1、学习目标：学习目标：1 1、理解并掌握正弦定理的内容、理解并掌握正弦定理的内容2 2、掌握正弦定理证明的方法、掌握正弦定理证明的方法3 3、利用正弦定理会解简单的斜三角形、利用正弦定理会解简单的斜三角形ABC3C2C1CBC的长度与角A的大小有关吗?三角形中角A与它的对边BC的长度是否存在定量关系?ACBcba想一想想一想?中在一个直角三角形ABCAsincaAacsinBsincbBbcsinCsincc1Cccsin问题问题（2 2）上述结论是否可推广到任意三角形）上述结论是否可推广到任意三角形?若成立，如何证明？若成立，如何证明？CcBbAasinsinsin（1 1）你有何结论）你有何
2、结论?定理的猜想定理的猜想(1)若直角三角形,已证得结论成立.bADcADCBsin,sin所以AD=csinB=bsinC,即,sinsinCcBb同理可得,sinsinCcAaCcBbAasinsinsin即：DAcbCB图1过点A作ADBC于D,此时有证法1:(2)若三角形是锐角三角形,如图1,定理的证明定理的证明由(1)(2)(3)知，结论成立CCbADsinsin）（且CcBbAasinsinsin仿(2)可得D(3)若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2,此时也有cADB sin交BC延长线于D,过点A作ADBC，CAcbB图2AasinBbsinCcsin（2R为为ABC外接圆
3、直径）外接圆直径）2R思考思考求证:证明：证明：OC/cbaCBARCcRcCCCCCBA2sin2sinsin,90RCcBbAaRBbRAa2sinsinsin2sin,2sin同理作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,法二：几何法（1 1）文字叙述文字叙述正弦定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角在一个三角形中，各边和它所对角 的正弦的比相等的正弦的比相等.（2）结构特点结构特点（3 3）方程的观点）方程的观点正弦定理实际上是已知其中三个正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个求另一个.能否运用向量的方法来证明正弦定理呢能否运用向量的方法来证明正弦定理呢?和谐美、对称美和谐美、对
4、称美.正弦定理正弦定理:CcBbAasinsinsin 正弦定理山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件正弦定理山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件AcbCBDa向量法向量法证法3:利用向量的数量积，产生边的长与内角的三角函数的关系来证明.正弦定理山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件正弦定理山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件在锐角三角形中在锐角三角形中.的的夹夹角角为为与与，的的夹夹角角为为与与，的的夹夹角角为为与与ABjCBjACjC 90A 9090由向量加法的三角形法则由向量加法的三角形法则ABCBAC ABjCBjA
5、CjABjCBACjj 得得的的数数量量积积两两边边同同取取与与,)90cos()90cos(90cosAABjCCBjACj 定定义义）（根根据据向向量量的的数数量量积积的的CcAaAcCasinsinsinsin 即即在在锐锐角角三三角角形形中中，可可得得垂垂直直于于点点作作过过同同理理,sinsin,BbCcCBjCCcBbAasinsinsin 也也有有jBACabc，于于垂垂直直作作单单位位向向量量证证明明：过过点点ACjA6.4.3正弦定理-山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共23张PPT)6.4.3正弦定理-山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册
6、课件(共23张PPT)正弦定理山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件正弦定理山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件在钝角三角形中在钝角三角形中ABCj的的夹夹角角为为与与的的夹夹角角为为与与则则垂垂直直的的单单位位向向量量作作与与过过点点设设CBjABjjACAA,900 90 AC 90具体证明过程具体证明过程大家完成大家完成!6.4.3正弦定理-山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共23张PPT)6.4.3正弦定理-山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共23张PPT)正弦定理山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修
7、第二册课件正弦定理山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件解：解：105)(180CAB30sin105sin10CcBbsinsin CBcbsinsin192565.30,45,10.1bBCAc，ABC和边求角已知中在例正弦定理应用一：正弦定理应用一：已知两角和任意一边，求其余两边和一角已知两角和任意一边，求其余两边和一角试一试：试一试：6.4.3正弦定理-山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共23张PPT)6.4.3正弦定理-山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共23张PPT)正弦定理山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二
8、册课件正弦定理山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件例在例在ABC中，已知中，已知a2，b ，A45，求求B和和c。22变式变式1：在在ABC中，已知中，已知a4，b ，A45，求求B和和c。22变式变式2：在在ABC中，已知中，已知a ，b ，A45，求求B和和c。22334正弦定理应用二：正弦定理应用二：已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角而可求其它的边和角。（要注意可能有两解）。（要注意可能有两解）290122222sinsinsinsin:0 cBaAbBBbAa解解232224264sinsin105)
9、(150302142222sinsinsinsin:000 ACacCBaAbBBbAa舍去舍去或或解解338822426334sinsin157512060233342222sinsinsinsin:0000 ACacCBaAbBBbAa或或或或解解6.4.3正弦定理-山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共23张PPT)6.4.3正弦定理-山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共23张PPT)正弦定理山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件正弦定理山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件;,120,30,12)1(.10aBA
10、bABC求已知中在.,30,45,10)2(ABCSbCAc求已知.,2,60,30)3(00caCBA求已知点拨：点拨：已知两角和任意一边，求其余两边和一角已知两角和任意一边，求其余两边和一角,此时的解是唯一的此时的解是唯一的.6.4.3正弦定理-山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共23张PPT)6.4.3正弦定理-山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共23张PPT)正弦定理山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件正弦定理山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件;,)(aBAb求已知1203012100012030121s
