1、两自由度系统的运动微分方程两自由度系统的运动微分方程 两自由度系统的模态两自由度系统的模态 两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动 多自由度系统的运动微分方程、模态、强迫振动多自由度系统的运动微分方程、模态、强迫振动第五章第五章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动5.1 两自由度系统的运动微分方程两自由度系统的运动微分方程1 1、单自由度系统、单自由度系统v描述系统运动状态只需一个广义坐标；描述系统运动状态只需一个广义坐标；v系统振动微分方程为一个二阶常微分方程；系统振动微分方程为一个二阶常微分方程；v数学求解一个二阶常微分方程。数学求解一个二阶常微分方程。v系统有一个固有频率；系统自
2、由振动的频率为固有频率。系统有一个固有频率；系统自由振动的频率为固有频率。2 2、多自由度系统、多自由度系统v描述系统运动状态需多个广义坐标；描述系统运动状态需多个广义坐标；v系统振动微分方程一般为多个相互耦合的二阶常微分方程组，即方程系统振动微分方程一般为多个相互耦合的二阶常微分方程组，即方程组各方程之间在变量上存在耦合（一个微分方程中包含多个变量和导数）组各方程之间在变量上存在耦合（一个微分方程中包含多个变量和导数）v数学求解需联立多个方程组，借助线性变换方法消除变量耦合（解数学求解需联立多个方程组，借助线性变换方法消除变量耦合（解耦），然后按单自由度系统的分析方法进行求解，再叠加，即模态
3、分析。耦），然后按单自由度系统的分析方法进行求解，再叠加，即模态分析。v系统具有多个不同数值的固有频率（特殊情况下数值可能相等或有一系统具有多个不同数值的固有频率（特殊情况下数值可能相等或有一个等于零）。当系统按其中任一固有频率作自由振动时，称为主振动。个等于零）。当系统按其中任一固有频率作自由振动时，称为主振动。主振动是一种简谐振动。主振动是一种简谐振动。v系统作主振动时，任何瞬时各点位移之间具有一定的相对比值，即整系统作主振动时，任何瞬时各点位移之间具有一定的相对比值，即整个系统具有确定的振动形态，称为主振型。个系统具有确定的振动形态，称为主振型。返回首页两自由度系统的振动两自由度系统的振
4、动多自由度系统的特点：多自由度系统的特点：两自由度系统的振动两自由度系统的振动多自由度系统是指具有两个以上自由度以上的动力学系多自由度系统是指具有两个以上自由度以上的动力学系统，二自由度系统是最简单的多自由度系统。统，二自由度系统是最简单的多自由度系统。汽车左右对称，化为平面系统汽车左右对称，化为平面系统两个自由度的振动系统两个自由度的振动系统工程实际中大量的问题不能简化为单自由度系统，工程实际中大量的问题不能简化为单自由度系统，往往需要简化成多自由度系统；往往需要简化成多自由度系统；两自由度系统是最简单的多自由度系统，无论是两自由度系统是最简单的多自由度系统，无论是模型的简化、振动微分方程式
5、的建立和求解的一模型的简化、振动微分方程式的建立和求解的一般方法、以及系统响应表现出来的振动特性等等，般方法、以及系统响应表现出来的振动特性等等，两自由度系统的多自由度系统没有什么本质上区两自由度系统的多自由度系统没有什么本质上区别，却有数学上求解比较简便的好处。别，却有数学上求解比较简便的好处。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。动特性的基础。5.1 两自由度系统的运动微分方程两自由度系统的运动微分方程例例 4.1 图图a)是一个典型的二自由度弹簧阻尼器质量系是一个典型的二自由度弹簧阻尼器质量系统，分别在统，分别在m1，m2建立坐
6、标系建立坐标系O1x1，O2x2以描述以描述m1，m2的振动。坐标原点的振动。坐标原点O1，O2分别取分别取 m1，m2的静平衡的静平衡位置。两个坐标系的正向均向右。位置。两个坐标系的正向均向右。5.1 两自由度系统的运动微分方程两自由度系统的运动微分方程设设 m1，m2沿各自的坐标正向分别移动了沿各自的坐标正向分别移动了x1，x2 画出隔离体如图画出隔离体如图(b)所示。所示。f1(t)f2(t)5.1 两自由度系统的运动微分方程两自由度系统的运动微分方程根据牛顿第二定律可以得到根据牛顿第二定律可以得到1 111 11 12122122223232221221()()()()()()m xF
