1、4.3.1 4.3.1 定积分的换元积分法定积分的换元积分法4.3定积分的换元积分法定积分的换元积分法 与分部积分法与分部积分法4.3.2 4.3.2 定积分的分部积分法定积分的分部积分法4.3.1 4.3.1 定积分的换元积分法定积分的换元积分法若函数若函数 f(x)在区间在区间 a,b 上连续上连续函数函数 x=j j(t)在区间在区间 a a,b b 上单调且有连续导数上单调且有连续导数 j j(t)，当当 t 在在 a a,b b(或或 b b,a a)上变化时，上变化时，x=j j(t)的值在的值在 a,b 上变化，上变化，且且 j j(a a)=a，j j(b b)=b(或或j j
2、(a a)=b，j j(b b)=a)则则 baxxfd)(b ba aj jj jtttfd)()(baxxfd)(或或.d)()(a ab bj jj jtttf以上公式为以上公式为定积分的换元公式定积分的换元公式例例1 1 计算定积分计算定积分12123xdxx解解 令令2323,2uuxx即，则，则dxudu当当111,22xuxu 时,当时由定积分的换元积分法，得由定积分的换元积分法，得212222111321312(3)2231 11 71(3)|(3)2 32 33uxdxuduuduuxuu 例例2 2 计算定积分计算定积分4204x dx解解 令令2 sin,xt，则，则2c
3、osdxtdt当当00,1,6xtxt时,当时由定积分的换元积分法，得由定积分的换元积分法，得12226600060421 sin2cos4cos1 cos242x dxttdttdttdt6012sin2 2tt3326432试比较下列例题的两种解题方法：试比较下列例题的两种解题方法：220 xxe dx21,20244012t xxdxdtxxtte dt令当时,t=0,当时,4012te41(1)2e220 xxe dx222012xe dx（凑微分）（凑微分）22012xe41(1)2e“不换元，不换限不换元，不换限”换元换元换限换限“换元，必换限换元，必换限”补例补例 计算计算.1d
4、40 xx解解用定积分换元法用定积分换元法.，令令tx 则则 x=t2，dx=2tdt，于是于是 401dxxtttd1220 ttd111220 .3ln24|1|ln220 tt，20 40 tx补例补例 计算计算.de18ln3lnxx 解解,e1tx 令令则则 x=ln(t2-1)，.1d2d2 tttx于是于是xtln3 ln8 2 3xxde18ln3ln tttd123222 ttd1112322 3211ln212 ttt.23ln2 设函数设函数 u=u(x)，v=v(x)在区间在区间 a,b 上具上具有连续导数，有连续导数，xxvxud)()(4.3.2 4.3.2 定积分
5、的分部积分法定积分的分部积分法,d)()()()(xxuxvxvxu 则则xxvxubad)()(,d)()()()(baxxuxvxvxu 即即.d)()()()(d)()(xxuxvxvxuxxvxubababa 由不由不定积分的分部积分法，定积分的分部积分法，得得即即 u =u(x)，v =v(x)连续，连续，事实上，由乘积的微分法则可得事实上，由乘积的微分法则可得(),d uvudvvdu两边积分，得两边积分，得()bbbaaad uvudvvdu|bbbaaauvudvvdu即即|bbbaaaudv uvvdu得定积分的分部积分公式：得定积分的分部积分公式：例例3 3 计算定积分计算
6、定积分 0cosxxdx解解0cosxxdx0sinxdx00sin|sinxxxdx00cos|x2|bbbaaaudv uvvduuvu vvu例例3 3 计算定积分计算定积分 10arctanxxdx解解10arctan x dx1201arctan2x d x1212001arctan|arctan 2xxx dx1220112 41xdxx212011 12 41xdxx|bbbaaaudv uvvduuvu vvu12011(1)2 41dxx?解解根据定积分的分部积分公式得根据定积分的分部积分公式得补例补例计算计算.darctan30 xx 30arctan x xd30)arctan(xx)arctand(30 xxxxxd13arctan3302 302)1ln(2133x .2ln334ln2133 uvuvvu解解根据定积分的分部积分公式得根据定积分的分部积分公式得补例补例计算计算.dln40 xxx xxxdln40 xxdln240 xxxxxd12)ln2(4141 4144ln4x ).12ln2(4 xxd124ln441