11、insinsinsin,sinsin)(BAbaBbAa解：346.4.3正弦定理-山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共23张PPT)6.4.3正弦定理-山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共23张PPT)正弦定理山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件正弦定理山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件.,30,45,102ABCSbCAc 求求）已已知知（,sinsinCcBb 解解：)(1325,105)3045(180)(180 CAB)26(530sin105sin10sinsin CBcbAbcSABCsin21 4
12、5sin10)26(521 6.4.3正弦定理-山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共23张PPT)6.4.3正弦定理-山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共23张PPT)正弦定理山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件正弦定理山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件.,2,60,30)3(caCBA求求已知已知 ,sinsinCcAa又60,30 CBA:解150 CB45 C2230452sinsinsinsinACac6.4.3正弦定理-山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共23张PPT)6.4.3正
13、弦定理-山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共23张PPT)正弦定理山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件正弦定理山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件;,60,1,3)1(.2CAaBcbABC，和求已知中在。求已知ABba,45,22,32)2(0(3)20,28,120,.abA已知解这个三角形点拨点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形已知两边和其中一边的对角解三角形时时,通常要用到通常要用到三角形内角定理和定理或大边三角形内角定理和定理或大边对大角定理对大角定理等三角形有关性质等三角形有关性质.6.4.3正弦定理-山东省枣庄市第八中学
14、人教版高中数学新教材必修第二册课件(共23张PPT)6.4.3正弦定理-山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共23张PPT)正弦定理山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件正弦定理山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件;,60,1,3)1(.2CAaBcbABC，和求已知中在9030,60,ACCBCBcb，为为锐锐角角，,sinsinCcBb 解解：21360sin1sinsin bBcC222 bca6.4.3正弦定理-山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共23张PPT)6.4.3正弦定理-山东省枣庄市第八中学人教版高中
15、数学新教材必修第二册课件(共23张PPT)正弦定理山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件正弦定理山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件.,45,22,32)2(ABba求求已已知知 (3)20,28,120,.abA已知解这个三角形bBaAsinsin 解解：232245sin32 )(,大大边边对对大大角角CAba 12060 或或 AsinsinbABa解：20120sin28 11037 .本本题题无无解解6.4.3正弦定理-山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共23张PPT)6.4.3正弦定理-山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材
16、必修第二册课件(共23张PPT)正弦定理山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件正弦定理山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件3练习练习2、在、在 ABC中，若中，若 a=2bsinA，则，则B()A、B、C、D、36653326或或或或练习练习1、在、在 ABC中，若中，若A：B：C=1：2：3，则，则 a:b:c()A、1:2:3 B、3:2:1 C、1:2 D、2:133自我提高！自我提高！A、等腰三角形、等腰三角形 B、直角三角形、直角三角形 C、等腰直角三角形、等腰直角三角形 D、不能确定、不能确定)(,sinsinsin,.3222ABCCBAABC的
17、形状是的形状是则则若若中中在在练习练习 CCB6.4.3正弦定理-山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共23张PPT)6.4.3正弦定理-山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共23张PPT)正弦定理山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件正弦定理山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件二种二种 平面几何法平面几何法 向量法向量法定理定理应用应用方法方法 课时小结课时小结二个二个 已知两角和一边已知两角和一边（只有一解）（只有一解）已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角 （有一解，两解，无解）（有一解，两解，无解）一个
18、一个 正弦定理正弦定理CcBbAasinsinsin6.4.3正弦定理-山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共23张PPT)6.4.3正弦定理-山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共23张PPT)正弦定理山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件正弦定理山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件 五三P22思考题思考题:.,无无解解两两解解一一解解式式有有它它们们之之间间满满足足什什么么关关系系及及角角中中的的两两边边在在AbaABC 6.4.3正弦定理-山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共23张PPT)6.4.3正弦定理-山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共23张PPT)正弦定理山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件正弦定理山东省枣庄市第八中学人教版高中数学新教材必修第二册课件
