1、“三个二次”问题复习课浙江省宁波中学 熊丰羽 第1页，共31页。二次函数是高考数学中的“常客”，从2004到2010年浙江省高考年年必考。年份 题号2004文科第12、21题，理科第12题2005文科第20题，理科第8、16、20题2006文科第20题，理科第16题2007文科第22题，理科第10题2008理科第15题2009文科第21题，理科第22题2010文科第21题，理科第22题第2页，共31页。二次函数之所以如此受到青睐，有两方面原因 一是学生从初中开始学习二次函数，对二次函数非常熟悉。以二次函数为背景命题符合浙江省“背景公平，淡中见隽”的一贯命题风格。二是二次函数是中学代数的基本内容
2、之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延。考查二次问题有利于考查学生对数学思想方法和数学本质的理解。第3页，共31页。纵观近几年的高考试题，以二次函数为中心，运用二次函数图像解决二次方程，二次不等式的相关问题是考查的主要类型，我们一般把这类问题称为“三个二次问题”。高考对“三个二次”的考查往往渗透在对其他知识的考查之中，并且大都出现在解答题之中，特别是与不等式、导数以及解析几何等高中数学的主干知识的结合是其一大亮点。其考查的重点是二次函数的图像与最值、一元二次方程根的分布、一元二次不等式恒成立等内容。第4页，共31页。(2)0,(5)0,4ffa 解：由得221()(21)6()0(5,2),xf
3、 xxaxaf xxa 问题、关于 的函数当时，恰好得求实数第5页，共31页。=b24ac 0 =0 0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根 一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)的解集 一元二次不等式ax2+bx+c0)的解集 12,xx xx1xx方程有两相异实根方程有两相等实根方程无实根12(,)(,)xx12(,)x x11(,)(,)xxR第6页，共31页。点击高考32()(3)xf xxxaxbe3a b()f x已知函数(1)若 ，求 的单调区间；(2)()(,),(2,)+6f x若在上单调递增，在(，)上单调递减，证明：(2009年海南高考21题）()0fx
4、 分析：此题第一问是利用导数确定单调区间，属于导数的简单应用，第二问中由导数与单调性的联系可知2,是方程的三个根，此问实际是方程根与系数关系的问题。第7页，共31页。3223()(3)(36)(6)xxxfxxxaxb exxa eexaxba (1)解：33()(9)(3)(3)xxabfxexxx xxe 当时，303()0,303()0 xxfxxxfx 当或时，当或时，()(,3),(0,3)(3,0),(3,)f x 所以，在上单调递增，在上单调递减。3(2)(2)0,22(6)04fababa由条件得：即得：3()(6)42 xfxexaxa 故：第8页，共31页。(2)()()0
5、fff因 为3()(6)42 xfxexaxa 32(6)42(2)()()(2)()xaxaxxxxxx所以+=2=2a 比较系数得：，2()412 4a 故2,(2)(2)0,2()40,6a 又即展开得解得：6于是第9页，共31页。2,1x 22(21)60()xaxaaRa问题2、若当时，恒成立，求实数的取值范围。2222max(21)60(21)6)0 xaxaxaxa分析：恒成立问题往往可以转化为最值问题恒成立，即第10页，共31页。22max()(21)6 2,1()0()0f xxaxaxf xf x 解：令当时，恒成立，即max 2,1()max(2),(1)xf xff 由
6、二次函数图像可得：当时22(2)04+4260(1)01 2160faafaa 所以170a解得：xy1-2O第11页，共31页。22(21)60()xaxaaR 2,1x 0 xa问题3、在至少存在一个使得不等式成的取值范围。立，试求实数222222min(21)60(21)6)0(21)6)0 xaxaxaxaxaxa分析：该问题可以转化为恒成立问题，问题的反面是不成立，即恒成立。当然，这个问题也可以直接转化为(第12页，共31页。22min()(21)6 2,1()0f xxaxaxf x 解：令，问题即21()2af xx的对称轴为,min2152,()(2)225(2)0,40,42
7、aaf xffaa (1)当即时，由得所以min211(2)1()(1)221(1)0,1717,172aaf xffaa 当，即时，由得所以min215121(3)2,1()()2222212551()0,2422aaaf xfafaa 当，即-时，由得所以-417a 综上得，xy1-2Oxy1-2Oxy1-2O第13页，共31页。22()(21)6()0(5,2),xf xxaxaf xxa 1问题、关于 的函数当时，恰好得求实数 2,1x 22(21)60()xaxaaRa问题2、若当时，恒成立，求实数的取值范围。22(21)60()xaxaaR 2,1x 0 xa问题3、在至少存在一个
8、使得不等式成的取值范围。立，试求实数第14页，共31页。不等式恰好成立，不等式有解，不等式恒成立，不等式无解，是不等式常见的几种形态，我们应注意它们的区别和联系。解决不等式问题时应充分联系不等式与函数，可将不等式问题转化为函数问题，利用函数图像来解决问题。第15页，共31页。点击高考212121()ln1()1(1)()21(2)()24.(0,2),41,2,()().af xxaxaRxaf xg xxbxaxxf xg xb已知函数当时，讨论的单调性；设当时，若对任意存在使求实数 的取值范围。minmin()()f xg x12分析：问题 似乎与二次问题无关，但求导后发现实际上要解一个一
