1、第六节第六节一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线 一、一、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面过点过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的与切线垂直的平面称为曲线在该点的法法位置位置.TM空间光滑曲线在点空间光滑曲线在点 M 处的处的切线切线为此点处割线的极限为此点处割线的极限平面平面.空间曲线的方程空间曲线的方程)1()()()(tztytx (1)式中的三个函数均可导式中的三个
2、函数均可导.且且导数不同时为零导数不同时为零ozyxM*.M;),(0000ttzyxM 对应于对应于设设曲线在曲线在M处的切线方程处的切线方程.)()()(000000tzztyytxx 切线的方向向量切线的方向向量.)(),(),(000tttT 过过 M0 点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.0)()()(000000 zztyytxxt 空间曲线方程空间曲线方程,)()(xzxy ,),(000处处在在zyxM切线方程为切线方程为,)()(100000 xzzxyyxx 法平面方程为法平面方程为.0)()()(00000 zzxyyxxx 空间曲线方程空间曲线方程,0),(0),
3、(zyxGzyxF切向量切向量 000,yxyxxzxzzyzyGGFFGGFFGGFFT切线方程切线方程,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx 法平面方程为法平面方程为0)()()(000000 zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy,),(000处处在在zyxM例例 2 2 求曲线求曲线6222 zyx，0 zyx在在点点)1,2,1(处的切线及法平面方程处的切线及法平面方程.二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线 曲面方程为曲面方程为0),(zyxF在曲面上任取一条通在曲面上任取一条通过点过点M的曲线的曲线,)()()(:t
4、ztytx nTM),(000zyxM切平面方程为切平面方程为0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程为法线方程为),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 垂直于曲面上切平面的向量称为垂直于曲面上切平面的向量称为.),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 空间曲面方程形为空间曲面方程形为),(yxfz 令令,),(),(zyxfzyxF 曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在M处的
5、法线方程为处的法线方程为.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx),(000zyxM曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量的全微分的全微分在点在点函数函数),(),(00yxyxfz ),(yxfz 在在),(00yx的的全全微微分分，表表示示曲曲面面),(yxfz 在在点点),(000zyx处处的的切切平平面面上上的的点点的的竖竖坐坐标标的的增增量量.,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff ),(00yxffxx),
6、(00yxffyy 其中其中例例 4 4 求曲面求曲面32 xyezz在点在点)0,2,1(处的处的切平面及法线方程切平面及法线方程.例例 3 3 求旋转抛物面求旋转抛物面122 yxz在点在点)4,1,2(处的切平面及法线方程处的切平面及法线方程.例例 5 5 求曲面求曲面2132222 zyx平行于平面平行于平面064 zyx的各切平面方程的各切平面方程.例例6 在椭球面在椭球面 上求一点，上求一点，1222222 czbyax使它的法线与坐标轴正向成等角使它的法线与坐标轴正向成等角例例7设设 z=z(x,y)由方程由方程0),(czbyczaxf确定，确定，其中其中f(u,v)可微可微证
7、明证明 z=z(x,y)表示锥面表示锥面),(0cbaP记记),(000zyxP为曲面上一点为曲面上一点则连接则连接 PP0 的的直线的方程为直线的方程为tczczbybyaxax 000 )()()(000cztczbytbyaxtax时时当当0 t证证)()(,)()(0000ccztcbbytbccztcaaxtaf 0),(0000 czbyczaxf得出直线上的点都在曲面上，所以曲面是以得出直线上的点都在曲面上，所以曲面是以(a,b,c)为顶点的锥面。为顶点的锥面。曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线（求法向量的方向余弦时注意（求法向量的方向余弦时注意符号符号）思考题思考题 如如果果
8、平平面面01633 zyx 与与椭椭球球面面163222 zyx相相切切，求求.三、小结三、小结空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面（当空间曲线方程为一般式时，求切向（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用量注意采用推导法推导法）思考题解答思考题解答设切点设切点),(000zyx,2,2,6000zyxn 依题意知切向量为依题意知切向量为3,3 32236000 zyx,00 xy ,300 xz 切点满足曲面和平面方程切点满足曲面和平面方程,016930169320202200020 xxxxxx .2 练练 习习 题题一、一、填空题填空题:1 1、曲线曲线2,1,1tzttyt
9、tx 再对应于再对应于1 t的点的点处切线方程为处切线方程为_；法平面方程为法平面方程为_._.2 2、曲面曲面3 xyzez在点在点)0,1,2(处的切平面方程为处的切平面方程为_；法线方程为法线方程为_._.二、二、求出曲线求出曲线32,tztytx 上的点上的点,使在该点的切使在该点的切线平行于平面线平行于平面42 zyx.三、三、求球面求球面6222 zyx与抛物面与抛物面22yxz 的交线的交线在在)2,1,1(处的切线方程处的切线方程.四、求椭球面四、求椭球面12222 zyx上平行于平面上平行于平面 02 zyx的切平面方程的切平面方程.五、试证曲面五、试证曲面)0(aazyx上任何点处的上任何点处的 切平面在各坐标轴上的截距之和等于切平面在各坐标轴上的截距之和等于a.一、一、1 1、011682,8142121 zyxzyx；2 2、02112,042zyxyx.二、二、)271,91,31()1,1,1(21 PP及及.三、三、0202021111zyxzyx或或.四、四、2112 zyx.练习题答案练习题答案
