1、材料力学材料力学交通与车辆工程学院交通与车辆工程学院李丽君李丽君伽利略伽利略 Galilei (1564-1642)此结论是否正确？此结论是否正确？回顾与比较回顾与比较内力内力AF应力公式及分布规律应力公式及分布规律PITFAyFSM?均匀分布均匀分布线形分布线形分布5-2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力 强度条件强度条件5-4 弯曲切应力弯曲切应力5-6 提高梁强度的措施提高梁强度的措施5-1 纯弯曲纯弯曲纯弯曲纯弯曲梁段梁段CD梁段梁段AC和和BD5-1 纯弯曲纯弯曲纯弯曲纯弯曲横力弯曲横力弯曲FsMFaFaFF纯弯曲实例纯弯曲实例5-2 纯弯
2、曲时的正应力纯弯曲时的正应力变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系静力学关系静力学关系纯弯曲的内力纯弯曲的内力剪力剪力Fs=0横截面上没有切应力横截面上没有切应力只有正应力只有正应力弯曲正应力的弯曲正应力的分布规律和计算公式分布规律和计算公式变形几何关系变形几何关系纵向线纵向线由直线由直线曲线曲线横向线横向线由直线由直线直线直线相对旋转一个角度后，相对旋转一个角度后，仍然与纵向弧线垂直。仍然与纵向弧线垂直。纵向线的长度纵向线的长度两横截面的夹角两横截面的夹角横截面绕某一轴线发生了偏转。横截面绕某一轴线发生了偏转。平面假设平面假设变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面；变形前为平面的横截面变形
3、后仍保持为平面；纵向纤维之间没有相互挤压，纵向纤维之间没有相互挤压，假设：假设：纵向纤维之间有无相互作用力纵向纤维之间有无相互作用力各纵向纤维只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。各纵向纤维只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。凹入一侧纤维缩短；凹入一侧纤维缩短；凸出一侧纤维伸长。凸出一侧纤维伸长。观察纵向纤维的变化观察纵向纤维的变化在正弯矩的作用下，在正弯矩的作用下，纤维长度不变纤维长度不变中性层中性层中性层中性层L0L=0既不伸长也不缩短既不伸长也不缩短中性轴中性轴中性轴上各点中性轴上各点=0各横截面绕各横截面绕 中性轴发生偏转。中性轴发生偏转。中性轴的位置中性轴的位置 过截面形心过截面形心中性轴的特
4、点：中性轴的特点：平面弯曲时梁横截面上的中性轴平面弯曲时梁横截面上的中性轴它与外力作用面垂直；它与外力作用面垂直；中性轴是与外力作用面相垂直的形心主轴。中性轴是与外力作用面相垂直的形心主轴。一定是形心主轴；一定是形心主轴；观察建筑用的预制板的特征，并给出合理解释观察建筑用的预制板的特征，并给出合理解释P为什么开孔？为什么开孔？为什么加钢筋？为什么加钢筋？施工中如何安放？施工中如何安放？孔开在何处？孔开在何处？可以在任意位置随便开孔吗？可以在任意位置随便开孔吗？托架开孔合理吗？托架开孔合理吗？理论分析理论分析y的物理意义的物理意义纵向纤维到中性层的距离；纵向纤维到中性层的距离；点到中性轴的距离。
5、点到中性轴的距离。zy两直线间的距离两直线间的距离公式推导公式推导线应变的变化规律线应变的变化规律与纤维到中性层的距离成正比。与纤维到中性层的距离成正比。从横截面上看：从横截面上看：点离开中性轴越远，点离开中性轴越远，该点的线应变越大。该点的线应变越大。物理关系物理关系虎克定律虎克定律EyE弯曲正应力的分布规律弯曲正应力的分布规律a、与点到中性轴的距离成正比；、与点到中性轴的距离成正比；c、正弯矩作用下，、正弯矩作用下，上压下拉；上压下拉；当当 5的细长梁，的细长梁，用纯弯曲正应力公式计算横力弯曲正应力，用纯弯曲正应力公式计算横力弯曲正应力，误差误差2%满足工程中所需要的精度。满足工程中所需要
