1、5.2.1三角函数的概念三角函数的概念一二三一、三角函数的定义1.在直角坐标系中,称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.如图,如果一个锐角的终边与单位圆的交点是P(x,y),根据初中所学在直角三角形中正弦、余弦、正切的定义,你能否用点P的坐标表示sin,cos,tan?这一结论能否推广到是任意角时的情形呢?一二三提示:sin=y,cos=x,tan=.这一结论可以推广到是任意角.一二三2.填空如图,是任意角,以的顶点O为坐标原点,以的始边为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系.设P(x,y)是的终边与单位圆的交点.(1)把点P的纵坐标y叫做的正弦函数,记作sin,即y=sin;(2)把点
2、P的横坐标x叫做的余弦函数,记作cos,即x=cos;(3)把点P的纵坐标与横坐标的比值 叫做的正切,记作tan,即=tan(x0).正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.3.填空一二三答案:B(2)如果在角的终边上有一点M(3,4),那么如何求角的三个三角函数值?一二三5.如果角的终边落在y轴上,这时其终边与单位圆的交点坐标是什么?sin,cos,tan 的值是否还存在?提示:终边与单位圆的交点坐标是(0,1)或(0,-1),这时tan 的值不存在,因为分母不能为零,但sin,cos 的值仍然存在.6.填空三角函数的定义域如
3、下表所示.一二三二、三角函数值的符号1.根据三角函数的定义,各个三角函数值是用单位圆上点的坐标表示的,当角在不同象限时,其与单位圆的交点坐标的符号就不同,因此其各个三角函数值的正负就不同,你能推导出sin,cos,tan 在不同象限内的符号吗?提示:当在第一象限时,sin 0,cos 0,tan 0;当在第二象限时,sin 0,cos 0,tan 0;当在第三象限时,sin 0,cos 0;当在第四象限时,sin 0,tan 0.2.sin,cos,tan 在各个象限的符号如下:记忆口诀:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.一二三3.做一做判断下列各三角函数值的符号:一二三三、诱导公式一1.3
4、0,390,-330三个角的终边有什么关系?它们与单位圆的交点坐标相同吗?这三个角的正弦值、余弦值、正切值相等吗?提示:终边相同,与单位圆的交点坐标相同,三个角的正弦值、余弦值、正切值相等.2.填空诱导公式一(1)语言表示:终边相同的角的同一三角函数的值相等.一二三探究一探究二探究三思维辨析随堂演练利用三角函数的定义求三角函数值利用三角函数的定义求三角函数值例例1求解下列各题:(3)已知角的始边与x轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x0)上,则cos-sin=.分析:(1)先求出x的值,再计算;(2)利用三角函数的定义的推广求解;(3)先在终边上取点,再利用定义求解.探究一探究二探究
5、三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟反思感悟 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况:(1)若已知角,则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出各三角函数值.(4)若已知角终边上点的坐标含参数,则需进行分类讨论.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练判断三角函数值的符号判断三角函数值的符号A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角(2)判断下列各式的符号:分析:(1)由已知条件确定出sin,cos 的符号即可确定角的象限;(2)先判断每个因式的符号,再确定积的符号.探究一
6、探究二探究三思维辨析随堂演练(1)解析:由sin tan 0,cos 2300.于是sin 105cos 2300,tan 0,则实数a的取值范围是()A.(-2,3B.(-2,3)C.-2,3)D.-2,3解析:由cos 0,sin 0可知,角的终边在第二象限或y轴的正半轴上,所以有答案:A探究一探究二探究三思维辨析随堂演练诱导公式一的应用诱导公式一的应用例例3求下列各式的值:(1)a2sin(-1 350)+b2tan 405-(a-b)2tan 765-2abcos(-1 080);分析:将角转化为k360+(kZ)或2k+(kZ)的形式,利用公式一求值,注意熟记特殊角的三角函数值.解:
7、(1)原式=a2sin(-4360+90)+b2tan(360+45)-(a-b)2tan(2360+45)-2abcos(-3360)=a2sin 90+b2tan 45-(a-b)2tan 45-2abcos 0=a2+b2-(a-b)2-2ab=0.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟反思感悟 诱导公式一的应用策略:(1)诱导公式一可以统一写成f(k360+)=f()或f(k2+)=f()(kZ)的形式,它的实质是终边相同的角的同一三角函数值相等;(2)利用它可把任意角的三角函数值转化为02角的三角函数值,即可把负角的三角函数转化为0到2间角的三角函数,亦可把大于2的角的三角函数转
8、化为0到2间角的三角函数,即把角实现大化小,负化正的转化.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练忽视对参数的分类讨论致误典例典例 角的终边过点P(-3a,4a),a0,则cos=.错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?提示:错解中,误以为a0,没有对a的正负进行分类讨论,导致r求错,从而结果错误.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练防范措施 在利用三角函数的定义解决问题时,如果终边上一点的坐标中含有参数,那么要注意对其进行分类讨论,以免丢解.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练变式训练已知角的终边在直线y=x上,则sin=_.解析:易知角的终边在第一象限或第三象限,当角的终边在第一象限时,在角的终边上取一点P(1,1),探究一探究二探究三思维辨析随堂演练答案:D 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练答案:A 3.若tan sin20,则角在()A.第一象限B.第二象限C.第二象限或第四象限D.第二象限或第三象限解析:因为tan sin20,所以tan 0,于是角在第二象限或第四象限.答案:C探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练
