1、在矢量代数中所涉及的矢量都是大小和方向保持不变（注：零矢量的方向为任意的。但在矢量分析中仍将其作为一特殊的常矢量）的常矢量。一旦矢量的大小或方向（或大小和方向）随某一参数的不同取值（这里的参数取为实数）而变化时，这样的矢量称为变矢量。由此引入矢量函数的概念。设t是实变参数，x是变矢量。如果t在确定的实数域中的每一个值，都有确定变矢量x按确定的法则与之对应。则x与t的对应法则：x=x(t)（2.3-1）称为矢量函数。或称为x为实数自变量的矢量值函数。实数自变量的取值域（实数域）称为定义域。与定义域的每一个取值对应的矢量函数值集合称为矢量函数的值域。v 1v 1v bv bv av av 0v 0
2、s 1bas 0osx 1x 2i 1i 2图29矢量函数与实变函数论中的函数一个重要的区别是：实变函数的每一个自变量的取值对应着唯一函数值；矢量的每一个自变量的取值对应着唯一的按平行性确定的自由矢量类（自变量的每一个取值对应着具有唯一大小和方向的所有相互平行的自由矢量）。正是由于矢量函数的这一特点使得矢量函数x(t)的变化状态能够用几何图形表示。如质点在平面上沿曲线s以大小 0vv度沿曲线s的切线方向从 s0 运动至 s1（见图29）。以时间t作为参数。质点的速度矢量作为时间t的函数为 的速)(tvv 图29给出了 0tt01,abtttttttt时的 01,abvvvv四个矢量。于这四个矢
3、量都是自由矢量，且 010vabvvvv个矢量的起点按平行性移至 o点。显然这四个位置矢量描述了。将这四01,abtttttttt四个时刻的速度矢量。由当参数t由t0到t1连续变化时，v(t)的每一个取值所对应（按平行性）位置矢量的终点在 x1o x2平面内描绘一条曲线矢端曲线矢端曲线。矢端曲线也称为矢量函数的图形。更一般地有：对矢量函数 x(t)的终点所描绘的曲线称为矢端曲线或称为 x(t)的图形。而（2.3-1）式称为矢量方程矢量方程。例12：已知小球在四分之一圆弧轨道中运动。圆弧轨道半径R=50cm，小球运动速度的大小 o x 2 x 1 v()图21010.5cos()4m/s。试求小
4、球速度矢量方程；并在图解：21212()cossin(0.5cos0.25cos)(0.5sin0.25sincos);0/2vviviii0:0.25;15:0.259m/sm/s vv30:0.283;45:0.323m/sm/svv60:0.375;75:0.435m/sm/svv90:0.5m/sv以上各 值对应的v，将起点移至（按平行性）o点所得矢端曲线如图所示。v中画出小球速度的矢端曲线。给定的标准正交坐标系o；i1，i2，i3：位置矢量r处的自由矢量x在A点基底i1，i2上的坐标与将x平移至o点的矢量的坐标相同。当x是某一参数t的矢量函数时，对任意给定的t值，x(t)就是o；i1
5、，i2，i3坐标系中的确定自由矢量。且：iitxtxtxtxtiiiix)()()()()(332211（2.3-2）式中 x1(t),x2(t),x3(t)是参数t取给定值时 x(t)自由矢量在基底i1，i2，i3上的坐标。图211给出二维矢量空间的示意。orxx 2x 1i 2i 2i 1i 1图211（2.3-2）式中的x1(t),x2(t),x3(t)称为矢量 x(t)的参数方程。参数方程在o；i1，i2，i3中描绘的曲线正是矢端曲线。对依赖多个参数变化的矢量，类似式（2.3-1）和（2.3-2）可定义多参数变量的矢量函数。设矢量x依赖参数 ntt,1。则：),(1ntt xx（2.3
6、-3）1112123131(,)(,)(,)(,)nnninix ttx ttx ttx ttxiiii（2.3-4）称为多参数变量矢量函数的矢量方程。),(),(),(131211nnnttxttxttx称为多参数变量矢量函数的参数方程。参数方程在 o；i1，i2，i3 中描绘的曲线称为矢端曲线（面）。具有一个参数的矢量函数矢端曲线（二维映射分析）：设x=x(t),bta。在平面坐标系o；i1，i2中，矢量x随t的变化，且：2211)()(iixtxtxx 1x 2x 1(t*)x 2(t*)t*a0boi 1i 2图212x完全由x1(t),x2(t)的变化确定。对t的每一个给定值t=t*