9、元二次不等式。问题则可以转化为（2010年山东高考第22题）第16页，共31页。222111(1)(),(0,)aaxxafxaxxxx 解：2()1,(0,)h xaxxa x 令0()1,(0,)ah xxx 当时，(0,1)()0,()0,()xh xfxf x所以当时，函数单调递减(1,)()0,()0,()xh xfxf x当时，函数单调递增21210()0,10,1,1afxaxxaxxa 当时，由即解得1010(0,1),()0()0,(1),()0()0,aaxh xfxxh xfx+当时，时，此时函数递减；，时，此时函数递增；第17页，共31页。1101102(0,1),()
10、0()0,1(1,1),()0()0,1(1),()0()0,aaxh xfxxh xfxaxh xfxa +当时，时，此时函数递减；时，此时函数递增；，时，此时函数递减；121,()0()0,2()(0,)axx h xfxf x当时，恒成立，此时函数在上单调递减。第18页，共31页。0(0,1)(1,)1(0,)210(0,1)211(1,1)(1,)aaaaa+综上，当时，函数在上单调递减；在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减；在上单调递增，在单调递减()()1,2()(0,2)g xf x2 问题即：在上的最小值在上的最小值1,(0,1)()4(1,2)()1(
11、)(1)2axf xxf xf xf 由(1)得，当时，单调递减；当时，单调递增；所以，在(0,2)的最小值为第19页，共31页。22()()4,1,2,g xxbbx又所以min1()(1)520bg xgb(i)当时，2min1,2()()40bg xg bb(ii)当时，min2()(2)84bg xgb(iii)当时，1()(1)2f xf 因为在(0,2)的最小值为，所以(i)(ii)不可能11784,28bb 解不等式得17,)8b综上，的取值范围是第20页，共31页。问题4、请把问题2改编成为一个一元二次方程根的分布问题。2,1x 22(21)60()xaxaaRa问题2、若当时
12、，恒成立，求实数的取值范围。22(21)60,xxaxaa改编：关于 的方程一根大于1,一根小于-2,求实数 的取值范围。第21页，共31页。2,1x 22(21)60()xaxaaRa问题2、若当时，恒成立，求实数的取值范围。22(21)60,xxaxaa改编：关于 的方程一根大于1,一根小于-2,求实数 的取值范围。xy1-2O第22页，共31页。22(21)60,xxaxaa改编：关于 的方程一根大于1,一根小于-2,求实数 的取值范围。(2)0(1)0ff由二次函数图像可得：224+42601 2160aaaa 170a解得：22()(21)6f xxaxa解：令xy1-2O第23页，
13、共31页。分布情况 两根都在同一区间(m,n)内 两根在不同区间一根大于m,一根 一根在(m,n)内小于m 一根在(p,q)内大致图象（a0）得出的结论 0002f mf nbmna 0f m 00f mf nf qfp第24页，共31页。2(2,1)(21)60()5xxax aaRa 问题、在有且只有一个实数 满足方程，求实数 的取值范围。2()(21)6f xxaxa解：令xy1-2Oxy1-2O(1)(1)(2)006ffaa 或0(2)21212aa 无解(1)0,6fa 又当即时，方程另一根为-12(-2,1)(2)0,0fa当即时，方程另一根为3(-2,1)06aa 所以或第25
14、页，共31页。点击高考32()(1)(5)1,(0,3)()p xxkxkxxp xk若时函数不单调，求实数 的取值范围。（2009浙江高考22题改编）()(0,3)()(0,3)00p xp x分析：我们一般碰到条件是单调，因此我们可以将不单调问题转化为单调问题，即考虑问题反面。当然如果直接考虑其导函数，则可以得出在有正有负。即在有零点。且不恒大于等于或恒小于等于。第26页，共31页。232(1)(5)1pxxkxk解法：()(0,3)()0()0(0,3)p xp xp x假设在单调，则或在恒成立min()0(0,3)()0p xp x若在恒成立，则13,8(3)03kkpk(1)即，则，
15、无解1,1()032001kkpk()即，则，解得11(0,3),81()03331kkkpk()即，则，解得-2-2k 综上，第27页，共31页。max(3)0()0(0,3)()0,(0)05pp xp xpk 若在恒成立，则即解得25kk 综上得或5,2()(0,3)kp x 所以当时，在不单调第28页，共31页。232(1)(5)2pxxkxk解法：()(0,3)()(0,3)()0p xyp xp x假设在不单调，即在有零点且不恒大于等于(0,3)(0)(3)02657ypxppk 若在有一个零点，则解得：(0)05,()pkyp x 又当时，的另一零点为4，不符261()0,()773pkyp x 当时，的另一零点为，符合2657k 所以第29页，共31页。2(0,3)(0)0(3)0262103734(1)12(5)0ypxppkkkk 若在有两个零点，则52k 所以第30页，共31页。谢谢，再见谢谢，再见！第31页，共31页。
