标。()E X()E X的的计算计算：当：当 X 的可能取值为有限时，的可能取值为有限时，则计算有穷和；当则计算有穷和；当 X 的可能取值为无限时，的可能取值为无限时，则计算级数的和。则计算级数的和。若若1kkkx p ()E X不绝对收敛，则称不绝对收
3、敛，则称 不存在不存在 概率统计例例4.1 某商店在年末大甩卖中进行有奖销售，摇奖时某商店在年末大甩卖中进行有奖销售，摇奖时从摇箱摇出的球的可能颜色为：红、黄、蓝、白、黑从摇箱摇出的球的可能颜色为：红、黄、蓝、白、黑五种，其对应的奖金额分别为：五种，其对应的奖金额分别为：10000元、元、1000元、元、100元、元、10元、元、1元元.假定摇箱内装有很多球，其中红、假定摇箱内装有很多球，其中红、黄、蓝、白、黑的比例分别为：黄、蓝、白、黑的比例分别为：0.01%,0.15%,1.34%,10%,88.5%,求每次摇奖摇出的求每次摇奖摇出的奖金额奖金额X的数学期望的数学期望.概率统计解解 每次摇
4、奖摇出的奖金额每次摇奖摇出的奖金额X是一个随机变量，易知是一个随机变量，易知它的分布律为它的分布律为X10000 1000 100 10 1pk0.0001 0.0015 0.0134 0.1 0.885因此，因此，E（X）=100000.0001+10000.0015+1000.0134 +100.1+10.885 =5.725.可见，平均起来每次摇奖的奖金额不足可见，平均起来每次摇奖的奖金额不足6元元.这个值这个值对商店作计划预算时是很重要的对商店作计划预算时是很重要的.概率统计例例4.4 设随机变量设随机变量X服从柯西（服从柯西（Cauchy）分布，其概）分布，其概率密度为率密度为 21
5、(),(1)f xxx试证试证E（X）不存在）不存在.故故E（X）不存在）不存在.证证 由于由于 21()dd,(1)x f xxxxx概率统计连续型随机变量的数学期望的引出连续型随机变量的数学期望的引出 设设X是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为 f(x),在数在数轴上取很密的分点轴上取很密的分点 x0 x1 x2 ，则，则 X 落在小区落在小区间间 xi,xi+1)的概率是的概率是：1()iixxf x dx ()iif xx小区间小区间xi,xi+1)阴影面积近似为阴影面积近似为iixxf)(1()()iiif xxx 2.连续性随机变量的数学期望连续性随机变量的
6、数学期望概率统计由于由于 xi 与与 xi+1 很接近很接近,所以区间所以区间 xi,xi+1)中中的值可以用的值可以用 xi 来近似代替来近似代替.iiiixxfx)(这正是这正是dxxfx)(的的渐近和式渐近和式.变量变量近似近似，该离散型随机变量，该离散型随机变量iixxf)(因此因此 X 与以概率与以概率取值取值 xi 的离散型随机的离散型随机的数学期望为：的数学期望为：阴影面积近似为阴影面积近似为iixxf)(小区间小区间xi,xi+1)注意到：注意到：概率统计由此启发引进如下定义由此启发引进如下定义2.设设 连续型随机变量连续型随机变量X的概率密度函数的概率密度函数为为 f(x)，
7、若积分，若积分为连续型随机变量为连续型随机变量 X 的数学期望，记为：的数学期望，记为：dxxfxXE)()(也就是说，连续型随机变量的数学期望是一个也就是说，连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分绝对收敛的积分.定义定义2收敛，则称此收敛，则称此积分的值积分的值dxxfx)(概率统计二二.随机变量的函数的数学期望随机变量的函数的数学期望定理定理4.1 设设Y是随机变量是随机变量X的函数，即的函数，即Y=g(X),g(x)是连续函数。是连续函数。.21 )1(，分布律为分布律为是离散型随机变量，且是离散型随机变量，且设设，kpxXPXkkkkkpxgXgEYE 1)()()(绝对收敛，则
8、有绝对收敛，则有若若kkkpxg 1)()()2(xfX概概率率密密度度是是连连续续型型随随机机变变量量，有有设设绝绝对对收收敛敛，则则有有若若dxxfxg)()(dxxfxgxgEYE)()()()(概率统计推广推广：设设Z是随机向量（是随机向量（X,Y）的函数，即）的函数，即Z=g(X,Y)（g(x,y)是连续函数）是连续函数）.21 ),()1(，分布律为分布律为是离散型随机向量，且是离散型随机向量，且若若，jipyYxXPYXijji时，有时，有则当则当，ijjijipyxg11)(ijjijipyxgYXgEZE 11)(),()(，有有概概率率密密度度为为连连续续型型随随机机向向量