7、(bt*a)，由 x1(t),x2(t)在i1，i2 坐标轴上确定两个点。其坐标值为)(),(*2*1txtx（如图212所示）。同时在坐标系o；i1，i2 中 坐标确定一点A*。位置矢量 )(),(*2*1txtx*()oAt x，b区间的不同取值x(t)位置矢量平面描绘一条曲线。显然随t在a对矢量函数：ox 1x 2t 2t 1oB 1B 2A 2A 1b 2b 1 a 2a 1图2-13121 1212122(,)(,)(,)t tx t tx t tx xii当t2=b2 时：121 1212122(,)(,)(,)t bx t bx t bx xii由于b2是一固定值，因此x=x(t
8、1,b2)只随t1 参数在a1，b1 区间的不同取值而变化。且随t1的变化 x(t1,b2)在 x1o x2平面内描绘一条曲线(矢端曲线)A1B1。同理当 t2=a2 时x(t1,a2)，在 x1o x2平面内描绘一条曲线(矢端曲线)A2B2。显然当t2从a2到b2连续取值时，x(t1,t2)在 x1o x2平面内A1B1到A2B2的一组连续曲线构成的曲面。如图213所示。（注：在二维矢量空间是一平面；在三维矢量空间是空间曲面。在大于三维的矢是空间是超曲面）。该曲面（或超曲面）称为矢端曲面。3/4x 1x 2oo211-121r/4=/4=/3=2/3=3/4图214例13：12(,)coss
9、inrrrxii若，试求当 34412;r时的矢端曲面。解：4当 时：4当 时：当r=1时：当r=2时：12(,)2x rrrrx22),(2rrx22),(1rrx22),(2cos),(1rxsin),(2rxcos2),(1rxsin2),(2rx结果如图图213所示。在实变函数理论中。一旦函数给定，对函数可进行极限运算、连续性及微分积分的分析。对矢量函数，当引入极限的定义后，同样可以进行极限运算、连续性及微积分的分析。以下主要讨论单参数矢量函数的极限运算、连续性及微分积分的分析。并且对连续的矢量函数，单参数矢量函数的分析结论很容易推广到多个参数的矢量函数分析中。设x=x(t)在t的取值
10、域内的某确定点t0的邻域内有定义。且存在一常矢量x0使得对任意给定的正数 都存在一个正数,当满足：00tt时。总有矢量x(t)与矢量x0之差的模满足：0)(xx t成立。则称当 0tt 时x0是x=x(t)的极限。且记为：0)(lim0 xxttt对给定的o；i1，i2，i3坐标系x=x(t)可表示为：332211)()()()(iiixtxtxtxt（2.4-1）显然当x=x(t)在t0的极限存在。则：0011223301 102 203 3lim()lim()()()tttttx tx tx txxxxiiiiii这等价于：000101202303lim();lim();lim()tttt
11、ttx txx txx tx因此有如下结论：因此有如下结论：0303202101)(lim0 xiiixxxxttt（2.4-2）这一结论推广到多个参数矢量函数中可表述为：若矢量),(1nttx在o；i1，i2，i3坐标中的表示：3132121111),(),(),(),(iiinnnnttxttxttxttx的坐标 112131(,),(,),(,)nnnx ttx ttx tt当 0010,nntttt时的极限存在，且极限值为 030201,xxx，则当 0010,nntttt时),(1ntt x的极限存在。且 的极限为：),(1ntt x03032021011),(lim00 xiiix
12、xxxttntttt（2.4-3）矢量函数的极限运算法则：矢量函数的极限运算法则：000000000000lim()()lim()lim()lim()()lim()lim()lim()()lim()lim()lim()()lim()lim()ttttttttttttttttttttttttf ttf ttttttttttttttxxxyxyxyxyxyxy（证明略）（2.4-4）矢量函数x=x(t)的连续性：参数t变化时 x=x(t)方向变化的连续性和 x=x(t)大小变化的连续性确定矢量函数x=x(t)的连续性。矢量 x=x(t)在t0点的左极限（t从t0的左面趋于t0）和右极限（t从t0的