7、 tk xc xkxxc xxm xF tk xc xkxxc xx1 112122121221222 12322 12322()()()()()()m xcc xc xkkxk xF tm xc xcc xk xkk xF t5.1 两自由度系统的运动微分方程两自由度系统的运动微分方程1 112122121221222 12322 12322()()()()()()m xcc xc xkkxk xF tm xc xcc xk xkk xF t写成矩阵形式写成矩阵形式12212211111223223222220()0()ccckkkmxxxF tccckkkmxxxF t 5.1 两自由度系
8、统的运动微分方程两自由度系统的运动微分方程12212211111223223222220()0()ccckkkmxxxF tccckkkmxxxF t 均是对称矩阵均是对称矩阵 1002mmM122223ccccccC122223kkkkkkK 定义：系统的质量矩阵定义：系统的质量矩阵刚度矩阵刚度矩阵 阻尼矩阵阻尼矩阵质量影响系数质量影响系数阻尼影响系数阻尼影响系数刚度影响系数刚度影响系数5.1 两自由度系统的运动微分方程两自由度系统的运动微分方程12212211111223223222220()0()ccckkkmxxxF tccckkkmxxxF t MxCxKxF设位移向量设位移向量 x
9、=x1，x2T速度向量速度向量激励向量激励向量 F(t)=F1(t)，F2(t)T加速度向量加速度向量T12,x x xT12,x xx两自由度系统的运动微分方程：两自由度系统的运动微分方程：5.1 两自由度系统的运动微分方程两自由度系统的运动微分方程双质量弹簧系统的自由振动双质量弹簧系统的自由振动略去激励力及其它阻尼。略去激励力及其它阻尼。两自由度的弹簧质量系统，两自由度的弹簧质量系统，两物体均作直线平移，两物体均作直线平移，0MxKx0000213222212121xxkkkkkkxxmm 2100mmM322221kkkkkkK质量矩阵质量矩阵刚度矩阵刚度矩阵5.1 两自由度系统的模态两
10、自由度系统的模态13 假设系统的运动为假设系统的运动为12()()uf tf tuxu代入运动方程，两边左乘代入运动方程，两边左乘uT()()0TTf tf tu Muu Ku()()TTf tf t u Kuu Mu 即：即：2()()0f t+f t=()cos()f tat()cos()x tatu对于正定系统，只能出现如上式对于正定系统，只能出现如上式x(t)的同步运动，称为的同步运动，称为主振动主振动。5.1 两自由度系统的模态两自由度系统的模态21121222223200uk+km-ku-kk+km 2()KM u0()cos()x ttu代入运动代入运动微分方程微分方程上式存在非
11、零解的充要条件：系数行列式为零，即：上式存在非零解的充要条件：系数行列式为零，即：2 KM05.1 两自由度系统的模态两自由度系统的模态0MxKx化简可得代数齐次方程组化简可得代数齐次方程组 21212222320k+km-k-kk+km 这就是两自由度系统的频率方程，也称这就是两自由度系统的频率方程，也称特征方程特征方程 主振动主振动5.1 两自由度系统的模态两自由度系统的模态2 KM0特征方程特征方程 2()KM u0特征值特征值 2特征向量特征向量 u2i 5.1 两自由度系统的模态两自由度系统的模态2i 5.1 两自由度系统的模态两自由度系统的模态5.2.3 5.2.3 系统的通解系统
12、的通解 为了书写简便，引入符号：为了书写简便，引入符号：121mKKa12mKb 22mKc 232KKdm 2 KM021212222320k+km-k-kk+km 220abcd 42()()0adadbc5.1 两自由度系统的模态两自由度系统的模态5.2.3 5.2.3 系统的通解系统的通解 频率方程是频率方程是2 2的二次代数方程，它的两个特征根为的二次代数方程，它的两个特征根为 42()()0adadbc)(22222,1bcaddadabcdada222121mKKa12mKb 22mKc 221mKKd弹簧刚度和质量恒为正数，弹簧刚度和质量恒为正数，a a，b b，c c，d d
