1、绝对值三角不等式绝对值三角不等式OA|axa0 0关于绝对值还有什么性质呢关于绝对值还有什么性质呢?表示数轴上坐标为表示数轴上坐标为a的点的点A A到原点到原点O O的距离的距离.证明证明:1:10.0.当当ab0 0时时,|,|()|(|)|22222222 ababababaabbaa bbabab2 20 0.当当ab0 0 0,|x x-a a|,|y y-b b|,求求|2 2x x+3 3y y-2 2a a-3 3b b|5 5证证:证明：|2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)|=|2(x-a)+3(y-b)|2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+
2、3|y-b|2+3=5.所以所以|2x+3y-2a-3b|5|2x+3y-2a-3b|5.三角不等式应用三角不等式应用例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？分析：分析：假设生活区建在公路路碑的第假设生活区建在公路路碑的第xkm处，两处，两个施工队每天往返的路程之和为个施工队每天往返的路程之和为S(x)km，则有，则有 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)，要求问题化归为求该函
3、数，要求问题化归为求该函数的最小值，可用绝对值三角不等式求解。的最小值，可用绝对值三角不等式求解。1010 x x2020 已知二次函数已知二次函数f f(x x)=)=x x2 2+axax+b b(a a，b bR R）的）的 定义域为定义域为-1-1，1 1，且，且|f f(x x)|)|的最大值为的最大值为M M.(1)(1)证明证明：|1+|1+b b|M M;(2)(2)当当 时，试求出时，试求出f f（x x）的解析式）的解析式.由由|f f(x x)|)|在在-1-1，1 1上的最大值为上的最大值为M M 建立不等式建立不等式M M|f f（1 1）|，M M|f f（0 0）
4、|，M M|f f（-1-1）|是解决问题的关键是解决问题的关键.;21:)2(M证明21M（1 1）证明证明 M M|f f（-1-1）|=|1-|=|1-a a+b b|，M M|f f（1 1）|=|1+|=|1+a a+b b|，2 2M M|1-|1-a a+b b|+|1+|+|1+a a+b b|（1-1-a a+b b）+（1+1+a a+b b）|=2|1+|=2|1+b b|，M M|1+|1+b b|.|.（2 2）证明证明 依题意，依题意，M M|f f（-1-1）|，M M|f f（0 0）|，M M|f f（1 1）|，又又f f（-1-1）=|1-=|1-a a+
5、b b|，|f f（1 1）|=|1+|=|1+a a+b b|，|f f（0 0）|=|=|b b|，4 4M M|f f（-1-1）|+2|+2|f f（0 0）|+|+|f f（1 1）|=|1-=|1-a a+b b|+2|+2|b b|+|1+|+|1+a a+b b|（1-1-a a+b b）-2-2b b+（1+1+a a+b b）|=2|=2，.21M（3 3）解解,21|)0(|,21bfM时当.21)(,01001,21,212123211212112121212xxfaaabbbbabab因此得分别代入时当得由得同理 证明含有绝对值的不等式，其思路有证明含有绝对值的不等式
6、，其思路有两种：（两种：（1 1）恰当运用）恰当运用|a a|-|-|b b|a ab b|a a|+|+|b b|进行放缩，并注意不等号的传递性及等号成立的条进行放缩，并注意不等号的传递性及等号成立的条件；（件；（2 2）把含有绝对值的不等式等价转化为不含）把含有绝对值的不等式等价转化为不含绝对值的不等式，再利用比较法、综合法及分析法绝对值的不等式，再利用比较法、综合法及分析法进行证明进行证明.例例4 4 设设f f(x x)=)=axax2 2+bxbx+c c，当，当|x x|1|1时，总有时，总有|f f(x x)|1,)|1,求证：求证：|f f（2 2）|8.|8.证明证明 方法一
7、方法一 当当|x x|1|1时时,|,|f f（x x）|1|1，|f f（0 0）|1|1，即，即|c c|1.|1.又又|f f（1 1）|1|1，|f f（-1-1）|1|1，|a a+b b+c c|1|1，|a a-b b+c c|1.|1.又又|a a+b b+c c|+|+|a a-b b+c c|+2|+2|c c|a a+b b+c c+a a-b b+c c-2-2c c|=|2|=|2a a|，且且|a a+b b+c c|+|+|a a-b b+c c|+2|+2|c c|4|4，|a a|2.|2.|2|2b b|=|=|a a+b b+c c-（a a-b b+c
8、c）|a a+b b+c c|+|+|a a-b b+c c|2|2，|b b|1|1，|f f（2 2）|=|4|=|4a a+2+2b b+c c|=|=|f f（1 1）+3+3a a+b b|f f（1 1）|+3|+3|a a|+|+|b b|1+6+1=8|1+6+1=8，即即|f f（2 2）|8.|8.方法二方法二 当当|x x|1|1时，时，|f f（x x）|1|1，|f f（0 0）|1|1，|f f（1 1）|11，|f f（-1-1）|1.|1.由由f f（1 1）=a a+b b+c c，f f（-1-1）=a a-b b+c c，f f（0 0）=c c知知f f（2 2）=|4=|4a a+2+2b b+c c|=|2=|2f f(1)+2(1)+2f f(-1)-4(-1)-4f f(0)+(0)+f f(1)-(1)-f f(-1)+(-1)+f f(0)|(0)|=|3=|3f f(1)+(1)+f f(-1)-3(-1)-3f f(0)|(0)|3|3|f f(1)|+|(1)|+|f f(-1)|+3|(-1)|+3|f f(0)|(0)|331+11+11+31+31=78.1=78.,2)0(2)1()1(fffa).0(,2)1()1(fcffb
