1、 在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来，这时函数中误差与观测值中误差必定有一定的关系。阐述这种关系的定律称为误差传播定律。倍数函数和差函数线性函数一般函数函数形式在实际测量工作中，某些量的大小往往不是直接在实际测量工作中，某些量的大小往往不是直接观测到的，而是间接观测到的，即观测其它未知量，并观测到的，而是间接观测到的，即观测其它未知量，并通过一定的函数关系间接计算求得的。通过一定的函数关系间接计算求得的。cosSx 非线性函数非线性函数表述观测值函数的中误差与观测值中误差之间表述观测值函数的中误差与观测值中误差之间关系的定律称
2、为关系的定律称为误差传播定律误差传播定律。例如：例如：h=a-b h=a-b 线性函数线性函数 误差传播定律：误差传播定律：设非线性函数的一般式为：式中：为独立观测值；为独立观测值的中误差。求函数的全微分，并用“”替代“d”，得),(321nxxxxfz ixnmmmm,321 nxnxxZxfxfxf )()()(2121nnxxfxxfxxfZ.2211函数的真误差和独立观测值的真误差之间的关系式。iifxfnnxfxfxfZ.2211假如对各独立观测值观测了n次，则可列出n个真误差关系式：)1()1(22)1(11)1(.nnxfxfxfZ)2()2(22)2(11)2(.nnxfxfx
3、fZ)()(22)(11)(.nnnnnnxfxfxfZ 以上等式两边平方后相加：nnnnnnxxxfxfxxxfxfxxxfxfxfxfxfz1131312121222222212122.22.njijijijinnxxffxfxfxf1,222222212122对对n n个个式取总和：式取总和：njijijijinnxxffxfxfxf1,222222212122上上式两边除以式两边除以n n，得式，得式：njijijijinnnxxffnxfnxfnxfn1,2222222121220limnxxjin由偶然误差的抵偿性知：由偶然误差的抵偿性知：上式最后一项为上式最后一项为0 0，则，则
4、：nxfnxfnxfnnn22222221212前面各项.,2222212221xxzmnxmnxmnz所以222222212.21nxnxxzmxfmxfmxfmnm22222221212xnnxxzmfmfmfmiixFf并根据中误差公式即即代入上式，得中误差关系式：代入上式，得中误差关系式：2222222121nnZmxFmxFmxFm考虑求任意函数中误差的方法和步骤：),.,(21nxxxfz 2、写出真误差关系式，对函数进行全微分：nndxxfdxxfdxxfdz.22113、写出中误差的关系式：222222212.21nxnxxzmxfmxfmxfm1、列出独立观测值的函数式：例已
5、知：测量斜边D=50.000.05m，测得倾角=15000030求：水平距离D解：1.函数式 2.全微分 3.求中误差 dDDddD)sin()(cos cosDD2222203)15sin50(05.0)15(cos)sin()(cos mDmmDD)(048.0mmD 1.倍数函数的中误差 设有函数式 (x为观测值，K为x的系数)全微分 得中误差式xxZKmmKmKdxdZKxZ22例：例：量得 地形图上两点间长度 =168.5mm0.2mm,计算该两点实地距离S及其中误差ms：l1000:1m2.0m5.168m2.0mm2002.01000100010001000SmmddlSlSlS
6、解：解：列函数式 求全微分 中误差式二二.几种常用函数的中误差几种常用函数的中误差 2.线性函数的中误差线性函数的中误差 设有函数式 全微分 中误差式nnxkxkxkZ2211nndxkdxkdxkdz22112222222121nnZmkmkmkm例：例：设有某线性函数设有某线性函数 其中其中 、分别为独立观测值，它们的中误差分分别为独立观测值，它们的中误差分 别为别为 求Z的中误差 。314121491144xxxZ321xxxmm6,mm2,mm3321mmmZm314121491144dxdxdxdzmm6.1623214121492144233222211xxxZmfmfmfm解：解
7、：对上式全微分：由中误差式得：函数式 全微分 中误差式 nnnnnllllx12111lnnlnlnddddx1211121221211222nnnnxmmmm3.算术平均值的中误差式算术平均值的中误差式 由于等精度观测时，代入上式：得mmmmn21nmmnnmX221n 由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误差缩小了缩小了 倍。对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均，是提高观测成果精度最有效的方法。4.和或差函数的中误差和或差函数的中误差 函数式：全微分：中误差式：nxxxZ21ndxdxdxdz2122221nZmmmm当等精度观测时：上式可写成：mmmmmn321nmmZ例：例：测
8、定A、B间的高差 ，共连续测了9站。设测量 每站高差的中误差 ，求总高差 的中 误差 。解：解：ABhmm2mhmABh921hhhhABmm692nmmh观测值函数中误差公式汇总 观测值函数中误差公式汇总观测值函数中误差公式汇总 函数式 函数的中误差一般函数倍数函数 和差函数 线性函数 算术平均值 ),(21nxxxFZ2222222121nnZmxFmxFmxFmxxZKmmKmKxZ22nxxxZ21nmmZnnxkxkxkZ22112222222121nnZmkmkmkmnnnnnllllx12111nmmX例1：测得圆形半径r1.465m，已知中误差m2mm，求周长及周长中误差。mr
9、l205.9465.122）（）（mm4205.9mm4222mlmmrl返回 观测值的算术平均值观测值的算术平均值(最或是值)用观测值的改正数用观测值的改正数v v计算观测值的计算观测值的 中误差中误差 (即:白塞尔公式)算术平均值的相对中误差算术平均值的相对中误差 第四节第四节 等（同）精度直接观测平差等（同）精度直接观测平差 一一.观测值的算术平均值观测值的算术平均值(最或是值、最可靠值最或是值、最可靠值)证明算术平均值为该量的最或是值：证明算术平均值为该量的最或是值：设该量的真值为设该量的真值为X，则各观测值的真误差为，则各观测值的真误差为 1 1=1 1-X X 2 2=2 2-X