13、的值都是正数的值都是正数 2122和和都是实根都是实根 之间有两个确定的比值之间有两个确定的比值。19固有振型固有振型将特征值将特征值 2122和和分别代回方程组分别代回方程组 212212()0()0aubucudu 任一式任一式(1)2211(1)211(2)2222(2)212uacvubduacvubd 对应于对应于2122和和，振幅振幅A A1 1和和A A2 2这个比值称为振幅比这个比值称为振幅比 虽然振幅大小与初始条件有关，但当系统按任一固有频率振动虽然振幅大小与初始条件有关，但当系统按任一固有频率振动时，振幅比却和固有频率一样只决定于系统本身的物理性质。时，振幅比却和固有频率一
14、样只决定于系统本身的物理性质。5.1 两自由度系统的模态两自由度系统的模态固有振型（主振型）固有振型（主振型）对应于对应于2122和和振幅振幅A A1 1和和A A2 2，之间有两个确定的比值之间有两个确定的比值。1122sinsinxutxut 5.1 两自由度系统的模态两自由度系统的模态固有振型（主振型）固有振型（主振型）bcdada222,1222222)2(1)2(222121)1(1)1(21dcbaAAvdcbaAAv022102212221bcdadabvbcdadabvo说明系统以频率说明系统以频率1 1振动时，质量与总是按同一个方向运动，振动时，质量与总是按同一个方向运动，而
15、以频率而以频率2 2振动时，则按相反方向运动。振动时，则按相反方向运动。5.1 两自由度系统的模态两自由度系统的模态主振动主振动l系统以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动，称系统以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动，称为系统的为系统的主振动主振动 第一阶主振动为第一阶主振动为 (1)(1)1111(1)(1)(1)22111 111cos()cos()cosxutxutvut 第二阶主振动为第二阶主振动为 (2)(2)1122(2)(2)(2)22222122cos()cos()cosxAtxAtv At l系统作主振动时，各点同时经过静平衡位置和到达最大偏离位系统作主振动时，各点同时经过
16、静平衡位置和到达最大偏离位置，以确定的频率和振型作简谐振动。置，以确定的频率和振型作简谐振动。5.1 两自由度系统的模态两自由度系统的模态例1 试求图示两个自由度系统振动的固有频率和主振型。已知各弹簧的弹簧常量k1k2k3k，物体的质量m1m，m22m。分别以两物体的平衡位置为坐标原点，取两物体离开其平衡位置的距离x1、x2为广义坐标，两物体沿x方向的受力如图示，它们的运动微分方程分别为022022122111kxkxxmkxkxxm 解：（1）建立运动微分方程式5.1 两自由度系统的模态两自由度系统的模态00222002121xxkkkkxxmm mm200M质量矩阵刚度矩阵0)22)(2(
17、022222222kmkmkmkkkmk将M和K代入频率方程，得mk634.021mkmk796.0634.01系统的第一阶和第二阶固有频率为mkmk538.1.366.22mk366.222kkkk22K（2）解频率方程，求i5.1 两自由度系统的模态两自由度系统的模态将 、分别代入，得2122732.0122112112111)1(1)1(21kmkkmkAA732.2122212112211)2(1)2(22kmkkmkAA(1)(1)2(1)110.732uuu（3）求主振型主振型为(2)(2)2(2)112.732uuu 节点5.1 两自由度系统的模态两自由度系统的模态例2 在上题所
18、示系统中，已知m1=m2=m,k1=k3=k,k2=4k，求该系统对以下两组初始条件的响应：（1）t0，x101cm，;（2）t0，x101cm，。0201020 xxx0,cm1201020 xxxkkkkkkkkkkmm5445,00322221KM将M、K代入频率方程，得mkmk3,21对应的两个主振型和振幅比为(1)(2)22(1)(2)1111,11uuuu (1)(2)2212(1)(2)111,1uuuu 解：系统的质量矩阵和刚度矩阵为5.1 两自由度系统的模态两自由度系统的模态(1)(2)101112(1)(2)201 11212(1)(2)10111122(1)(2)2011
