1、4.1数列的概念4.2.1 等差数列的概念 P974.2.2 等差数列的前n项和公式 P1944.3.1等比数列的概念 P2994.3.2等比数列的前n项和公式 P3884.4*数学归纳法 P463 5.1 导数的概念及其意义 P5125.2 导数的运算 P5955.3 导数在研究函数中的应用 P6581.1.数列及其相关概念数列及其相关概念(1)(1)定义定义:按按_排列的一列数叫做数列排列的一列数叫做数列.(2)(2)项项:数列中的数列中的_叫做这个数列的项叫做这个数列的项.(3)(3)形式形式:a:a1 1,a,a2 2,a,a3 3,a,an n,简记为简记为aan n,其中其中a a
2、n n是数列的第是数列的第_项项,第第1 1项也叫做项也叫做首项首项.确定的顺序确定的顺序每一个数每一个数n n第1课时数列的概念与简单表示法【思考】【思考】(1)(1)如果组成两个数列的数相同但排列次序不同如果组成两个数列的数相同但排列次序不同,那么它们是相同的数列吗那么它们是相同的数列吗?提示提示:从数列的定义可以看出从数列的定义可以看出,组成数列的数是按一定顺序排列的组成数列的数是按一定顺序排列的,如果组成数如果组成数列的数相同但排列次序不同列的数相同但排列次序不同,那么它们就不是同一数列那么它们就不是同一数列.(2)(2)同一个数在数列中可以重复出现吗同一个数在数列中可以重复出现吗?提
3、示提示:在数列的定义中在数列的定义中,并没有规定数列中的数必须不同并没有规定数列中的数必须不同,因此因此,同一个数在数列同一个数在数列中可以重复出现中可以重复出现.例如例如:1,-1,1,-1,1,;2,2,2,.:1,-1,1,-1,1,;2,2,2,.公众号品数学 2.2.数列的分类数列的分类分类标准分类标准 名称名称 含义含义按项的按项的个数个数 有穷数列有穷数列 项数项数_的数列的数列无穷数列无穷数列项数项数_的数列的数列按项的按项的变化趋势变化趋势 递增数列递增数列 从第从第2 2项起项起,每一项都每一项都_它的前一项的数列它的前一项的数列递减数列递减数列 从第从第2 2项起项起,每
4、一项都每一项都_它的前一项的数列它的前一项的数列常数列常数列各项都各项都_的数列的数列摆动数列摆动数列 从第从第2 2项起项起,有些项大于它的前一项有些项大于它的前一项,有些项小于有些项小于它的前一项的数列它的前一项的数列有限有限无限无限大于大于小于小于相等相等3.3.函数与数列的关系函数与数列的关系数列数列aan n 是从是从_(_(或它的有限子集或它的有限子集1,2,n)1,2,n)到实数集到实数集R R的函数的函数,自变量自变量是序号是序号n,n,对应的函数值是数列的第对应的函数值是数列的第n n项项a an n,记为记为a an n=f(n).=f(n).正整数正整数N N*【思考】【
5、思考】函数函数y=2xy=2x与数列与数列aan n 的通项公式的通项公式a an n=2n=2n有什么区别有什么区别?提示提示:函数函数y=2xy=2x的自变量是连续变化的的自变量是连续变化的,图象是连续的直线图象是连续的直线.a.an n=2n=2n的自变量是离的自变量是离散的散的,图象是由离散的点构成图象是由离散的点构成.公众号品数学 4.4.数列的通项公式数列的通项公式:如果数列如果数列aan n 的第的第n n项项a an n与它的序号与它的序号n n之间的对应关系可以之间的对应关系可以用用_来表示来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式那么这个式子叫做这个数列的通项公式.一个式子
6、一个式子【素养小测】【素养小测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”)(1)1,2,3,4(1)1,2,3,4和和1,2,4,31,2,4,3是相同的数列是相同的数列.()(2)a(2)an n 与与a an n是一样的是一样的,都表示数列都表示数列.()(3)(3)所有数列都能写出其通项公式且一个数列的通项公式是唯一的所有数列都能写出其通项公式且一个数列的通项公式是唯一的.()(4)(4)数列数列3,1,-1,-3,-5,-103,1,-1,-3,-5,-10的通项公式为的通项公式为a an n=5-2n.(=5-2n.()提示提示:(1)(1).两个数列相同