13、右面趋于t0）分别为：00(),()x tx t矢量 x(t)的左、右极限满足：)()()()(0000txtxtxtx（2.4-5）则称x(t)在t0点的矢量方向变化是连续的。当x(t)在参数的某一区间内的取值每一点都满足（2.4-5）式时，则称 x(t)在参数的取值区间内的矢量方向变化是连续的。矢量 x(t)的左、右极限满足：)()(00txtx（2.4-6）则称x(t)在t0点的矢量大小变化是连续的。当x(t)在参数的某一区间内的取值每一点都满足（2.4-5）式时，则称 x(t)在参数的取值区间内的矢量大小变化是连续的。矢量 x(t)的左、右极限满足：)()(00txtx（2.4-7）则
14、称x(t)在t0点的矢量变化是连续的。当x(t)在参数的某一区间内的取值每一点都满足（2.4-5）式时，则称 x(t)在参数的取值区间内的矢量变化是连续的。例14：已知矢量函数：1 12()sincos;0tttt xii2 1212sinos;02()cossin;2tctttttt iixii3 1212sincos;02()2cos2sin;2ttttttt iixii试分析矢量函数的连续性；并画出矢量的矢端曲线。解：1-11x 1i 1i 2x 2(a)1-1-11i 2x 2x 1i 1(b)图215x 2-2-21-1-11i 2x 1i 11(c)1在 0,区间内：1212()(
15、)()(sincos)(sincos)1tttttttxxxiiii对0 t 的任意取值都有：12()()sincos()tttttxxiix因此矢量函数x(t)是连续的矢量函数。矢端曲线如图215（a）所示。2在 0,/2区间内：1212()()()(sincos)(sincos)1tttttttxxxiiii在/2,区间内：1212()()()(sincos)(sincos)1tttttttxxxiiii显然在0,区间内矢量函数的大小变化是连续的；在0,/2 区间和在/2,区间矢量函数的方向变化是连续的。但在 t=/2时矢量函数x(t)的方向变化不连续。因为 t=/2时：01220121(
16、)sincos22()cossin22ttttxiiixiii（2.4-5）式无法满足。因此矢量函数在区间 0,内除t=/2 点不连续，其它各点处均连续。矢端曲线如图215（b）所示。3在0,/2区间：在/2,区间：1212()()()(2cossin)(2cossin)2tttttttxxxiiii1212()()()(sincos)(sincos)1tttttttxxxiiii显然在 0,/2区间内矢量函数是连续函数；在/2,区间矢量函数是连续函数。但在 t=/2时矢量函数x(t)的大小和方向变化不连续。因为 t=/2时：1)(2cos2sin)(02210tttxiiix2)(22sin
17、22cos2)(02210tttxiiix（2.4-5）式和（2.4-6）式均无法满足。因此x(t)在t=/2点不连续。矢端曲线如图215（c）所示。矢量函数的连续性对矢量的分析具有重要意义。当矢量函数在参数的变化区间内是连续函数时，矢量分析将可以通过连续实函数的分析加以描述和确定。在后文的分析中如无特别声明，文中所给的矢量函数都是连续的矢量函数。且对连续的矢量函数不在明确参数变化的区间。设连续矢量函数x=x(t)的起点为o点。定义x=x(t)在t点的矢量增量为：)()()(ttttxxx（2.4-8）并定义极限：00()()()limlimtttttttt xxx（2.4-9）为连续矢量函数
18、 x=x(t)在t点的导数。记为 tdd x或)(tx将（2.4-9）在o；i1，i2，i3坐标系中表示。则：iiiiiiiitiiiittddtxttxttxttxttxtddtixiiiiiixx)()()(lim)()(lim)(00ox 3x 1x 2x(t+t)x(t)i 2i 1i 3图216由实变函数分析可知，123()()()x tx tx t、123()()()x tx tx t、连续，则必存在。因此只要 x(t)是连续的矢量函数，则 x(t)的导数必存在。对给定的标准正交坐标系o；i1，i2，i3，x(t)的导数由（2.4-10）完全确定。对给定的矢量函数 x(t)。在o；