6、的精度。zIMymaxmax弯曲正应力公式适用范围弯曲正应力公式适用范围弯曲正应力公式弯曲正应力公式 ZIMy1 纯弯曲或细长梁的横力弯曲纯弯曲或细长梁的横力弯曲;2 横截面惯性积横截面惯性积 Iyz=0;3 弹性变形阶段弹性变形阶段;作弯矩图，寻找最大弯矩的截面作弯矩图，寻找最大弯矩的截面分析：分析：非对称截面，非对称截面，例例 T型截面铸铁梁，截面尺寸如图。型截面铸铁梁，截面尺寸如图。求最大拉应力、最大压应力。求最大拉应力、最大压应力。647.64 10 mzI计算最大拉应力、最大压应力计算最大拉应力、最大压应力zc52889KN1m1m4KN1mACB要寻找中性轴位置；要寻找中性轴位置；
7、（2）计算应力：）计算应力：33,max64 1052 1027.2MPa7.64 10t33,max64 1088 1046.1MPa7.64 10c（1）求支反力，作弯矩图）求支反力，作弯矩图B截面应力分布截面应力分布9KN1m1m4KN1mACBFAFBFA=2.5KN2.5KNm4KNmMzIMy应用公式应用公式zc5288（3）结论）结论MPa1.46max,cC截面应力计算截面应力计算33,max62.5 1088 1028.8MPa7.64 10tMPa8.28max,t2.5KNm4KNmM9KN1m1m1mACBFAFB4KNzIMy应用公式应用公式zc528830zy180
8、120K1 C 截面上截面上K点正应力点正应力2 C 截面上最大正应力截面上最大正应力3 全梁上最大正应力全梁上最大正应力4 已知已知E=200GPa，C 截面的曲率半径截面的曲率半径例例 矩形截面简支梁承受均布载荷作用矩形截面简支梁承受均布载荷作用1m3mq=60KN/mACB1 截面几何性质计算截面几何性质计算1218.012.03123ZbhI 45m10832.5确定形心主轴的位置确定形心主轴的位置z确定中性轴的位置确定中性轴的位置180120确定形心的位置确定形心的位置q=60KN/m1m3mACB2 求支反力求支反力kN90AyFkN90ByFmkN605.0160190CMMPa
9、IyMZKCK7.6110832.510601060533（压应力）（压应力）3 C 截面上截面上K点正应力点正应力30zy180120K4 C 截面上最大正应力截面上最大正应力MPaIyMZmaxCmaxC55.9210832.510901060533MxFSxkN90AyFkN90ByFq=60KN/m1m3mACB90kN90kNm67.5kN8/2ql5 全梁上最大正应力全梁上最大正应力mkN5.67maxMZmaxmaxWMMPaIyMZmaxmax17.10410832.51090105.67533max弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件危险点：危险点：距离中性轴最远处；距离中性
10、轴最远处；分别发生最大拉应力与最大压应力；分别发生最大拉应力与最大压应力；zmaxmaxmaxIyM1 塑性材料塑性材料抗拉压强度相等抗拉压强度相等无论内力图如何无论内力图如何梁内最大应力梁内最大应力 max其强度条件为其强度条件为通常将梁做成矩形、圆形、工字形等通常将梁做成矩形、圆形、工字形等对称于中性轴的截面；对称于中性轴的截面；此类截面的最大拉应力与最大压应力相等。此类截面的最大拉应力与最大压应力相等。强度条件可以表示为强度条件可以表示为 wMzmaxmax无论截面形状如何，无论截面形状如何，a对于塑性材料，对于塑性材料，b2 离中性轴最远处。离中性轴最远处。1 弯矩的绝对值最大的截面上