19、111222cos()cos()1cos()cos()0sin()sin()0sin()sin()0 xututxututxututxutut (1)(2)111211,0,022uu 将初始条件（1）代入式，解得这表明，其响应为频率1、2的两种主振动的线性组合。1122121111()coscoscoscos3(22221111()coscoscoscos3(2222kkx tttttcm)mmkkx tttttcm)mm5.1 两自由度系统的模态两自由度系统的模态这表明，由于初始位移之比等于该系统的第二振幅比，因此，系统按第二主振型以频率2作谐振动。(1)(2)11120,0,1,0AA
20、1222()coscos3()()coscos3()kx tttcmmkx tttcmm 再将初始条件（2）代入式，得5.1 两自由度系统的模态两自由度系统的模态5.1 两自由度系统的模态两自由度系统的模态5.1 两自由度系统的模态两自由度系统的模态5.1 两自由度系统的模态两自由度系统的模态5.1 两自由度系统的模态两自由度系统的模态5.1 两自由度系统的模态两自由度系统的模态5.1 两自由度系统的模态两自由度系统的模态5.1 两自由度系统的模态两自由度系统的模态5.1 两自由度系统的模态两自由度系统的模态 返回首页Theory of Vibration with Applications
21、引入记号 akmbkmckmdkm1111121121222222,02122211211222211422112kkkkmkmmm它的展式为 0)(24bcadda)(22222,1bcaddada则特征方程可改写为这就是特征方程的两组特征根eigenvalues and eigenvectoes。特征根2122是两个大于零的不相等的正实根两自由度系统的振动两自由度系统的振动正值、小于2da 返回首页Theory of Vibration with Applications1、2就是系统的自由振动频率，即固有频率。较低的频率1称为第一阶固有频率；较高的频率2称为第二阶固有频率。由式看出，固有
22、频率1、2与运动的初始条件无关，仅与振动系统固有频率的物理特性，即物体的质量、弹性元件的刚度有关。两自由度系统的振动两自由度系统的振动 返回首页Theory of Vibration with Applications )sin()sin(111212111111tAxtAx第一主振动第一主振动 )sin()sin(222222222121tAxtAx第二主振动第二主振动 将固有频率1代入方程的解，得)sin()sin(2211tAxtAx振型振型 两自由度系统的振动两自由度系统的振动 返回首页Theory of Vibration with Applications 222221222dcb
23、aAA第二主振型第二主振型 212111121dcbaAA第一主振第一主振型型振幅比振幅比 the ratio of the amplitudes 002122222211211211AAmkkkmk由由得，两方程线性相关，得，两方程线性相关，A1、A2不独立。不独立。两自由度系统的振动两自由度系统的振动 返回首页系统作主振动时，任意瞬时的位移比和其振幅比相同，即2)2(1)2(21)1(1)1(2,xxxx这表明，在振动过程中，振幅比决定了整个系统的相对位置。将1、2之值代入，得022102212221bcdadabbcdadab这表明，在第一主振动中，质量m1与m2沿同一方向运动；在第二主
24、振动中m1、m2的运动方向则是相反的。系统作主振动时，各点同时经过平衡位置，同时到达最远位置，以与固有频率对应的主振型作简谐振动。两自由度系统的振动两自由度系统的振动 返回首页Theory of Vibration with Applications根据微分方程理论，两自由度系统的自由振动微分方程的通解，是它的两个主振动的线性组合，即)sin()sin()()sin()sin()(22)2(211)1(2)2(2)1(2222)2(111)1(1)2(1)1(11tAtAxxtxtAtAxxtx)sin()sin(22)2(2)2(111)1(2)1(121tAAtAAxx)sin()sin(
25、2211)2(2)2(1)1(2)1(121ttAAAAxx21)2(1)1(1,AA由运动的初始条件确定。写成矩阵形式两自由度系统的振动两自由度系统的振动 返回首页自由振动微分方程自由振动微分方程m xkkxk xm xk xk x111212222212200()m xk xkxxm xkxx111122122221()()取两物体为研究对象，物取两物体为研究对象，物体离开其平衡位置的位移用体离开其平衡位置的位移用x1、x2表示。在水平方向的表示。在水平方向的受力如图示，由牛顿第二定受力如图示，由牛顿第二定律得律得 两自由度的弹簧质量系统。两自由度的弹簧质量系统。两物体均作直线平移，略去两