9、量且且具具若若),(),()2(yxfYX 时时，），（），（则则当当dxdyyxfyxg dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()(有有：概率统计例例4.6 对球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区对球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间间a，b内，求球体积的数学期望内，求球体积的数学期望.1,()0,.axbf xba其他解解 设随机变量设随机变量X表示球的直径，表示球的直径，Y表示球的体积，依表示球的体积，依题意，题意，X的概率密度为的概率密度为 球体积球体积 ，由（，由（4.6）式得）式得 316YX33111()()d66baE YEXxxba322d()().6()2
10、4baxxababba概率统计()()()E XYE XE Y3.X,Y是两个随机变量，则：是两个随机变量，则：4.X,Y是两个相互独立的随机变量，则：是两个相互独立的随机变量，则：()()()E XYE X E Y 1.设设c是常数，则：是常数，则：()E cc 设设c是常数，是常数，X 是随机变量，则：是随机变量，则：2.()()E c Xc E X 三三.数学期望的性质数学期望的性质概率统计证明：设随机变量（X,Y）的概率密度是f(x,y)，其边缘概率密度为 ，则则性质（3）得证！)()()()(),(),(x）,（f)()(YEXEdyyyfdxxxfdxdyyxyfdxdyyxfdx
11、dyyxYXYXEYX )(),(fXyfxY概率统计若X和Y相互独立，则故有：性质（4）得证！E(X)E(Y)dy)(x)dxxf(y)dxdyf)(dxdy),(xE(XY)XY yyfxxyfyxyfYX),()(),(fyfxfyxYX概率统计例例4.9 设一电路中电流设一电路中电流I（安）与电阻（安）与电阻R（欧）是两个（欧）是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为相互独立的随机变量，其概率密度分别为 2,01,()0,iig i其他;2,03,()90,.rrh r其他试求电压试求电压V=IR的均值的均值.解解()()()()E VE IRE I E R()d()dig iirh
12、 rr 31320032dd().92riirV概率统计(1)(01)分布分布 E（X）=0(1 p)+1p=p.11()().nniiiiE XEXE Xnp(2)二项分布二项分布(3)泊松分布泊松分布 0()eee.!tkE Xt(4)均匀分布均匀分布()()dd.2baxabE Xxf xxxba(5)指数分布指数分布 1()()dedxE Xxf xxxx 四四.常见分布的数学期望常见分布的数学期望概率统计E(X)01qpp 它它的分布律为的分布律为:若随机变量若随机变量 X 只能取只能取 0 与与 1 两个值，它的分布两个值，它的分布律为律为:(1)()(1)0,1.01kkP X
13、kppkp 则：则：设随机变量设随机变量 X 服从参数为服从参数为(n,p)的二项分布，的二项分布，(1)分布分布(0 1)即即(,),XB n p(2)二项分布二项分布nkppCkXPknkkn2,1,0,)1()(概率统计0E(X)=nkkn knkk c p q 1!()!nkn kknkp qknk 1(1)!(1)!(1)(1)!nknnpknk 1(1)(1)knkpq则：则：0k 0kk p 时时1!(1)!()!nkn kknp qknk 1(1)nnp pp np 即即:()E Xnp 令令:k-1=t1)(nqpnpt)1(qt!t)1(!t)!1(10tnpnnnpnt)
14、1(t10t1knnkqpCnp概率统计(3)泊松分布泊松分布若随机变量若随机变量X 的所有可能取值为：的所有可能取值为：而它的分布律而它的分布律(它所取值的各个概率它所取值的各个概率)为：为：0,1,2,()0,1,2,!keP Xkkk )(PX即即:0E(X)!kkkek 则则:11(1)!kkek ee 即即:E(X)0!j)(kkeXE令：令：K-1=j概率统计则则:()()E Xx f x dx 1baxdxba 2ab (4).均匀分布均匀分布若连续型随机变量若连续型随机变量 X 具有概率密度具有概率密度 f(x)为：为：,XU a b即即()f x bxaab10其其 它它即即
15、:()2abE X 概率统计(5).指数分布指数分布若连续型随机变量若连续型随机变量 X 具有概率密度具有概率密度 f(x)为：为：，000)(fxxexxEXdxxx)(0dxexx0)(dxexx0)(xex0dxex01 xe1)0(概率统计22()212xxedx yx 令令:221()2yyedy 222yyedy 222yedy ()()E Xx f x dx (6).正态分布正态分布 若随机变量若随机变量 X 的的概率密度为：概率密度为：22()21(),2xf xex 2(,)XN 即即:则则:概率统计0 22 ()E X 即即:结论：结论：正态分布中密度函数的参数正态分布中密度函数的参数 恰好就是恰好就是 随机变量随机变量X的数学期望的数学期望.