7、两个数列相同,每一项都必须相同每一项都必须相同,而且数列具有顺序性而且数列具有顺序性.(2)(2).因为因为aan n 代表一个数列代表一个数列,而而a an n只是这个数列中的第只是这个数列中的第n n项项,故故aan n 与与a an n是不一是不一样的样的.(3)(3).有的数列就没有通项公式有的数列就没有通项公式,而且有的数列的通项公式不唯一而且有的数列的通项公式不唯一.(4)(4).第六项为第六项为-10,-10,不符合不符合a an n=5-2n,=5-2n,故故a an n=5-2n=5-2n不是此数列的通项公式不是此数列的通项公式.2.2.数列数列3,4,5,6,3,4,5,6
8、,的一个通项公式为的一个通项公式为()A.aA.an n=n,nN=n,nN*B.aB.an n=n+1,nN=n+1,nN*C.aC.an n=n+2,nN=n+2,nN*D.aD.an n=2n,nN=2n,nN*【解析解析】选选C.C.这个数列的前这个数列的前4 4项都比序号大项都比序号大2,2,所以所以,它的一个通项公式为它的一个通项公式为a an n=n+2,nN=n+2,nN*.3.3.已知数列已知数列aan n 的通项公式是的通项公式是a an n=n=n2 2+1,+1,则则122122是该数列的是该数列的()A.A.第第9 9项项B.B.第第1010项项C.C.第第1111项
9、项D.D.第第1212项项【解析】【解析】选选C.C.令令n n2 2+1=122,+1=122,则则n n2 2=121,=121,所以所以n=11n=11或或n=-11(n=-11(舍去舍去).).公众号品数学 4.4.已知数列已知数列aan n 的通项公式是的通项公式是a an n=2n-1,=2n-1,则则a a8 8=_.=_.【解析】【解析】a a8 8=2=28-1=15.8-1=15.答案答案:1515类型一数列的概念以及分类类型一数列的概念以及分类【典例】【典例】1.1.下列说法错误的是下列说法错误的是()A.A.数列数列4,7,3,44,7,3,4的首项是的首项是4 4B.
10、B.数列数列aan n 中中,若若a a1 1=3,=3,则从第则从第2 2项起项起,各项均不等于各项均不等于3 3C.C.数列数列1,2,3,1,2,3,就是数列就是数列nnD.D.数列中的项不能是三角形数列中的项不能是三角形2.2.已知下列数列已知下列数列:2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016;2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016;1,;1,;1,-,;1,-,;1,0,-1,sin ,;1,0,-1,sin ,;2,4,8,16,32,;2,4,8,16,32,;-1,-1,-1,-1.-1,-1,-1,-1.1214n
11、1122335n1(1)n2n 1n2公众号品数学 其中其中,有穷数列是有穷数列是_,_,无穷数列是无穷数列是_,_,递增数列是递增数列是_,_,递减递减数列是数列是_,_,常数列是常数列是_,_,摆动数列是摆动数列是_(_(填序号填序号).).【思维【思维引】引】1.1.依据数列的定义逐项判断依据数列的定义逐项判断.2.2.依据数列分类中有关数列的定义依据数列分类中有关数列的定义,逐个判断逐个判断.【解析】【解析】1.1.选选B.B.由数列的相关概念可知由数列的相关概念可知,数列数列4,7,3,44,7,3,4的首项是的首项是4,4,故故A A正确正确.同一个数在数列中可以重复出现同一个数在
12、数列中可以重复出现,故故B B错误错误.按一定顺序排列的一列数称为数列按一定顺序排列的一列数称为数列,所以数列所以数列1,2,3,1,2,3,就是数列就是数列n,n,故故C C正确正确.数列中的项必须是数数列中的项必须是数,不能是其他形式不能是其他形式,故故D D正确正确.2.2.为有穷数列且为递增数列为有穷数列且为递增数列;为无穷数列、递减数列为无穷数列、递减数列;为无穷数列、摆为无穷数列、摆动数列动数列;是摆动数列是摆动数列,也是无穷数列也是无穷数列;为递增数列为递增数列,也是无穷数列也是无穷数列;为有穷为有穷数列数列,也是常数列也是常数列.答案答案:【内化【内化悟】悟】1.1.与集合中元
13、素的性质相比较与集合中元素的性质相比较,数列中的项的性质具有哪些特点数列中的项的性质具有哪些特点?提示提示:(1)(1)确定性确定性:一个数是或不是某一数列中的项是确定的一个数是或不是某一数列中的项是确定的,集合中的元素也集合中的元素也具有确定性具有确定性;(2)(2)可重复性可重复性:数列中的数可以重复数列中的数可以重复,而集合中的元素不能重复出现而集合中的元素不能重复出现(即互异性即互异性););(3)(3)有序性有序性:一个数列不仅与构成数列的一个数列不仅与构成数列的“数数”有关有关,而且与这些数的排列顺序而且与这些数的排列顺序有关有关,而集合中的元素没有顺序而集合中的元素没有顺序(即无