11、；弯矩的绝对值最大的截面上；塑性材料塑性材料C 塑性材料制成的变截面梁塑性材料制成的变截面梁,要综合考虑弯矩要综合考虑弯矩M与与截面形状截面形状Iz梁内最大应力发生在：梁内最大应力发生在：wMmaxzmax3 强度条件为强度条件为2 脆性材料脆性材料抗拉压强度不等。抗拉压强度不等。内力图形状有关。内力图形状有关。梁内最大拉应力与最大压应力分别发生在梁内最大拉应力与最大压应力分别发生在最大应力通常与截面形状，最大应力通常与截面形状，通常将梁做成通常将梁做成T形、倒形、倒T形等形等 关于中性轴不对称的截面。关于中性轴不对称的截面。离中性轴最远的最上边缘与最下边缘。离中性轴最远的最上边缘与最下边缘。
12、由于脆性材料抗压不抗拉，由于脆性材料抗压不抗拉，a脆性材料的最大应力与截面形状有关脆性材料的最大应力与截面形状有关MM或者或者 脆性材料梁的危险截面与危险点脆性材料梁的危险截面与危险点上压下拉上压下拉上拉下压上拉下压b 脆性材料的最大应力与内力图有关脆性材料的最大应力与内力图有关危险截面只有一个。危险截面只有一个。tzttIMymax,czccIMymax,危险截面处分别校核：危险截面处分别校核：强度条件表达式强度条件表达式M危险截面有两个：危险截面有两个：每一个截面的最上、最下边缘均是危险点；每一个截面的最上、最下边缘均是危险点；脆性材料梁的危险截面与危险点脆性材料梁的危险截面与危险点tzt
13、tIMymax,czccIMymax,各危险截面处分别校核：各危险截面处分别校核：四个强度条件表达式四个强度条件表达式 zmaxwM Mzmaxw弯曲正应力强度计算的三个方面弯曲正应力强度计算的三个方面1 强度校核强度校核tzttIMymax,czccIMymax,2 设计截面设计截面3 确定许可载荷确定许可载荷例例 图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。,kN5.62,m16.0,m267.0,1302Fbammd材料的许用应力材料的许用应力.MPa60mm1601d（2）危险截面：）危险截面：（3）危险点）危险点 zWMmaxmax截面关于中性轴对
14、称截面关于中性轴对称M弯矩弯矩 最大的截面最大的截面zW抗弯截面系数抗弯截面系数 最小的截面；最小的截面；危险截面的最上、下边缘处。危险截面的最上、下边缘处。（1）轮轴为塑性材料）轮轴为塑性材料（1）计算简图）计算简图（2）绘弯矩图）绘弯矩图MFaFbFbB截面，截面，C截面截面（3）危险截面危险截面（4）强度校核）强度校核B截面：截面：zBBWMmaxzCCWMmaxC截面：截面：（5）结论）结论MFaFbFb316.0322675.623231dFaMPa5.413232dFbMPa4.46313.0321605.62mmd1302.MPa60mm1601dm267.0am16.0bkNF
15、5.62=轮轴满足强度条件轮轴满足强度条件例例 某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦材料的许用应力材料的许用应力MPa,140kN,7.61F,kN502F起重量起重量跨度跨度m,5.9l试选择工字钢的型号。试选择工字钢的型号。自重自重分析分析（2）确定危险截面）确定危险截面（5）计算）计算maxM（6）计算）计算 ，选择工字钢型号，选择工字钢型号zW zWMmaxmax（3）截面为关于中性轴对称）截面为关于中性轴对称（1）简化为力学模型）简化为力学模型（4）应力计算公式）应力计算公式FFFkN,7.61F,kN502Fm,5.9l（
16、1）计算简图）计算简图（2）绘弯矩图）绘弯矩图MFL/4 zWMmaxmax（3）危险截面）危险截面KNmM45.910)507.6(3max maxMWz3cm962（4）强度计算）强度计算（5）选择工字钢型号）选择工字钢型号50a工字钢工字钢3cm962zWF=F1+F2MPa140例例3 T型截面铸铁梁，截面尺寸如图。型截面铸铁梁，截面尺寸如图。试校核梁的强度。试校核梁的强度。MPa,60,MPa30ct9KN1m1m4KN1mACB2080120205 作弯矩图，确定危险截面作弯矩图，确定危险截面 ccttmax,max,6 确定危险点，进行强度校核确定危险点，进行强度校核分析：分析：
