1、3.4 基本不等式: 第三章 不等式 (一) aba b 2 1.理解基本不等式的内容及证明. 2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小. 3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 重要不等式及证明 如果a，bR，那么a2b2 2ab(当且仅当 时取“”).请证明 此结论. 解析答案 证明 a2b22ab(ab)20， a2b22ab，当且仅当ab时取“”. ab 知识点二 基本不等式 1.内容： abab 2 ，其中 a0，b0，当且仅当 ab 时，等号成立. 2.证明：
2、ab2 ab( a)2( b)22 a b ( a b)20. ab2 ab. abab 2 ，当且仅当 ab 时，等号成立. 3.两种理解： (1)算术平均数与几何平均数： 设a0，b0，则a，b的算术平均数为ab 2 ，几何平均数为 ；基本 不等式可叙述为两个正数的算术平均数 它们的几何平均数. 答案 不小于 ab 如图所示，以长度为ab的线段AB为直径作圆， 在直径AB上取一点C，使ACa，CBb，过点C 作垂直于直径AB的弦DD，连接AD，DB，易证 RtACD RtDCB，则CD2CA CB，即CD ab. (2)几何意义： 这个圆的半径为ab 2 ，显然它大于或等于 CD，即ab
3、2 ab，当且仅 当点 C 与圆心 O 重合，即 ab 时，等号成立. (1)ab (a，bR)； (2)b a a b2 (a，b 同号)； (3)当 ab0 时，b a a b2；当 ab0 时， b a a b ； 知识点三 基本不等式的常用推论 答案 2 (4)a2b2c2 (a，b，cR). abbcca 返回 ab 2 2 a2b2 2 题型探究 重点突破 题型一 利用基本不等式比较大小 例1 设0ab，则下列不等式中正确的是( ) 解析答案 反思与感悟 A.ab abab 2 B.a abab 2 b C.a abbab 2 D. abaab 2 b 跟踪训练1 若a，bR，且a
4、b0，则下列不等式中，恒成立的是( ) 对于 D，ab0，则b a0 且 a b0， b a a b2 b a a b2.当且仅当 b a a b， 即 ab 时，取“”，故 D 正确. 解析答案 A.a2b22ab B.ab2 ab C.1 a 1 b 2 ab D. b a a b2 解析 对于A，应该为a2b22ab，漏等号，故A错误； 对于B，当a0，b0时，ab0，但ab2 ab，故B不成立； 对于C，当a0，b0时，ab0，故C不成立； D 解析答案 反思与感悟 题型二 用基本不等式证明不等式 例 2 已知 a，b，c 为正数，且 abc1，证明：1 a 1 b 1 c9. 证明
5、1 a 1 b 1 c abc a abc b abc c 3(b a a b)( c a a c)( c b b c) 32229. 当且仅当abc1 3时，等号成立. 解析答案 跟踪训练2 已知a，b，c为正数，且abc1， 证明：(1a)(1b)(1c)8abc. 返回 证明 (1a)(1b)(1c)(bc)(ac)(ab) 2 bc 2 ac 2 ab8abc. 当且仅当 bca1 3时，等号成立. 1.若0a1,0b1，且ab，则ab,2 ab，2ab，a2b2中最大的一个 是( ) A.a2b2 B.2 ab C.2ab D.ab 当堂检测 1 2 3 4 解析 0a1,0b1，a
6、b，ab2 ab，a2b22ab. 四个数中最大的应从ab，a2b2中选择. 而a2b2(ab)a(a1)b(b1). 又0a1,0b1，a(a1)0，b(b1)0， a2b2(ab)0，即a2b2ab， ab最大.故选D. D 解析答案 解析 ab3， 1 2 3 4 2.设a、b是实数，且ab3，则2a2b的最小值是( ) B 解析答案 A.6 B.4 2 C.2 6 D.8 2a2b2 2a 2b22ab2 84 2. 解析 令a244a，则a24a40， a2. 1 2 3 4 3.不等式a244a中，等号成立的条件为_. a2 解析答案 1 2 3 4 解析答案 4.若 ab1，P
7、lg a lg b，Q1 2(lg alg b)，Rlg ab 2 ，则它们的大 小关系是_. 解析 ab1，lg alg b0，QP， 又 Q1 2(lg alg b) 1 2lg ablg ablg ab 2 R， RQP. RQP 课堂小结 1.两个不等式 a2b22ab 与ab 2 ab都是带有等号的不等式， 对于“当 且仅当时，取”这句话的含义要有正确的理解.一方面：当 ab 时，ab 2 ab；另一方面：当ab 2 ab时，也有 ab. 返回 2.由基本不等式变形得到的常见的结论 (1)ab ab 2 2a 2b2 2 (a，bR)； (2) abab 2 a2b2 2 (a，bR)； (3)b a a b2(a，b 同号)； (4)(ab) 1 a 1 b 4(a，bR)； (5)a2b2c2abbcca(a，b，cR).
