1、第第3讲讲 中国数学中国数学一一九章算术九章算术与与算经十书算经十书二宋元时期的数学二宋元时期的数学.中国古代数学从公元前后至14世纪，先后经历了三次发展高潮两汉时期 魏晋南北朝时期 宋元时期 周髀算经和九章算术成书 刘徽注九章算术和祖冲之父子的数学工作中国剩余定理高次方程数值解内插法.记数法与实数系统 漢&三國:前2世纪 公元3世纪 算术方法 代数问题 几何理论.九章算术是中国古代数学最重要的典籍之一。这是从先秦至西汉中期经过众多学者编纂、修改而成的一部数学著作，在算术、代数、几何领域均有不凡成就，堪称东方数学之代表。九章算术采用问题集的形式，共包含246个问题，分为九章，依次是：方田、粟米
2、、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。每道题由问、答、术三个部分组成，全部都是与生产实践有联系的实际应用问题。.武英殿聚珍版丛书九章算术书影.宋刻本九章算术书影.数学家刘徽（约公元3世纪）像.记数法与实数系统.算筹十进位位置制.实数系统 零:空位 负数:正负术 同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。(减法法则）无理数:开方术 开之不尽者为不可开，当以面命之。.算术方法 分数四则运算与比例算法 盈不足术（双假设法）物不知数与百鸡问题.大明暦、綴術 =355/113 南齊書（卷25）長水校尉 祖沖之(429500).代数问题 线性方程组（高斯解法）开方术（开平方、开立方）.几何理论
3、出入相补原理 面积、圆周率、勾股定理、重差术 祖暅公理与刘徽原理（阳马术）多面体体积、球积.国子监 北京国子监 东城区安定门内成贤街 元、明、清三代的最高学府 礼、乐、律、射、御、书、数 元代成宗大德十年（1306年）.崇寧(1102-1106年):算學格 官屬:博士四員 二員分講九章、周髀 二員分習暦算、三式、天文算學源流国子监教学.九章算术(约100 BC)刘徽注（263AD)算经十书 周髀算经 九章算术 海岛算经 孙子算经 张邱建算经 缀术 五曹算经 五经算术 夏侯阳算经 缉古算经.宋元数学:11世紀 14世紀 秦 九韶(1202?1261)數書九章(1247)李 冶(11921279)
4、測圓海鏡(1248)、益古演段(1259)楊 輝 詳解九章算法(1261)、楊輝算法(1275)朱 世傑 算學啓蒙(1299)、四元玉鑑(1303).宋元時代的数学 不定方程:演纪术&大衍术 數書九章 代数方程:天元术&开方术&四元术 測元海鏡、數書九章、四元玉鑑 级数求和:垛积术&招差术 楊輝算法、四元玉鑑.宋元时期的数学与数理天文学 I 不定分析 中国剩余定理 秦九韶:演纪术&大衍术（1247）x r1(mod m1)r2(mod m2)rn(mod mn).孙子算经“物不知数”问题：今有物不知其数。三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二。问物几何？)7(mod2)5(mod3)3(mo
5、d2N232105215321270N中国剩余定理：求解一次同余式组的方法中国剩余定理：求解一次同余式组的方法.秦九韶数书九章（作于一二四七年）书影.设有一次同余式组nniiiiiiiiiiiaaaMppMaMkRNaaMkkaniaRN.,)()(mod1:,.,2,1),(mod211为整数其中解为次同余组的最小正整数就可以得到适合已给一满足那么只要求出一组数两两互素假如诸模数 中国剩余定理 秦九韶数书九章卷一“大衍总数术”.中国古代的数学成就大多都有其天文学背景 中国剩余定理的天文学意义是寻找历法的起算点“上元”，使得此时刻“日月合璧，五星联珠，七曜同宫”一部历法的起算点称为“历元”或“
6、上元”，并把从上元到所求年累计的年数叫做“上元积年”。确定了历元和积年，就可以根据各项天文周期（回归年、朔望月、五星会合周期）来推朔置闰，计算节气、交食，整个历法才得以安排。.日月地水金火木土.子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥甲 1 11乙 2 12丙 3 丁 4戊 5己 6庚 7辛 8壬 9癸 10 51 41 31 21 52 42 32 22 13 53 43 33 23 14 54 44 34 24 25 15 55 45 35 26 16 56 46 36 37 27 17 57 47 38 28 18 58 48 49 39 29 19 59 50 40 30 20
7、60 天干&地支:60周期.上元(历元):特別時刻 甲子年、甲子日、夜半 日月五星会聚冬至点 太阳经过远地点 太阳经过黄白道降交点.上元积年Nn 甲子年 甲子日 11月初一夜半 木星、火星、土星、金星、水星 会聚冬至点 太阳经过冬至点 远地点 黃白道交点Nn r0(mod60)TNn r1(mod60)TNn r2(mod B)TNn r7(mod P2)TNn r6(mod P1)TNn r8(mod P3)TNn r9(mod P4)TNn r10(mod P5)TNn r4(mod A)TNn r5(mod J)TNn r3(mod S).不定分析 演纪术:一次同余方程组 历法的需要 D
8、iophantus 丢番图方程 大衍术:数学的创造.宋元时期的数学与数理天文学II 天元术:代数方程的建立 李冶:測圓海鏡1248 增乘开方法:多项式方程数值解 贾宪、秦九韶:數書九章、詳解九章算法 四元术:高次多项式方程组消元法 朱世杰:四元玉鑑1303.授时历(1280)的弧矢割圆048)(4223224arxrxrarxyxra,矢:BD=xrOy BCADa.代数方程理论 天元术:代数方程的建立 历法的应用 增乘开方法:多项式方程数值解 求根公式:根与系数的关系 四元术:高次多项式方程组消元法 多项式理论的发展.宋元时期的数学与数理天文学III 级数求和 内插法 朱世杰:垛积术&招差术
9、 四元玉鑑1303.一行(673727)大衍暦 内插法 正切函数表 舊唐書（卷191）.沈括(10311095)夢溪筆談 十二氣暦 隙積術 宋史（卷331）翰林學士.郭守敬(12311316):授時暦 元史（卷164）太史令.授时历:三次内插法xxxnnnnfxf222212122/)()()()(段 積日 積差 日平差 一差 二差 k kn f(kn)f(kn)/kn 1 14.82 7058.0250 476.25 38.45 1.38 2 29.64 12976.3920 437.80 39.83 1.38 3 44.46 17693.7462 397.97 41.21 1.38 4 5
10、9.28 21148.7328 356.76 42.59 1.38 5 74.10 23279.9970 314.17 43.97 6 88.92 24026.1840 270.20k2.四元玉鑑:立方招兵 3 216 53=125 91 36 x f(x)x2x3x4x 1 27 33=27 37 24 6 2 91 43=64 61 30 6 4 432 63=216 127 5 775 73=343 411)(kkkxCxf!)!(!xkxxCkx.垛积招差&内插法垛积内插法 招差正切函数表微分 differential 速度 積分 integral面積 朱世杰:级数求和xkkkxCxf11)(牛顿与莱布尼兹baaFbFdxxf)()()(.宋元的数学与数理天文学 不定分析:演纪术&大衍术 历法计算:上元积年 代数方程:天元术&开方术&四元术 历法计算:弧矢割圆 级数求和:垛积术&招差术 历法计算:内插法.The End.