10、X n=n-X X对某对某未知量未知量进行了进行了n 次观测，得次观测，得n个观测值个观测值 1 1,2 2,n n,则该量的算术平均值为：则该量的算术平均值为：x=1 1+2 2+n n nn上式等号两边分别相加得和：上式等号两边分别相加得和：lnX L=nlnlllLn21 nXl 当观测无限多次时：当观测无限多次时：nlXnnnlimlim得得Xnlnlim两边除以两边除以n n：由由 lnX nlXn 当当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该 量的真值；量的真值；当当观测次数有限时，观测值的算术平均观测次数有限时，观测值的算术平均 值最接
11、近真值。所以，值最接近真值。所以，算术平均值是最或是值算术平均值是最或是值。L X nXl XLXnln 0)(limlimXLnnn精度评定精度评定 比较前面的公式，可以证明，两式根号内的比较前面的公式，可以证明，两式根号内的部分是相等的，部分是相等的，1nvvnnmnvvm1即在即在 与与 中：中：精度评定精度评定用观测值的改正数用观测值的改正数v v计算中误差计算中误差1nvvm一一.计算公式计算公式(即白塞尔公式即白塞尔公式)：1nvvn证明如下：证明如下：nnnnlxvlXlxvlXlxvlX22221111真误差：真误差：改正数：改正数：证明两式根号内相证明两式根号内相等等XlXl
12、Xlnn2211nnlLvlLvlLv2211iiiivXLv对上式取对上式取n n项的平方和项的平方和 vvvn22由上两式得由上两式得其中其中:0lnLv证明两式根号内相等 222222)(nnXlnnXnlXL njijijinn1,2222122122)(02222nn vvnvvvn222nvvnn21nvvn中误差定义:nm白塞尔公式:1nvvm nvvnnn 22解：解：该水平角该水平角真值未知真值未知，可用，可用算术平均值的改正数算术平均值的改正数V V计计 算其中误差：算其中误差：例：对某水平角等精度观测了例：对某水平角等精度观测了5 5次，观测数据如下表，次，观测数据如下表
13、，求其算术平均值及观测值的中误差。求其算术平均值及观测值的中误差。算例1:次数观测值VV V备注1764249-4162764240+5253764242+394764246-115764248-39平均764245 V=0VV=60 98315601.nVVm4715983 .nmM76 4245 1.74 例例5-2 某一段距离共丈量了六次，结果如表下所示，求算术某一段距离共丈量了六次，结果如表下所示，求算术平均值、观测中误差、算术平均值的中误差及相对误差。平均值、观测中误差、算术平均值的中误差及相对误差。测测次次 观测值观测值/m 观测值观测值改正数改正数v/m m vv 计计 算算 1
14、23456平平均均148.643148.590148.610148.624148.654148.647 m628.148 nlL148.628 1 nvvm-15+38+18+4-26-19 0 v 1 nnvvM2251444324166763613046163046 mm7.24 )16(63046 mm1.10 DMK m628.148m0101.0 147161 返回返回第五节第五节 误差传播定律的应用误差传播定律的应用 用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得三角形闭合差 m m1515 。例例1：要求三角形最大闭合差要求三角形最大闭合差m15，问用，问用D
15、J6经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？123=(1+2+3)-180解：解：由题意：由题意：最大闭合差即最大闭合差即2m=15,则则 m=7.5 每个角的测角中误差每个角的测角中误差：3.435.7m测回即43.45.8,5.83.4,22nnnmmx由于由于DJ6一测回角度中误差为：一测回角度中误差为：由角度测量由角度测量n测回测回取平均值的中误差公式：取平均值的中误差公式：5.826m3.435.7 xm误差传播定律的应用误差传播定律的应用例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。解:(1)测量水平距离的精度 基本公式：2cosKlD 求全微
16、分：dKldlKdDdllDdD)cossin2(cos2水平距离中误差：22222)2sin()cos(mKlmKmlD)206265(其中：误差传播定律的应用误差传播定律的应用例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。解:(2)测量高差的精度 基本公式：求全微分：dKldlKdDdllDdD)cossin2(cos2高差中误差：2222)2cos(2sin21 mKlmKmlh2sin21Klh)206265(其中：作业作业:1用用20m钢尺进行距离丈量，已知一整尺段之中钢尺进行距离丈量，已知一整尺段之中误差为误差为0.005m，今用该尺测量直线，今用该尺测量直线AB，其，其D往往=99
17、.972m，D返返=99.988m，求其平均距离，求其平均距离D之中误差。之中误差。2用用J2经纬仪对一个角测量了经纬仪对一个角测量了6个测回，其结果为：个测回，其结果为：534915（11，22，16，18，14），求算术平），求算术平均值、观测值的中误差和算术平均值的中误差。均值、观测值的中误差和算术平均值的中误差。3在等精度观测中，对一个角度测了在等精度观测中，对一个角度测了4个测回，得其个测回，得其平均值之中误差为平均值之中误差为15，若使平均值中误差小于，若使平均值中误差小于10，则至少应观测多少个测回，则至少应观测多少个测回？4.设有函数设有函数Z=L*cosA式中式中L=121.11m0.06mm,A=78491820.5,试求试求Z的中误差的中误差.