14、序性即无序性););(4)(4)数列中的每一项都是数数列中的每一项都是数,而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物.2.2.如何判断两个数列是相同数列如何判断两个数列是相同数列?提示提示:组成数列的数相同组成数列的数相同,且排列次序也相同的两个数列才是相同的数列且排列次序也相同的两个数列才是相同的数列.公众号品数学【类题【类题通】通】数列概念的三个注意点数列概念的三个注意点(1)(1)数列数列aan n 表示数列表示数列a a1 1,a,a2 2,a,a3 3,a,an n,不是表示一个集合不是表示一个集合,与集合表示有本与集合表示有本质的区别质的区
15、别.(2)(2)从数列的定义可以看出从数列的定义可以看出,如果组成数列的数相同而排列次序不同如果组成数列的数相同而排列次序不同,那么它们那么它们就是不同的数列就是不同的数列;在定义中在定义中,并没有规定数列中的数必须不同并没有规定数列中的数必须不同,因此因此,同一个数同一个数在数列中可以重复出现在数列中可以重复出现.(3)(3)数列中各项的次序揭示了数列的规律性数列中各项的次序揭示了数列的规律性,是理解、把握数列的关键是理解、把握数列的关键.【习练【习练破】破】下列数列中下列数列中,既是无穷数列又是递增数列的是既是无穷数列又是递增数列的是()A.1,A.1,B.sin ,sin ,sin ,s
16、in ,B.sin ,sin ,sin ,sin ,C.-1,-,-,-,C.-1,-,-,-,D.1,2,3,4,30D.1,2,3,4,3013231133，13213313413131412【解析】【解析】选选C.C.数列数列1,1,是无穷数列是无穷数列,但它不是递增数列但它不是递增数列,而是递减而是递减数列数列;数列数列sin ,sin ,sin ,sin ,sin ,sin ,sin ,sin ,是无穷数列是无穷数列,但它既不是递增数但它既不是递增数列列,又不是递减数列又不是递减数列;数列数列-1,-,-,-,-1,-,-,-,是无穷数列是无穷数列,也是递增数列也是递增数列;数列数列
17、1,2,3,4,301,2,3,4,30是递增数列是递增数列,但不是无穷数列但不是无穷数列.13231133，13213313413131412公众号品数学【加练【加练固】固】下列数列下列数列(1)1,2,2(1)1,2,22 2,2,23 3,2,26363;(2)0,10,20,30,1 000;(2)0,10,20,30,1 000;(3)2,4,6,8,10,;(3)2,4,6,8,10,;(4)-1,1,-1,1,-1,;(4)-1,1,-1,1,-1,;(5)7,7,7,7,;(5)7,7,7,7,;(6)(6)1 111.3 9 27 81，其中有穷数列是其中有穷数列是_,_,无
18、穷数列是无穷数列是_,_,递增数列是递增数列是_,_,递减数递减数列是列是_,_,摆动数列是摆动数列是_,_,常数列是常数列是_.(_.(填序号填序号)【解析】【解析】根据数列的概念知有穷数列是根据数列的概念知有穷数列是(1)(2),(1)(2),无穷数列是无穷数列是 (3)(4)(5)(6),(3)(4)(5)(6),递递增数列是增数列是(1)(2)(3),(1)(2)(3),递减数列是递减数列是(6),(6),摆动数列是摆动数列是 (4),(4),常数列是常数列是(5).(5).答案答案:(1)(2)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(1)(2)
19、(3)(6)(6)(4)(4)(5)(5)类型二观察法写出数列的通项公式类型二观察法写出数列的通项公式【典例】【典例】1.(20201.(2020徐州高一检测徐州高一检测)数列数列3,6,11,20,3,6,11,20,的一个通项公式为的一个通项公式为()A.aA.an n=3n=3nB.aB.an n=n(n+2)=n(n+2)C.aC.an n=n+2=n+2n nD.aD.an n=2n+1=2n+12.2.写出下列数列的一个通项公式写出下列数列的一个通项公式:(1),2,8,;(1),2,8,;(2)1,-3,5,-7,9,;(2)1,-3,5,-7,9,;(3)9,99,999,9