26、物体均作直线平移，略去激励力及其它阻尼。激励力及其它阻尼。两自由度系统的振动两自由度系统的振动 返回首页mmxxkkkkkxx121212222120000 MxKx 0Mmmmm11122122质量矩阵质量矩阵 Kkkkk11122122刚度矩阵刚度矩阵mij质量影响系数质量影响系数kij刚度影响系数刚度影响系数 xxx12 21xxx 加速度列阵 坐标列阵两自由度系统的振动两自由度系统的振动 返回首页根据微分方程的理论，设方程的解为)sin()sin(2211tAxtAx atAxatAAxxsinsin2121这组解可写成以下的矩阵形式 02AMK002122222211211211AA
27、mkkkmk代入微分方程后，化简可得代数齐次方程组 0AMK)(2两自由度系统的振动两自由度系统的振动 返回首页Theory of Vibration with Applications 引入记号 akmbkmckmdkm1111121121222222,02122211211222211422112kkkkmkmmm它的展式为 0)(24bcadda)(22222,1bcaddada则特征方程可改写为这就是特征方程的两组特征根eigenvalues and eigenvectoes。特征根2122是两个大于零的不相等的正实根两自由度系统的振动两自由度系统的振动正值、小于2da 返回首页The
28、ory of Vibration with Applications1、2就是系统的自由振动频率，即固有频率。较低的频率1称为第一阶固有频率；较高的频率2称为第二阶固有频率。由式看出，固有频率1、2与运动的初始条件无关，仅与振动系统固有频率的物理特性，即物体的质量、弹性元件的刚度有关。两自由度系统的振动两自由度系统的振动 返回首页Theory of Vibration with Applications )sin()sin(111212111111tAxtAx第一主振动第一主振动 )sin()sin(222222222121tAxtAx第二主振动第二主振动 将固有频率1代入方程的解，得)sin
29、()sin(2211tAxtAx振型振型 两自由度系统的振动两自由度系统的振动 返回首页Theory of Vibration with Applications 222221222dcbaAA第二主振型第二主振型 212111121dcbaAA第一主振第一主振型型振幅比振幅比 the ratio of the amplitudes 002122222211211211AAmkkkmk由由得，两方程线性相关，得，两方程线性相关，A1、A2不独立。不独立。两自由度系统的振动两自由度系统的振动 返回首页系统作主振动时，任意瞬时的位移比和其振幅比相同，即2)2(1)2(21)1(1)1(2,xxxx
30、这表明，在振动过程中，振幅比决定了整个系统的相对位置。将1、2之值代入，得022102212221bcdadabbcdadab这表明，在第一主振动中，质量m1与m2沿同一方向运动；在第二主振动中m1、m2的运动方向则是相反的。系统作主振动时，各点同时经过平衡位置，同时到达最远位置，以与固有频率对应的主振型作简谐振动。两自由度系统的振动两自由度系统的振动 返回首页Theory of Vibration with Applications根据微分方程理论，两自由度系统的自由振动微分方程的通解，是它的两个主振动的线性组合，即)sin()sin()()sin()sin()(22)2(211)1(2)2
31、(2)1(2222)2(111)1(1)2(1)1(11tAtAxxtxtAtAxxtx)sin()sin(22)2(2)2(111)1(2)1(121tAAtAAxx)sin()sin(2211)2(2)2(1)1(2)1(121ttAAAAxx21)2(1)1(1,AA由运动的初始条件确定。写成矩阵形式两自由度系统的振动两自由度系统的振动 返回首页Theory of Vibration with Applicationsk3 x2 例1 试求图示两个自由度系统振动的固有频率和主振型。已知各弹簧的弹簧常量k1k2k3k，物体的质量m1m，m22m。分别以两物体的平衡位置为坐标原点，取两物体离