17、非对称截面；非对称截面；确定形心主轴位置；确定形心主轴位置；1 脆性材料，脆性材料，2 寻找形心寻找形心3 确定中性轴位置；确定中性轴位置；4 计算图形对中性轴的主惯性矩计算图形对中性轴的主惯性矩危险截面与内力图有关危险截面与内力图有关mm522012020808020120102080cy（2）求截面对中性轴）求截面对中性轴z的惯性矩的惯性矩4zmI623231064.728120201212020422080122080（1）求截面形心）求截面形心z152208012020yz（4）确定危险截面）确定危险截面33,max64 1052 1027.2MPa7.64 10t33,max64 1
18、088 1046.1MPa7.64 10c（3）求支反力，作弯矩图）求支反力，作弯矩图B截面应力强度计算截面应力强度计算9KN1m1m4KN1mACBFAFBFA=2.5KN2.5KNm4KNmMzIMy应用公式应用公式zc5288 t c MPa30tMPa,60c46m1064.7zI（5）结论）结论C截面强度计算截面强度计算33,max62.5 1088 1028.8MPa7.64 10tzIMyzc5288 MPa30tMPa,60c46m1064.7zI2.5KNm4KNmM9KN1m1m1mACBFAFB4KN t cMPac171064.71052105.2633max,满足强度
19、条件满足强度条件例例 一简支梁受力如图所示。已知一简支梁受力如图所示。已知 ，空心圆截面，空心圆截面的内外径之比的内外径之比 ，试选择截面直径，试选择截面直径D；若外径；若外径D增加增加一倍，比值一倍，比值 不变，则载荷不变，则载荷 q 可增加到多大？可增加到多大？8.0DdMPa12L=4mABq=0.5KN/mzWMmax3 作弯矩图，确定危险截面；作弯矩图，确定危险截面；对称截面；对称截面；1 塑性材料，塑性材料，2 已知图形对中性轴的主惯性矩已知图形对中性轴的主惯性矩5 公式公式MPa124 确定危险点，进行强度校核确定危险点，进行强度校核8.0DdMPa12L=4mABq=0.5KN
20、/m1 求支座反力，并作弯矩图求支座反力，并作弯矩图FAFBFA=FB=ql/2M281qL2 确定危险截面确定危险截面2max81qLMmN.100.13强度计算强度计算)1(3243DWzmaxMmD113.0若外径若外径D增加一倍，增加一倍，,226.0mD 2max81qLMzW)1(3243DmKNq.0.48.0DdMPa12zWM8.0Dd不变不变zWM例例 已知已知 材料的材料的 ，由，由M图知：图知：，试校核其强度。，试校核其强度。mNM.102.15maxMPa7016281448单位：cmzIMymax5、确定危险点，进行强度校核、确定危险点，进行强度校核分析：分析：非对
21、称截面；非对称截面；确定形心主轴位置；确定形心主轴位置；1、塑性材料，、塑性材料，2、寻找形心、寻找形心3、确定中性轴位置；、确定中性轴位置；4、计算图形对中性轴的主惯性矩、计算图形对中性轴的主惯性矩MPa706、公式、公式（1）确定中性轴的位置）确定中性轴的位置1082628)514(108141628cm13（2）计算截面对形心主轴的惯性矩）计算截面对形心主轴的惯性矩ASyzC16281448单位：cmzyzCy32816121zI31081212)1314(28162)1319(1018426200 cm（4）正应力校核）正应力校核zIMymax所以结构安全。所以结构安全。问题：若材料为铸铁，截面这样放置是否合理？问题：若材料为铸铁，截面这样放置是否合理？mNM.102.15maxMPa7082510262001015102.1MPa65.68426200cmIz28zzCy谢谢！谢谢！2009年年4月月