20、999,;(3)9,99,999,9 999,;(4);(4);(5);(5);(6)4,0,4,0,4,0,.(6)4,0,4,0,4,0,.1292252222221 32 43 541357，11111 2 2 3 3 4 4 5，公众号品数学【思维【思维引】引】1.1.根据特点根据特点,观察、分析观察、分析,寻找数列的每一项与其所在项的序号寻找数列的每一项与其所在项的序号之间的关系之间的关系,归纳出一个通项公式即可归纳出一个通项公式即可.2.2.首先要熟悉一些常见数列的通项公式首先要熟悉一些常见数列的通项公式,然后对于复杂数列的通项公式然后对于复杂数列的通项公式,其项其项与序号之间的关
21、系不容易发现与序号之间的关系不容易发现,要将数列各项的结构形式加以变形要将数列各项的结构形式加以变形,将数列的将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的各项分解成若干个常见数列对应项的“和和”“”“差差”“”“积积”“”“商商”后再进行归后再进行归纳纳.【解析】【解析】1.1.选选C.C.依题意依题意,a,a1 1=3=1+2=3=1+21 1;a;a2 2=6=2+2=6=2+22 2;a;a3 3=11=3+2=11=3+23 3;a;a4 4=20=4+2=20=4+24 4;,所以所以a an n=n+2=n+2n n.2.(1)2.(1)数列的项有的是分数数列的项有的是分数,有的是整数
22、有的是整数,可先将各项都统一成分数再观察可先将各项都统一成分数再观察:,所以所以,它的一个通项公式为它的一个通项公式为a an n=.=.(2)(2)数列各项的绝对值分别为数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9,1,3,5,7,9,是连续的正奇数是连续的正奇数,其通项公式为其通项公式为2n2n-1;-1;考虑考虑(-1)(-1)n+1n+1具有转换符号的作用具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为所以数列的一个通项公式为a an n=(-1)=(-1)n+1n+1(2n(2n-1).-1).1 4 9 16 252 2 222，2n2(3)(3)各项加各项加1 1后后,分别变为分别变为1
23、0,100,1 000,10 000,10,100,1 000,10 000,此数列的通项公式为此数列的通项公式为1010n n,可可得原数列的一个通项公式为得原数列的一个通项公式为a an n=10=10n n-1.-1.(4)(4)数列中每一项均由三部分组成数列中每一项均由三部分组成,分母是从分母是从1 1开始的奇数列开始的奇数列,其通项公式为其通项公式为2n-2n-1;1;分子的前一部分是从分子的前一部分是从2 2开始的自然数的平方开始的自然数的平方,分子的后一部分是减去一个从分子的后一部分是减去一个从1 1开始的自然数开始的自然数,综合得原数列的一个通项公式为综合得原数列的一个通项公式
24、为a an n=(5)(5)这个数列的前这个数列的前4 4项的绝对值都等于序号与序号加项的绝对值都等于序号与序号加1 1的积的倒数的积的倒数,且奇数项为且奇数项为负负,偶数项为正偶数项为正,所以它的一个通项公式是所以它的一个通项公式是a an n=(-1)=(-1)n n22n1nnn1.2n12n11.n n1(6)(6)由于该数列中由于该数列中,奇数项全部都是奇数项全部都是4,4,偶数项全部都是偶数项全部都是0,0,因此可用分段函数的因此可用分段函数的形式表示通项公式形式表示通项公式,即即a an n=又因为数列可改写为又因为数列可改写为2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,2+
25、2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,因此其通项公式又可表示因此其通项公式又可表示为为a an n=2+2=2+2(-1)(-1)n+1n+1.4n0n.，为奇数，为偶数公众号品数学【素养【素养探】探】在与观察法写出数列的通项公式有关的问题中在与观察法写出数列的通项公式有关的问题中,经常利用核心素养中的逻辑推经常利用核心素养中的逻辑推理理,通过研究数列的前几项与项的序号之间的关系通过研究数列的前几项与项的序号之间的关系,归纳出数列的通项公式归纳出数列的通项公式.将本例将本例2(6)2(6)的数列改为的数列改为“3,5,3,5,3,5,”,3,5,3,5,3,5,”,如何写出其通项公式如何