19、i1，i2，i3坐标系中x(t)对应一条矢端曲线。)()()(ttttxxx为矢端曲线上x(t)、x(t+t)两矢量对应终点所确定的矢量。当 0t时，tx是x(t)矢量终点处与矢端曲线相切的矢量（如图216所)(tx示）。这表明x(t)的导数表示矢端曲线上 x(t)对应点处沿该点切线方向的矢量。在几何上 )(tx称为切矢量。矢量函数的微分定义：矢量函数的微分定义：tdttd)()(xx（2.4-11）由定义可以看出x(t)的微分是 x(t)的导数与参数t微分的数量乘积。因此 x(t)的导数实质上是一种特定的极限运算。对任意给定的()()()f tttxy、按（2.4-4）可确定导数运算法则（导
20、数运算公式导数运算公式）：2 3 4 5 6 7 1()co)()()()(ttttyxyx)()(tktkxx()()()()()()f ttf ttf ttxxx)()()()()()(ttttttyxyxyx)()()()()()(ttttttyxyxyx()()ddfftdf dt xx；（c为常矢量）（k为实常数）（2.4-12）（2.4-12）式可由极限运算法则直接证明。下面给出最后二式的证明。证：6 ()()()()()()()()()()()()tttttttttttttttttt xyxyxyxyxyxy 000000()()()()()()lim()()()()()()li
21、mlim()()()()lim()limlim()()()(tttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt xyxyxyxyyxxyyyxxxyxyx)()t y7 00()limlim()ttff ttft xxxf(t)是 t 的连续函数 )()(tfttff当 0t时，0f。极限：00000()()lim()(lim)(lim)(lim)(lim)tttftfffdfdf tftftftdfdt xxxx证毕。多参数矢量函数x(t1,tn)的偏导数、微分：对参数ti(i=1,n)当其它参数固定不变时，在区间bitiai(i=1,n),x是ti的连续函数。
22、则称x(t1,tn)是ti的连续函数。如果 x(t1,tn)是t1,tn的连续函数。则称 x(t1,tn)是连续矢量函数。将（2.4-9）推广到多参数矢量函数（连续矢量函数）极限：11110(,)(,)lim;(1,)iiiiinntitttt ttttintt xxx（2.4-13）;(1,)iintx称为矢量函数x(t1,tn)关于参数ti的偏导数。iinntdttdttdtdxxxx11（2.4-14）称为矢量函数 x(t1,tn)的微分。例15：证明矢量函数x(t)的模保持不变的充要条件是：0 xx证：2xxxxxxxxxxx 2)(如果 x=常数，则：2()0;20 xx x 0 x
23、x如果 0 xx，则：0 xx x=常数例16：设 21sincos)(iixrrr、。试确定x关于r、的偏导数 r x、的矢量积。x解：21sincosiixrr12sincosrr xii12123(cossin)(sincos)rrrrr xxiiiii矢量函数的不定积分定义：若矢量函数)()(ttXx则称矢量函数()tX是 x(t)的一个原函数。原函数的全体称为x(t)的不定积分。记为：CXx)()(tdtt；（C为常矢量）（2.4-15）对o；i1，i2，i3坐标系，x(t)=xi(t)ii。因此（2.4-15）式又可写为：()()iiiiix tdtX tCii（2.4-16）其中
24、 Xi(t)是xi(t)的一个原函数。Ci是常实数。矢量函数的不定积分有如下基本性质：；2 1 3 4 ；dttkdttk)()(xx()()()t dtktdtt dta xxaax()()()t dttdtt dt axxaax()()()()tt dtt dtt dtxyxyk为常数 a为常矢量 a为常矢量（2.4-17）当 X(t)是x(t)在t的取值区间 a,b 的连续原函数时。则：矢量函数的不定积分定义：)()()(abdttbaXXx（2.4-18）x(t)的定积分定义为：在o；i1，i2，i3坐标系中，（2.4-18）可表示为：()()bbiiaat dtx t dtxi（2.