32、开其平衡位置的距离x1、x2为广义坐标，两物体沿x方向的受力如图示，它们的运动微分方程分别为022022122111kxkxxmkxkxxm 解：（1）建立运动微分方程式两自由度系统的振动两自由度系统的振动 返回首页Theory of Vibration with Applications00222002121xxkkkkxxmm mm200M质量矩阵刚度矩阵0)22)(2(022222222kmkmkmkkkmk将M和K代入频率方程，得mk634.021mkmk796.0634.01系统的第一阶和第二阶固有频率为mkmk538.1.366.22mk366.222kkkk22K（2）解频率方程
33、，求i两自由度系统的振动两自由度系统的振动 返回首页Theory of Vibration with Applications将 、分别代入，得2122732.0122112112111)1(1)1(21kmkkmkAA732.2122212112211)2(1)2(22kmkkmkAA732.01)1(1)1(2)1(AAA（3）求主振型主振型为732.21)2(1)2(2)2(AAA节点两自由度系统的振动两自由度系统的振动 返回首页Theory of Vibration with Applications例2 在上题所示系统中，已知m1=m2=m,k1=k3=k,k2=4k，求该系统对以下
34、两组初始条件的响应：（1）t0，x101cm，;（2）t0，x101cm，。0201020 xxx0,cm1201020 xxxkkkkkkkkkkmm5445,00322221KM将M、K代入频率方程，得mkmk3,21对应的两个主振型和振幅比为11,11)2(1)2(2)1(1)1(2AAAA1,1)2(1)2(22)1(1)1(21AAAA解：系统的质量矩阵和刚度矩阵为两自由度系统的振动两自由度系统的振动 返回首页Theory of Vibration with Applications0coscos0coscos0sinsin1sinsin222)2(1111)1(12022)2(11
35、1)1(1102)2(121)1(11202)2(11)1(110AAxAAxAAxAAx2,2,21,2121)2(1)1(1AA将初始条件（1）代入式，解得这表明，其响应为频率1、2的两种主振动的线性组合。cm)(3cos21cos21cos21cos21)(cm)(3cos21cos21cos21cos21)(212211tmktmktttxtmktmktttx两自由度系统的振动两自由度系统的振动 返回首页Theory of Vibration with Applications这表明，由于初始位移之比等于该系统的第二振幅比，因此，系统按第二主振型以频率2作谐振动。2,1,2,02)2(
36、11)1(1AA)cm(3coscos)(),cm(3coscos)(2221tmkttxtmkttx再将初始条件（2）代入式，得两自由度系统的振动两自由度系统的振动 返回首页Theory of Vibration with Applications两自由度系统的振动两自由度系统的振动 返回首页Theory of Vibration with Applications两自由度系统的振动两自由度系统的振动自由度与广义坐标自由度与广义坐标 在任意坐标系中，要确定一个物体的位置所确定独立坐独立坐标标的数目，称为这个物体的运动自由度运动自由度。比如：在空间作任意运动的质点具有三个自由度；确定一个刚体在
37、空间的位置，则需要六个参数，因而刚体作一般运动时具有六个运动自由度。为了完全确定物体的位置而选定的任意一组彼此独立的彼此独立的坐标参数坐标参数，称为这个物体的广义坐标广义坐标。在选定坐标时，除去直角坐标、之外，我们也可以用角度、及从物体中的一点到某些固定点的距离等参数来确定物体在空间的位置。返回首页Theory of Vibration with Applications两自由度系统的振动两自由度系统的振动 两个质点的运动不是互相独立的，它们彼此受另一个质点的运动的影响。这种质点或质点系的运动相互影响的现象叫做耦合耦合，具有耦合性质的系统叫耦合系统耦合系统。系统中是否存在耦合取决于用以表示运动