26、写出其通项公式?【解析】【解析】此数列的奇数项为此数列的奇数项为3,3,偶数项为偶数项为5,5,故通项公式可写为故通项公式可写为a an n=此数列两项此数列两项3 3与与5 5的平均数为的平均数为 =4,=4,奇数项为奇数项为4-1,4-1,偶数项为偶数项为4+1,4+1,故通项公式还可写为故通项公式还可写为a an n=4+(-1)=4+(-1)n n.3(n)5(n).为奇数，为偶数352【类题【类题通】通】(1)(1)用观察法求数列通项公式的策略用观察法求数列通项公式的策略公众号品数学(2)(2)对于符号交替出现的情况对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值可先观察其绝对值,再用再用(
27、-1)(-1)k k处理符号问题处理符号问题.(3)(3)对于周期出现的数列对于周期出现的数列,可考虑拆成几个简单数列和的形式可考虑拆成几个简单数列和的形式,或者利用周期函或者利用周期函数数,如三角函数等如三角函数等.【习练【习练破】破】写出下列数列的一个通项公式写出下列数列的一个通项公式:(1)0,3,8,15,24,;(1)0,3,8,15,24,;(2)1 ,2 ,3 ,4 ,;(2)1 ,2 ,3 ,4 ,;(3)1,11,111,1 111,.(3)1,11,111,1 111,.12233445【解析】【解析】(1)(1)观察数列中的数观察数列中的数,可以看到可以看到0=1-1,3
28、=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,所以它的一个通项公式是所以它的一个通项公式是a an n=n=n2 2-1(nN-1(nN*).).(2)(2)此数列的整数部分此数列的整数部分1,2,3,4,1,2,3,4,恰好是序号恰好是序号n,n,分数部分与序号分数部分与序号n n的关系为的关系为 故所求的数列的一个通项公式为故所求的数列的一个通项公式为a an n=n+=(nN=n+=(nN*).).(3)(3)原数列的各项可变为原数列的各项可变为 9,9,99,99,999,999,9 999,9 999,易知数
29、列易知数列9,99,999,9 999,9,99,999,9 999,的一个通项公式为的一个通项公式为a an n=10=10n n-1,-1,所以原数列的一个通项公式为所以原数列的一个通项公式为a an n=(10=(10n n-1)(nN-1)(nN*).).n,n 1nn 12n2nn 11919191919公众号品数学【加练【加练固】固】根据下面数列的前几项的值根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式写出数列的一个通项公式:(1)3,5,7,9,11,13,;(1)3,5,7,9,11,13,;(2),;(2),;(3)0,1,0,1,0,1,;(3)0,1,0,1,0,1,;
30、(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,;(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,;(5)2,-6,12,-20,30,-42,.(5)2,-6,12,-20,30,-42,.234156358631099【解析】【解析】(1)(1)从从3 3开始的奇数列开始的奇数列,a,an n=2n+1.=2n+1.(2)(2)分子为偶数分子为偶数,分母为相邻两奇数的积分母为相邻两奇数的积a an n=(4)(4)将数列变形为将数列变形为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,所以所以 2n;2n1 2n1nnn1
31、(1)n1(3)aa|sin|;22 或nn1(1)an2；(5)(5)将数列变形为将数列变形为1 12,-22,-23,33,34,-44,-45,55,56,6,所以所以a an n=(-1)=(-1)n+1n+1n(n+1).n(n+1).类型三数列通项公式的简单应用类型三数列通项公式的简单应用【典例】【典例】已知数列已知数列aan n 的通项公式为的通项公式为a an n=.=.(1)(1)求求a a1010.(2)(2)判断判断 是否为该数列中的项是否为该数列中的项.若是若是,它为第几项它为第几项?若不是若不是,请说明理由请说明理由.(3)(3)求证求证:0a:0an n1.3,3n