25、4-19）由（2.4-16）和（2.4-19）式可以看出，在o；i1，i2，i3坐标系中，矢量函数的定积分和不定积归结为三个实函数 x1(t),x2(t),x3(t)的定积分和不定积分。例17：已知：21232123()(1),()(1)(1)ttttttttxiiiyiii试求：dttt)()(10yx解：222222323121()()(1)(1)(1)(1)(1)ttttttttttttxyiiiiii33223142)1()2(iiittttttt dttttdttdttttdttt3321023101421010)1()2()()(iiiyx32112541301iii场是一个物理概
26、念。在物理学中，场刻画了物理量在空间的分布和变化规律。所谓场是指全部空间或部分空间的每一点都对应着具有某种性质物理量（如温度、电位等）的空间。如果对应的物理量是数量，则称为数量场；如果对应的物理量是矢量，则称为矢量场。一、数量场、梯度一、数量场、梯度 oi 1i 2i 3Ax图217对给定坐标系o；i1，i2，i3的三维空间。若空间或部分空间中的点用位置矢量 x=xi ii 标定。则 x 点所具有的数量物理量（用数量描述的某种物理量性质）表示为 f(x)。如图217所示，在空间占有一定大小和形状的物体。位置矢量 x 标注了物体内的点A（x被限制为物体在空间所占区域每点所对应的位置矢量。记为 x
27、）。体中A点所带有的数量物理量（温度、密度等）被表示为 f(x)。且称 f(x)为数量场。当x=x1i1+x2i2+x3i3时，f(x)与 f=f(x1,x2,x3)描述的是数量场中同一点的数量物理量。或者说 f(x)和 f=f(x1,x2,x3)是数量场中同一点的数量物理量的两种等价的描述。在数量场的分析中 f(x)和 f=f(x1,x2,x3)是同一数量场的两种不同写法。后文中根据需要可采用两种写法中的任意一种。o x 1 x 2 x A x BT(x A)T(x B)AB图2-18对给定的数量场 f(x)。每一个为 x都确定一个数量值 f(x)。也就是说 f(x)给出了在空间区域内的数量
28、场的分布。但 f(x)并没有直接给出域内不同点的数量场的变化情况。作为一个例子，考虑一薄板的温度分布。如图 2-18所示薄板（设温度沿板厚度方向不变化）。其温度可由数量场 T(x)描述。T(x)作为在上的温度分布，对A、B 两点确定其温度为 T(xA)、T(xB)。问xA)-T(xB)不能完全刻画这样的变化，但比值 题是沿AB连线上各点的温度是怎样由T(xA)变化到T(xB)。显然A、B两点的温度差T(ABABTTxxxx)()(刻画了A、B两点连线上各点的温度平均变化。当 B点沿 A、B连线方向靠近A点时，平均变化将更接近真实变化。而ABxx，比值的极限：ABABxxTTABxxxx)()(
29、lim（a）完全刻画了 xA点的温度沿A、B连线方向的变化。必须指出这一极限仅仅是刻画了点 xA沿A、B连线方面的变化。或者说对同一点 xA不同方向上的温度变化一般是不相同的。就如同人站在山坡上某确定点向不同方向看时，山的陡峭（每单位长度的高度变化）程度是不同的。(a)式也称为薄板中A点沿A、B两点连线方向的温度场变化率。或温度场T(x)在 xA点沿A、B连线方向上的方向导数。将T(x)推广到一般情况的数量场。定义 x 点沿给定单位矢量：332211iiillll则 f (x)在给定单位矢量 l 方向的方向导数方向导数为：0()()()limxfffl xxxxx（2.4-20）其中x 是 x
30、 点沿 l 方向矢量 x 的增量。在o；i1，i2，i3坐标系中x=x1 i1+x2 i2+x3 i3。在（2.4-20）式中x 是 x 点沿 l 方向上的矢量增量。若令：x x则：1 12 23 3()()()xx lx lx l xliii显然：112233();();()xx lxx lxx l 而比值：112233123112233123(,)(,)()()(,)(,)f xxxxxxf x x xffxf xxlxxlxxlf x x xxxxxx 2222222222221(,)(,)()()()2()()()()()()ffffff xx yy zzf x y zxyzxxyxy
31、zxx yffffyxzyzzoxyzyx zy zz （、）332211)()(lxflxflxfffxxxx222222222211 221 322112213222222 33223312fffflxl lxlxl lxxx xxx xffl lxlxoxyzx xx （）（）（）（）（）（）（、）当)0(0 xx时得：1230123()()()limixiffffffflllllxxxx xxxxx该式是标准正交坐标系o；i1，i2，i3中数量场 f (x)在x点沿单位矢量l=li ii方向上的方向导数计算公式。若引进算符 （Hamilton算子）：（2.4-20a）123123iix
