1、 在上一节我们已经看到，直接用定义在上一节我们已经看到，直接用定义计算定积分是十分繁难的，因此我们期计算定积分是十分繁难的，因此我们期望寻求一种计算定积分的简便而又一般望寻求一种计算定积分的简便而又一般的方法。我们将会发现定积分与不定积的方法。我们将会发现定积分与不定积分之间有着十分密切的联系，从而可以分之间有着十分密切的联系，从而可以利用不定积分来计算定积分。利用不定积分来计算定积分。微积分基本公式微积分基本公式变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 设某物体作直线运动，已知速度设某物体作直线运动，已知速度)(tvv 是时是时间间隔间间隔,21TT上上t
2、的一个连续函数，且的一个连续函数，且0)(tv，求物体在这段时间内所经过的路程求物体在这段时间内所经过的路程.变速直线运动中路程为变速直线运动中路程为 21)(TTdttv另一方面这段路程可表示为另一方面这段路程可表示为)()(12TsTs).()()(1221TsTsdttvTT ).()(tvts 其中其中 一、问题的提出一、问题的提出 设设函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续续，并并且且设设x为为,ba上上的的一一点点，xadxxf)(考察定积分考察定积分 xadttf)(如如果果上上限限x在在区区间间,ba上上任任意意变变动动，则则对对于于每每一一个个取取定定的的x值值，定定积
3、积分分有有一一个个对对应应值值，所所以以它它在在,ba上上定定义义了了一一个个函函数数，.)()(xadttfx记记积分上限函数积分上限函数 二、积分上限函数及其导数二、积分上限函数及其导数abxyo定定理理 如如果果)(xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(在在,ba上上具具有有导导数数，且且它它的的导导数数是是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 积分上限函数的性质积分上限函数的性质xx 证证dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x dttfdttfdttfxaxxxxa )()()
4、(,)(xxxdttf由积分中值定理得由积分中值定理得xf )(,xxx xx ,0),(fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )(x x一般情况一般情况 如如果果)(tf连连续续，)(xa、)(xb可可导导，则则dttfxFxbxa )()()()(的的导导数数)(xF 为为 )()()()(xbxadttfdxdxF )()()()(xaxafxbxbf 注注此定理表明连续函数取变上限定积分再对此定理表明连续函数取变上限定积分再对上限自变量上限自变量 x 求导，其结果就等于被积求导，其结果就等于被积函数在上限自变量函数在上限自变量 x 处的函数值处的函数值
5、若上限不是若上限不是 x 而是而是 x 的函数的函数 a(x)，则求导时必须按复合函数的求导法则进行则求导时必须按复合函数的求导法则进行 )()()()(xaaxaxafdttfdxd dttfxFxaxb)()(0)()(0 dttfxb )(0)(,)()(0dttfxa )()()()()(xaxafxbxbfxF 例例1 1 求求.lim21cos02xdtextx 00分析分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 证证21cos02limxdtex
6、tx xexxx2sinlim2cos0 .21e 例例 2 2 设设)(xf在在),(内内连连续续，且且0)(xf.证证明明函函数数 xxdttfdtttfxF00)()()(在在),0(内内为为单单调调增增加加函函数数.证证 xdtttfdxd0)()(xxf xdttfdxd0)(),(xf ,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxF)0(,0)(xxf,0)(0 xdttf 2000)()()()()()(xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF,0)()(tftx,0)()(0 xdttftx).0(0)(xxF故故)(xF在在),0(内内为为单单调调增增加
7、加函函数数.例例 3 3 设设)(xf在在1,0上上连连续续，且且1)(xf.证证明明 1)(20 dttfxx在在1,0上上只只有有一一个个解解.证证令令,1)(2)(0 dttfxxFx,1)(xf,0)(2)(xfxF)(xF在在1,0上上为为单单调调增增加加函函数数.,01)0(F 10)(1)1(dttfF 10)(1dttf所以所以0)(xF即原方程在即原方程在1,0上只有一个解上只有一个解.0 如果如果)(xf在在,ba上连续，则积分上限的函上连续，则积分上限的函数数dttfxxa )()(就是就是)(xf在在,ba上的一个上的一个原函数原函数.定理的重要意义：定理的重要意义：（
8、1）肯定了连续函数的原函数是存在的）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系间的联系.定理定理2 2（原函数存在定理）（原函数存在定理）前述变速直线运动的路程问题表明：前述变速直线运动的路程问题表明：定积分的值等于被积函数的一个原函数定积分的值等于被积函数的一个原函数在时间区间上的增量，这个事实启发我在时间区间上的增量，这个事实启发我们去考察一般的情况，得到肯定的回答。们去考察一般的情况，得到肯定的回答。这就是微积分基本公式。这就是微积分基本公式。定理定理 3 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）如如果果)(xF