32、+13,所以所以0 1,0 1,所以所以01-1,01-1,即即0a0an n1.0,a0,an n0?0;0;30+n-n30+n-n2 20,0,解得解得n=6;0n6,n=6;0n6,即即n=6n=6时时,a,an n=0;=0;当当0n60n0;0;当当n6n6且且nNnN*时时,a,an n0.1)(n1)n n相邻两项相邻两项多项多项【思考】【思考】数列递推公式与通项公式有什么区别和联系数列递推公式与通项公式有什么区别和联系?提示提示:不同点不同点相同点相同点通项通项公式公式可根据某项的序号可根据某项的序号,直接用代入法求直接用代入法求出该项出该项都可确定一个数列都可确定一个数列,
33、都可都可求出数列的任何一项求出数列的任何一项递推递推公式公式可根据第可根据第1 1项或前几项的值项或前几项的值,通过一次通过一次或多次赋值逐项求出数列的项或多次赋值逐项求出数列的项,直至直至求出所有的项求出所有的项公众号品数学 2.2.数列的前数列的前n n项和项和数列数列aan n 从第从第1 1项起到第项起到第n n项止的各项之和项止的各项之和,称为数列称为数列aan n 的前的前n n项和项和.记作记作S Sn n.即即S Sn n=_.=_.a a1 1+a+a2 2+a+an n【思考】【思考】数列数列aan n 的通项公式和其前的通项公式和其前n n项和项和S Sn n的关系是什么
34、的关系是什么?提示提示:a an n=1nn 1Sn1SSn2.，【素养小测】【素养小测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”)(1)(1)递推公式不能用来表示数列递推公式不能用来表示数列.()(2)(2)所有的数列都有递推公式所有的数列都有递推公式.()(3)(3)由公式由公式a an+1n+1=a=an n-2(n1)-2(n1)可写出数列可写出数列aan n 的所有项的所有项.(.()(4)(4)若数列若数列aan n 满足满足a an+1n+1=a=an n,则该数列是常数列则该数列是常数列.()提示提示:(1)(1).递推公式也是给出数列的一种重要方法
35、递推公式也是给出数列的一种重要方法.(2)(2).并不是所有的数列都有递推公式并不是所有的数列都有递推公式.例如例如 精确到精确到1,0.1,0.01,0.001,1,0.1,0.01,0.001,的不足近似值排列成一列数的不足近似值排列成一列数:1,1.4,1.41,1.414,:1,1.4,1.41,1.414,就没有递推公式就没有递推公式.(3)(3).还需知道数列中至少一项的值还需知道数列中至少一项的值.(4).(4).该数列每一项都相同该数列每一项都相同.2公众号品数学 2.2.已知数列已知数列aan n 满足满足a a1 1=1,a=1,an+1n+1=a=an n+n,+n,则则
36、a a3 3的值为的值为()A.2A.2B.3B.3C.4C.4D.5D.5【解析】【解析】选选C.C.由由a a1 1=1,a=1,an+1n+1=a=an n+n,+n,所以所以a a2 2=a=a1 1+1=2,a+1=2,a3 3=a=a2 2+2=2+2=4.+2=2+2=4.3.3.已知数列已知数列aan n 满足满足a a1 10,=2(nN0,=2(nN*),),则数列则数列aan n 是是_数列数列(填填“递递增增”或或“递减递减”).).【解析】【解析】由已知由已知a a1 10,a0,an+1n+1=2a=2an n(nN(nN*),),得得a an n0(nN0(nN*
37、).).又又a an+1n+1-a-an n=2a=2an n-a-an n=a=an n0,0,所以数列所以数列aan n 是递减数列是递减数列.答案答案:递减递减n 1naa公众号品数学 类型一由递推公式写数列的项类型一由递推公式写数列的项【典例】【典例】1.1.数列数列aan n 满足满足a a1 1=1,a=1,an+1n+1=2a=2an n+1(nN+1(nN*),),那么那么a a4 4的值为的值为()A.4A.4B.8B.8C.15C.15D.31D.312.2.已知数列已知数列aan n,a,a1 1=1,a=1,a2 2=2,a=2,an n=a=an-1n-1+a+an-