32、xxxiiii（2.4-21）且：123123iifffffxxxxiiii（2.4-21a）则（2.4-20）式又可表示为：()()fflxl（2.4-20a）式中 f 称数量场f (x)的梯度。对任意给定点 x0，0()f x 是 x0点的矢量。若记 0()f x 的模为 0()f x 则：000()()cos(),)fff xlxlxl 显然当l与 0()f x 方向一致时，f (x0)的方向导数绝对值取最大值。且数值为 0()f x。这表明f (x0)在 x0点梯度的模是f (x0)在 x0点所有方向变化率中最大变化率的数值。例18：2123123()2;223fx xxxliii。试
33、求)(xf在 32122iiixA的方向导数。点沿l方向解：2 11 23 3()()222iiffxxxxxxiiii 123()442Afxiii 0123(223)17llliiil02131()(446)17ffxxxll()122(4 24 26 1)1717Afl x例19：若记 2()()ffxx 。试证明：22)1()(nnrnnr其中 332112iiixxxr。（2 称为Laplacian算子。）证：22222222123222123122222123()(2);1,2,32ijijijijiinnnniiiiffffffxxxxxxxxxxxxrnxxxxnrxixxii
34、i i 222123123()()();nnnnnnrrrnrxnrxnrxxxx22422411121()1(2)(2)(2)2nnnnnrnrn nx rxnrn nx rx4222222)2()(nnnrxnnnrxr4232232)2()(nnnrxnnnrxr最后得：2222242221232221232223(2)()3(2)(1)nnnnnffffnrn nrxxxxxxnrn nrn nr数量场的梯度按（2.4-21a）定义，是由数量场三个实函数偏微分确定。关于梯度运算的规则也就可由实函数的相应运算规则确定。以下给出梯度运算的一些基本公式。（其可由相应的实函数偏微分法则得到。这
35、里略去证明。）1 2 3 4 5 6 0c ()()cfc fxx ()()()()fgfgxxxx ()()()()()()fgfgfgxxxxxx 2()1()()()()()()ffgfgggxxxxxxx()()()f gfggxx 二、矢量场、散度和旋度二、矢量场、散度和旋度给定坐标系o；i1，i2，i3的三维空间。若空间或部分空 中点 x具有确定大小和方向的物理量（用矢量描述的某种物理性质）f(x)=f(x1,x2,x3)。则 f(x)称为 域内的矢量场。对矢量场 f(x)由Hamilton算子定义矢量场的矢量场的散度散度和矢量场的旋度矢量场的旋度分别为：312123()()()(
36、)()()iijjiifffffxxxxxxxxxf xix i（2.4-22）332121123233112()()()iijjijkkiiffxexxffffffxxxxxxxf xiiiiii（2.4-23）例20：对常数a,b；数量场f(x);u(x),v(x)。证明散度运算满足：1()()()()ababu xv xu xv x 2()()()()()()fffx u xxu xu xx 证：1 2()()()()()()()()iiiiiiiaubvabxuvababxxxxu xv xxxu xv x()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()
37、()()()()iiiiiiiiiifuuffufxxxffffxxffffxxxxx u xxxxxi u xxu xiu xxu xxu xxu xxu xu xx 例21：对常数a,b；数量场f(x);u(x),v(x)。证明旋度运算满足：1 2()()()()ababu xv xu xv x ()()()()()()fffx u xxu xxu x 证：1()()jjjjijkkijkkijkkiiiaubvuvabeaebeabxxxuviiiuv2()()jji jkkijkj kijkkiiif uuffeeuf exxxuiii 由（2.1-12）式：jikijkeiii得：(