9、是是连连续续函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的一一个个原原函函数数，则则)()()(aFbFdxxfba .三、三、Newton-Leibniz公式公式 已知已知)(xF是是)(xf的一个原函数，的一个原函数，又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一个个原原函函数数,CxxF )()(,bax 令令ax ,)()(CaaF 0)()(dttfaaa,)(CaF,)()(CdttfxFxa ),()()(aFxFdttfxa 令令 bx).()()(aFbFdxxfba 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式 证证)()()(aFbFdxxfba baxF)(注注微积分基本公式表
10、明：微积分基本公式表明：(1)一一个个连连续续函函数数在在区区间间,ba上上的的定定积积分分等等于于它它在在该该区区间间上上的的任任意意一一个个原原函函数数在在区区间间,ba上上的的增增量量.（2）N-L公式揭示了积分学两类基本问题公式揭示了积分学两类基本问题不定积分与定积分两者之间的内在联系不定积分与定积分两者之间的内在联系（3）求定积分问题转化为求原函数的问题）求定积分问题转化为求原函数的问题.（4）为定积分的计算提供了一个普遍、有效而又为定积分的计算提供了一个普遍、有效而又简便的方法，使得定积分的计算大为简化。简便的方法，使得定积分的计算大为简化。注意注意当当ba 时，时，)()()(a
11、FbFdxxfba 仍成立仍成立.)1sincos2(20 dxxx解解 原式原式 20cossin2 xxx .23 例例5 5 设设 ,求求 .215102)(xxxxf 20)(dxxf解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2,1 上上规规定定当当1 x时时，5)(xf,102152dxxdx原式原式xyo126 例例4 4 求求 例例6 6 求求 .,max222 dxxx解解由图形可知由图形可知xyo2xy xy 122,max)(2xxxf,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原原式式.211 例例7 7 求求 .112dxx 解解
12、当当0 x时时，x1的的一一个个原原函函数数是是|ln x,dxx 121 12|ln x.2ln2ln1ln 例例 8 8 计计算算曲曲线线xysin 在在,0 上上与与x轴轴所所围围 成成的的平平面面图图形形的的面面积积.解解 面积面积 0sin xdxA 0cos x.2 xyo 1.积分上限函数积分上限函数 xadttfx)()(2.积分上限函数的导数积分上限函数的导数)()(xfx 3.微积分基本公式微积分基本公式)()()(aFbFdxxfba 牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系称之为微积分基本公式。之间的关系称之为微积分基本公式。注
13、意注意 使用公式的条件使用公式的条件（1）被积函数）被积函数 f(x)连续连续 （2）F（x）是）是 f(x)在在 该区间上的任一原函数该区间上的任一原函数四、小结四、小结 设设)(xf在在,ba上上连连续续，则则dttfxa)(与与duufbx)(是是x 的的函函数数还还是是 t与与 u 的的函函数数？它它们们的的导导数数存存在在吗吗？如如存存在在等等于于什什么么？思考题思考题dttfxa)(与与duufbx)(都都是是x的的函函数数)()(xfdttfdxdxa )()(xfduufdxdbx 思考题解答思考题解答练练 习习 题题一一、填填空空题题：1 1、baxdxedxd22=_ _
14、_ _ _ _ _ _ .2 2、xadxxfdxd)(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .3 3、223)1ln(xdtttdxd_ _ _ _ _ _ _ _ .4 4、20)(dxxf_ _ _ _ _，其其中中 21,210,)(2xxxxxf .5 5、设、设 ,coscos1nxdxmxI dxnxmx sinsin，（1 1）、当）、当nm 时，时，1I=_,2I=_ _，（2 2）、当）、当nm 时，时，1I=_,_,2I=_.6 6、设、设,sincos nxdxmx（1 1）、当）、当nm 时，时，3I=_ _,（2 2）、当）、当nm 时，时，3I=_.7 7、
15、94)1(dxxx_.8 8、33121xdx_.9 9、xdttxx020coslim_.二、二、求导数：求导数：1 1、设函数设函数)(xyy 由方程由方程0cos00 xyttdtdte所确所确定，求定，求dxdy ；2 2、设设 12122,ln,lnttuduuyuduux)1(t,求求22dxyd ；3 3、xxdttdxdcossin2)cos(；4 4、设、设 2031)(xxdxxg，求，求)1(g .三、三、计算下列各定积分：计算下列各定积分：1 1、2122)1(dxxx;2;2、212121xdx;3 3、012241133dxxxx;4;4、20sindxx .四、四
16、、求下列极限：求下列极限：1、xtxtxdtedte022022)(lim;2、2502021)cos1(limxdttxx .五、五、设设)(xf为连续函数，证明为连续函数，证明:xxtdtduufdttxtf000)()(.六、六、求函数求函数 xdttttxf02113)(在区间在区间 1,0上的最上的最大值与最小值大值与最小值.七、七、设设 时，时，或或，当，当时，时，当当 xxxxxf000,sin21)(求求 xdttfx0)()（在在),(内的表达式内的表达式 .八、八、设设 baxf,)(在在上连续且上连续且,0)(xf xaxbtfdtdttfxF)()()(,证明：证明：（
17、1 1）、）、2)(xF ;（2 2）、方程）、方程0)(xF在在),(ba内有且仅有一个根内有且仅有一个根.练习题答案练习题答案一、一、1 1、0 0；2 2、)()(afxf；3 3、)1ln(23 xx ；4 4、65；5 5、(1)(1),；(2)0,0 (2)0,0；7 7、;6145 8 8、6；9 9、1.1.二、二、1 1、1sincos xx；2 2、tt ln212；3 3、)sincos()cos(sin2xxx ；4 4、2.三、三、1 1、852；2 2、3；3 3、14 ；4 4、4.4.四、四、1 1、0 0；2 2、101.六、六、335,0.,0.七、七、xxxxx,10,)cos1(210,0)(.