38、2n-2(n3),(n3),则则a a5 5=_.=_.3.3.根据各个数列的首项和递推公式根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前写出它的前5 5项项,并归纳出通项公式并归纳出通项公式.(1)a(1)a1 1=0,a=0,an+1n+1=a=an n+(2n-1)(nN+(2n-1)(nN*););(2)a(2)a1 1=1,a=1,an+1n+1=(nN=(nN*););(3)a(3)a1 1=3,a=3,an+1n+1=3a=3an n-2(nN-2(nN*).).nn2aa2【思维【思维引】引】1.1.由递推公式弄清相邻两项之间的关系由递推公式弄清相邻两项之间的关系,依次代入依次代入n
39、=1,2,3,n=1,2,3,计算计算即可即可.2.2.由递推公式弄清相邻三项之间的关系由递推公式弄清相邻三项之间的关系,依次代入依次代入n=3,4,5n=3,4,5计算即可计算即可.3.3.写出数列的前几项写出数列的前几项,归纳写出通项公式归纳写出通项公式.【解析】【解析】1.1.选选C.C.因为数列因为数列aan n 满足满足a a1 1=1,a=1,an+1n+1=2a=2an n+1(nN+1(nN*),),所以所以a a2 2=2a=2a1 1+1=2+1=3,a+1=2+1=3,a3 3=2a=2a2 2+1=6+1=7,a+1=6+1=7,a4 4=2a=2a3 3+1=14+1
40、=15.+1=14+1=15.2.2.由题知由题知a a3 3=a=a2 2+a+a1 1=3,a=3,a4 4=a=a3 3+a+a2 2=5,=5,a a5 5=a=a4 4+a+a3 3=8.=8.答案答案:8 83.(1)3.(1)因为因为a a1 1=0,a=0,a2 2=1,a=1,a3 3=4,a=4,a4 4=9,a=9,a5 5=16,=16,所以所以a an n=(n-1)=(n-1)2 2.(2)(2)因为因为a a1 1=1,a=1,a2 2=,a=,a3 3=,=,a a4 4=,a=,a5 5=,=,所以所以a an n=.=.(3)(3)因为因为a a1 1=3=
41、1+2=3=1+23 30 0,a,a2 2=7=1+2=7=1+23 31 1,a a3 3=19=1+2=19=1+23 32 2,a a4 4=55=1+2=55=1+23 33 3,a a5 5=163=1+2=163=1+23 34 4,所以所以a an n=1+2=1+23 3n-1n-1.2312242513262n1【内化【内化悟】悟】由递推公式写出通项公式的步骤是什么由递推公式写出通项公式的步骤是什么?提示提示:(1)(1)根据递推公式写出数列的前几项根据递推公式写出数列的前几项(至少是前至少是前3 3项项).(2).(2)根据写出的前几根据写出的前几项项,观察归纳其特点观察
42、归纳其特点,并把每一项统一形式并把每一项统一形式.(3)(3)归纳总结写出一个通项公式归纳总结写出一个通项公式.公众号品数学【类题【类题通】通】由递推公式写出数列的项的方法由递推公式写出数列的项的方法(1)(1)根据递推公式写出数列的前几项根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次依次代入计算即可代入计算即可.(2)(2)解答这类问题时还需注意解答这类问题时还需注意:若知道的是首项若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式的项表示后面的项的形式.(3)(3)若知道的是末项若知道的是末项,通常将
43、所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.【习练【习练破】破】设数列设数列aan n 满足满足写出这个数列的前五项写出这个数列的前五项.【解析】【解析】据题意可知据题意可知:a:a1 1=1,a=1,a2 2=1+=2,a=1+=2,a3 3=1+=,a=1+=,a4 4=1+=,a=1+=,a5 5=1+=1+=.=.1nn 1a11a1n1.a，11a21a3231a5341a85类型二由递推公式求通项公式类型二由递推公式求通项公式角度角度1 1累加法累加法【典例】【典例】在数列在数列aan n 中中,a,a1 1=2,a=2,an+1n+
44、1=a=an n+ln ,+ln ,求数列的通项公式求数列的通项公式a an n.【思维【思维引】引】将递推公式整理为将递推公式整理为a an+1n+1-a-an n=f(n),=f(n),累加求通项公式累加求通项公式.1(1)n【解析】【解析】a an+1n+1-a-an n=ln =ln(1+n)-ln n,a=ln =ln(1+n)-ln n,a1 1=2,=2,a a2 2-a-a1 1=ln 2,a=ln 2,a3 3-a-a2 2=ln 3-ln 2,=ln 3-ln 2,a a4 4-a-a3 3=ln 4-ln 3,=ln 4-ln 3,a an n-a-an-1n-1=ln