38、的坐标的选择方法，而与系统本身的特性无关。通过坐标系的选择消除耦合，叫做解耦解耦。像这样表示振动位移的两个以上坐标出现在同一个运动方程式中时，就称这些坐标之间存在静力耦合或弹性耦合。另外，与上式情况不同，当一个微分方程式中出现两个以上的加速度项时，称为在坐标之间有动力耦合或质量耦合m xkkxk xm xk xk x111212222212200()返回首页两自由度系统的振动两自由度系统的振动Theory of Vibration with Applications 返回首页Theory of Vibration with Applications两自由度系统的振动两自由度系统的振动 返回首页
39、Theory of Vibration with Applications两自由度系统的振动两自由度系统的振动 返回首页Theory of Vibration with Applications两自由度系统的振动两自由度系统的振动 返回首页Theory of Vibration with Applications两自由度系统的振动两自由度系统的振动 返回首页Theory of Vibration with Applications两自由度系统的振动两自由度系统的振动 返回首页Theory of Vibration with Applications两自由度系统的振动两自由度系统的振动 返回首页
40、Theory of Vibration with Applications两自由度系统的振动两自由度系统的振动 返回首页Theory of Vibration with Applications两自由度系统的振动两自由度系统的振动 返回首页Theory of Vibration with Applications两自由度系统的振动两自由度系统的振动 返回首页Theory of Vibration with Applications两自由度系统的振动两自由度系统的振动 返回首页Theory of Vibration with Applications两自由度系统的振动两自由度系统的振动系统的解耦
41、系统的解耦 返回首页Theory of Vibration with Applications 当同一方向两简谐振动合成时，若两个简谐分量的频率相差很小，就会出现振动能量在两个物体间相互传递的情况，这种情况称为拍振。耦合摆就是拍振现象的一个典型实例。图示两个摆长、质量相同的单摆，中间以弹簧相连，形成两自由度系统。可以证明，当弹簧刚度k很小，在一定的初始条件下，系统将作拍振。两自由度系统的振动两自由度系统的振动 返回首页Theory of Vibration with Applications取 、表示摆的角位移，逆时向转动为正，每个摆的受力如图。12)(122112kamglml)(12222
42、2kamglml 得到摆做微小振动的微分方程lg12222mlkalg1112得到系统的第一阶和第二阶固有频率为得到系统的第一阶和第二阶主振型为两自由度系统的振动两自由度系统的振动 返回首页Theory of Vibration with Applications)sin(11)1()1(1t)sin(11)1()1(2t)sin(22)2()2(1t)sin(22)2()2(2t于是得到第一主振动第二主振动)2(1)1(11)sin(22)2(t)sin(11)1(t)sin(11)1(t)2(2)1(22)sin(22)2(t系统振动的一般解两自由度系统的振动两自由度系统的振动 返回首页T
43、heory of Vibration with Applications如果初始条件是：t=0时，01)0(0)0()0()0(2120)2()1(21221)cos(cos22101tt)cos(cos22102tt因此得到双摆作自由振动的规律这时1、2相差很少，摆将出现拍振。将上式写成 tt2cos2cos121201tt2sin2sin121202如果弹簧的刚度k很小，因而222mlkalg代入上式得到两自由度系统的振动两自由度系统的振动 返回首页Theory of Vibration with Applications12ttacos2cos01ttasin2sin023222glka
44、mTaBtt2cos2cos121201tt2sin2sin121202拍振周期212a两自由度系统的振动两自由度系统的振动 返回首页Theory of Vibration with Applications两自由度系统的振动两自由度系统的振动耦合摆视频耦合摆视频习题3.1，3.2两自由度系统的振动两自由度系统的振动系统的动能为系统的动能为 系统的能量耗散函数系统的能量耗散函数 1122TT1 122122201111,02222TmxEm xm xx xmx x Mx系统的势能为系统的势能为 1221222TT1 12123212223211111(),22222kkkxUk xkxxk x