38、)()ijkj kijjijjiiifffeuuufxxxiiiiiu ()()()fffuuu 例22：323222121)(iiixuxxx。试求矢量场在 321032iiix点的散度和旋度。解：3121231232()iiuxuuuxxxxxxu 0321312123321213132()2(123)12jijkkiuexuuuxxxuuuxxxu xuiiiiiiio 0()u xo 例23：设 i ixxx ix、。求使：()0fxx 的f(x)。解：()()()()()3()iiiiiiiifx xxxfxfxfxxf xxf xxxxxxx 222123222123212iiii
39、xxxxxxxxxxxx()()3()()3()iix xfxfxf xxfxf xxx 当 0)(3)(xfxf x时：33()()3();3()ln()3(ln);ln()3ln 0ln()lnln;()df xdf xdxxf xdxf xxdf xdxdf xxcf xxcf xx ()0fxx 例24：证明对矢量函数 u=u(x)有：()()uuu 证：()jjijijk kiijjijkrkijkrks sririuuexxuuee exxxxuiiiiii 由e 恒等式：（见本章例6）()()()ijkrkskijkrsirjsisjre eee 22222()()()jjjis
40、jrirjssisjr sirjs sriririjjjjijijjiiiijiiuuuxxx xx xuuuux xx xxxx x uiiiiiiiuu 三、积分定理的梯度、散度、旋度表示三、积分定理的梯度、散度、旋度表示在实函数分析中给出了体积分、面积分、线积分之间的关系：斯托克斯（斯托克斯（Stokes）公式）公式：(,)(,)(,)CSP x y z dxQ x y z dyR x y z dzRQPRQPdydzdzdxdxdyyzzxxy（a）高斯（高斯（gauss）公式：公式：(,)cos(,)cos(,)cosSVP x y zQ x y zR x y zdSPQRdxdyd
41、xyx（b）利用以上两个公式可以建立矢量梯度、矢量散度和矢量旋度的相关表达式。曲线和曲面的相关量的矢量相关规定：1三维空间的标准正交基底为o；i1，i2，i3。空间点的坐标为（x1，x2，x3）。矢量函数u(x)表示为：123(,)()iiiiu x x xuuix i（c）2对空间曲线C规定：对给定点（初始点）沿曲线弧长增加方向为正方向。C曲线x位置矢量确定的点处，其沿曲线正方向的单位切矢量记为：123112233coscoscoscos(,)cos(,)cos(,)i inniiiin i in iin ii（d）且记：ddssn（e）3对空间曲面S，其在位置矢量x处的单位法线为：1231
42、12233coscoscoscos(,)cos(,)cos(,)i inniiiin i in iin ii（f）且记：SddnS（g）按（c）、（d）式规定，（a）、（b）两式可写为：112233332121123233112()()()()()()()()()()()CCSSununun dsxdsuuuuuunnndSxxxxxxdSxxxunxxxxxxu xn 或()CSddusuS（2.4-24）112233312123()()()()()()()SSVVununun dSxdSuuudVdVxxxxxxunxxxu 或SVddVuSu（2.4-25）当 n=i;P,Q,R=f(x
43、)时，（b）式两边同乘得：dVxfdSnfVS1111)(iix(i)同理：2222()Svffn dSdVxxii3333()Svffn dSdVxxii（i+ii+iii得）1 12 23 3123123()()SVffffnnndSdVxxxxiiiiii(ii)(iii)或 ()SVdfdVuSx（2.4-26）类似的由（b）式还可得出（证明略）：()()SVddVu xSu x（2.4-27）式（2.4-25），（2.4-26），（2.4-27）式分别称为散度定理散度定理、梯度定理梯度定理和旋度定理旋度定理。例25：试证明：dSnffdVSV2（n为dS法线单位矢量）。证：2()ff 2()VVfdVf dV 将 f 视为)(xu。由（2.4-25）式得：2()()VSSfdVfdfdSSn 由（2.4-20a）式得：dSnffdVSV2例26：证明（Green定理定理）2()()()SVgfdSfgfgdVn 证：()gffgnn 2()()()()()()()()()()()SSViViiiViiVVgfdSfgdnfgdVfgdVxfggfdVxxfgfgdVfgfgdVSiii