45、n-ln(n-1)(n2),=ln n-ln(n-1)(n2),以上各式相加得以上各式相加得a an n=2+ln 2+(ln 3-ln 2)+=2+ln 2+(ln 3-ln 2)+ln n-ln(n-1).+ln n-ln(n-1).所以所以a an n=2+ln n(n2).=2+ln n(n2).因为因为a a1 1=2=2也适合上式也适合上式,所以所以a an n=2+ln n.=2+ln n.1(1)n【素养【素养探】探】在由递推公式求通项公式的问题中在由递推公式求通项公式的问题中,经常利用核心素养中的数学运算经常利用核心素养中的数学运算,通过研通过研究递推公式分析数列相邻项之间的
46、关系究递推公式分析数列相邻项之间的关系,使用累加法或累乘法求解使用累加法或累乘法求解,提高运算提高运算能力能力.将本例的条件改为将本例的条件改为“在数列在数列aan n 中中,a,a1 1=1,a=1,an n=a=an-1n-1+(n2)”,+(n2)”,求数列的通项公式求数列的通项公式.1n1n 公众号品数学【解析】【解析】因为因为a an n=a=an-1n-1+(n2),+(n2),所以所以a an n-a-an-1n-1=,=,所以所以a a1 1=1,=1,a a2 2-a-a1 1=,=,a a3 3-a-a2 2=,=,a a4 4-a-a3 3=,=,a an n-a-an-
47、1n-1=.=.1n1n 1n1n n1n 324354n1n 所以所以a an n=a=a1 1+(a+(a2 2-a-a1 1)+(a)+(a3 3-a-a2 2)+(a)+(a4 4-a-a3 3)+)+(a+(an n-a-an-1n-1)=1+(-)+(-)+(-)+=1+(-)+(-)+(-)+(-)+(-)=-+1.=-+1.当当n=1n=1时时a a1 1=1=1也适合上式也适合上式,所以所以a an n=-+1.=-+1.323445n1nn12n12公众号品数学 角度角度2 2累乘法累乘法【典例】【典例】设数列设数列aan n 中中,a,a1 1=1,a=1,an n=a=
48、an-1n-1(n2),(n2),求数列的通项公式求数列的通项公式a an n.【思维【思维引】引】将递推公式整理为将递推公式整理为 =f(n),=f(n),累乘求通项公式累乘求通项公式.【解析】【解析】因为因为a a1 1=1,a=1,an n=a=an-1n-1(n2),(n2),所以所以 ,a,an n=a a1 1=1=.1=.又因为又因为n=1n=1时时,a,a1 1=1,=1,符合上式符合上式,所以所以a an n=.=.1(1)nn 1naa1(1)nnn1an 1annn1aan1n2aan2n3aa32aa21aan 1n2n3nn 1n221321n1n【类题【类题通】通】
49、1.1.用用“累加法累加法”求数列的通项公式求数列的通项公式当当a an n-a-an-1n-1=f(n)(n2)=f(n)(n2)满足一定条件时满足一定条件时,常用常用a an n=(a=(an n-a-an-1n-1)+(a)+(an-1n-1-a-an-2n-2)+(a)+(a2 2-a-a1 1)+a+a1 1累加来求通项累加来求通项a an n.2.2.用用“累乘法累乘法”求数列的通项公式求数列的通项公式当当 =g(n)(n2)=g(n)(n2)满足一定条件时满足一定条件时,常用常用a an n=a=a1 1累累乘来求通项乘来求通项a an n.nn 1aann 1aan 1n 2a
50、an 2n 3aa21aa【习练【习练破】破】已知数列已知数列aan n 中中,a,a1 1=1,=1,当当nNnN*且且n2n2时时,(2n+1)a,(2n+1)an n=(2n-3)a=(2n-3)an-1n-1,求通项公式求通项公式a an n.【解析】【解析】当当n2n2时时,因为因为(2n+1)a(2n+1)an n=(2n-3)a=(2n-3)an-1n-1,所以所以 =,=,所以所以 =所以所以 ,所以所以a an n=,=,当当n=1n=1时符合上式时符合上式,所以所以a an n=,nN=,nN*.nn 1aa2n32n 1324123aaaaaan1nn2n1aaaa153