45、x xkkkxx Kx1221222TT1 12123212223211111(),22222cccxDc xc xxc xx xcccxx Cx 5.1 两自由度系统的模态两自由度系统的模态5.2.3 5.2.3 系统的通解系统的通解 两自由度无阻尼自由振动系统的两个同步解的具体形式为两自由度无阻尼自由振动系统的两个同步解的具体形式为(1)(1)11(2)(2)22cos()cos()CtCtxuxu (1)(1)1111122(2)(2)1112222coscosxuCtxuxuCtxu这组解可写成以下的矩阵形式这组解可写成以下的矩阵形式 0)(0)(23212222212111xKKxK
46、xmxKxKKxm 为了书写简便，引入符号：为了书写简便，引入符号：121mKKa12mKb 22mKc 232KKdm 00212211dxcxxbxaxx q这是二阶常系数性齐次联立微分方程组。第一个方程中包这是二阶常系数性齐次联立微分方程组。第一个方程中包含含-bx-bx2 2项，第二个方程中包含项，第二个方程中包含-cx-cx1 1项，称为耦合项。项，称为耦合项。q如果耦合项均为零时，方程组便成为两个独立的单自由如果耦合项均为零时，方程组便成为两个独立的单自由度系统自由振动的微分方程度系统自由振动的微分方程 5.1 两自由度系统的模态两自由度系统的模态5.2.3 5.2.3 系统的通解
47、系统的通解 0)(222dcba21212222320k+km-k-kk+km 固有频率固有频率00212211dxcxxbxaxx 设两个质量按同样频率和相位角作简谐振动设两个质量按同样频率和相位角作简谐振动 1122cossinxAtxAt 其中振幅其中振幅A A1 1与与A A2 2，频率，频率和相位角和相位角 都为待定常数都为待定常数 代入运动微分方程组可得代入运动微分方程组可得 212cos0aAbAt212()cos()0cAdAt不恒等于零不恒等于零 固有频率固有频率0)(0)(221212AdcAbAAa这是这是A A1 1和和A A2 2的线性齐次代数方程组的线性齐次代数方程
48、组 q显然，显然，A A1 1=A=A2 2=0 =0 是它的解，但这只对应于系统处于静是它的解，但这只对应于系统处于静平衡的情况，不是我们所需的解平衡的情况，不是我们所需的解 A A1 1和和A A2 2具有非零性解的充要条件是系数行列式等于零具有非零性解的充要条件是系数行列式等于零 0)(222dcba0)()()(242bcaddaq该方程唯一确定了频率该方程唯一确定了频率所需满足的条件，称为所需满足的条件，称为频率频率方程方程或或特征方程特征方程 固有频率固有频率频率方程是频率方程是2 2的二次代数方程，它的两个特征根为的二次代数方程，它的两个特征根为 0)()()(242bcadda
49、)(22222,1bcaddadabcdada222121mKKa12mKb 22mKc 221mKKd弹簧刚度和质量恒为正数，弹簧刚度和质量恒为正数，a a，b b，c c，d d的值都是正数的值都是正数 2122和和都是实根都是实根 由于由于adadbcbc 2122和和都是正数都是正数 固有频率固有频率2122和和是两个正实根。它们仅决定于系统本身的物理性质是两个正实根。它们仅决定于系统本身的物理性质，称为振动系统的固有频率。较低的一个称为第一阶固有频称为振动系统的固有频率。较低的一个称为第一阶固有频率，简称率，简称基频基频。较高的一个称为第二阶固有频率。较高的一个称为第二阶固有频率。固
50、有振型固有振型将特征值将特征值 2122和和分别代回方程组分别代回方程组 0)(0)(221212AdcAbAAa任一式任一式2222)2(1)2(222121)1(1)1(21dcbaAAvdcbaAAv 对应于对应于2122和和，振幅振幅A A1 1和和A A2 2之间有两个确定的比值之间有两个确定的比值。这个比值称为振幅比这个比值称为振幅比 虽然振幅大小与初始条件有关，但当系统按任一固有频率振动虽然振幅大小与初始条件有关，但当系统按任一固有频率振动时，振幅比却和固有频率一样只决定于系统本身的物理性质。时，振幅比却和固有频率一样只决定于系统本身的物理性质。固有振型（主振型）固有振型（主振型
