1、2.42.4 等比数列等比数列 第一课时第一课时 等比数列的概念与通项公式等比数列的概念与通项公式 自主预习自主预习 课堂探究课堂探究 自主预习自主预习 1.1.通过实例通过实例, ,理解等比数列和等比中项的概念理解等比数列和等比中项的概念, ,深化认识并能运用深化认识并能运用. . 2.2.探索并掌握等比数列的通项公式探索并掌握等比数列的通项公式, ,能运用通项公式解决简单的问题能运用通项公式解决简单的问题. . 3.3.体会等比数列的通项公式与指数函数的关系体会等比数列的通项公式与指数函数的关系. . 课标要求课标要求 知识梳理知识梳理 1.1.等比数列的定义等比数列的定义 一般地一般地,
2、 ,如果一个数列从第如果一个数列从第 项起项起, ,每一项与它的前一项的比等于每一项与它的前一项的比等于 , , 那么这个数列叫做等比数列那么这个数列叫做等比数列, ,这个常数叫做等比数列的这个常数叫做等比数列的 , ,通常用字母通常用字母q q 表示表示(q0).(q0). 2.2.等比中项等比中项 如果在如果在a a与与b b中间插入一个数中间插入一个数G,G,使使a,G,ba,G,b成成 , ,那么那么G G叫做叫做a a与与b b的等比的等比 中项中项, ,这三个数满足关系式这三个数满足关系式G G2 2=ab.=ab. 3.3.等比数列的递推公式与通项公式等比数列的递推公式与通项公式
3、 已知等比数列已知等比数列aan n 的首项为的首项为a a1 1, ,公比为公比为q(q0),q(q0),填表填表: : 递推公式递推公式 通项公式通项公式 1 n n a a =q(n=q(n2)2) a an n= = 2 2 同一常数同一常数 公比公比 等比数列等比数列 a a1 1q qn n- -1 1 自我检测自我检测 1.(1.(等比数列的定义等比数列的定义) )下面有四个结论下面有四个结论: : 由第由第1 1项起乘相同常数得后一项项起乘相同常数得后一项, ,这样所得到的数列一定为等比数列这样所得到的数列一定为等比数列; ; 常数列常数列b,bb,b一定为等比数列一定为等比数
4、列; ; 等比数列等比数列aan n 中中, ,若公比若公比q=1,q=1,则此数列各项相等则此数列各项相等; ; 等比数列中等比数列中, ,各项与公比都不能为零各项与公比都不能为零. . 其中正确的结论的个数是其中正确的结论的个数是( ( ) ) (A)0(A)0 (B)1(B)1 (C)2(C)2 (D)3(D)3 C C 解析解析: :错误错误, ,当乘以的常数为零时当乘以的常数为零时, ,不是等比数列不是等比数列; ;错误错误,b=0,b=0 时时, ,不是等比数列不是等比数列; ;正确正确, ,故选故选C.C. C C 解析解析: :设其等比中项为设其等比中项为 G,G,则则 G G
5、 2 2=(2+ =(2+3)(2)(2- -3)=1.)=1. 所以所以 G=G=1.1.故选故选 C.C. 2.(2.(等比中项等比中项) )2+2+3和和 2 2- -3的等比中项是的等比中项是( ( ) ) (A)1(A)1 (B)(B)- -1 1 (C)(C)1 1 (D)2(D)2 D D 解析解析: :a an n=a=a1 1q qn n- -1 1=4=43 3n n- -1 1. .故选故选D.D. 3.(3.(等比数列的通项等比数列的通项) )在等比数列在等比数列aan n 中中,a,a1 1=4,=4,公比公比q=3,q=3,则通项公式则通项公式a an n等于等于
6、( ( ) ) (A)3(A)3n n (B)4(B)4n n (C)3(C)3 4 4n n- -1 1 (D)4(D)4 3 3n n- -1 1 4.(4.(等比数列的公比等比数列的公比) )在等比数列在等比数列aan n 中中,a,a1 1=2,a=2,a5 5=162,=162,则数列则数列aan n 的公比的公比 q=q= . . 解析解析: :因为因为a a5 5=a=a1 1q q4 4, , 所以所以162=2q162=2q4 4, , 所以所以q q4 4=81,=81, 所以所以q=q=3.3. 答案答案: :3 3 解析解析: :由条件知由条件知 5 2 a a =q=
7、q 3 3=8, =8, 所以所以 q=2,q=2, 所以所以 a a1 1= = 2 a q =3,=3, 所以所以 a a8 8=a=a1 1q q 7 7=3 =32 2 7 7=384. =384. 答案答案: :384384 5.(5.(等比数列通项公式的应用等比数列通项公式的应用) )在等比数列在等比数列aan n 中中,a,a2 2=6,a=6,a5 5=48,=48,则则 a a8 8= = . . 课堂探究课堂探究 等比数列的判断与证明等比数列的判断与证明 题型一题型一 证明证明: :(1)(1)因为因为 a an+1 n+1=S=Sn+1n+1- -S Sn n,a,an+
8、1n+1= = 2n n S Sn n, ,所以所以(n+2)S(n+2)Sn n=n(S=n(Sn+1 n+1- -S Sn n).). 整理整理, ,得得 nSnSn+1 n+1=2(n+1)S=2(n+1)Sn n, ,所以所以 1 1 n S n =2=2 n S n . . 故故 n S n 是以是以 2 2 为公比的等比数列为公比的等比数列. . 【例【例 1 1】 数列数列aan n 的前的前 n n 项和记为项和记为 S Sn n, ,已知已知 a a1 1=1,a=1,an+1 n+1= = 2n n S Sn n(n=1,2,3,(n=1,2,3,).).证明证明: : (
9、1)(1)数列数列 n S n 是等比数列是等比数列; ; (2)S(2)Sn+1 n+1=4a=4an n. . (2)(2)由由(1)(1)知知 1 1 n S n =4=4 1 1 n S n (n(n2),2), 于是于是 S Sn+1 n+1=4(n+1)=4(n+1) 1 1 n S n =4a=4an n(n(n2).2). 又因为又因为 a a2 2=3S=3S1 1=3,=3, 故故 S S2 2=a=a1 1+a+a2 2=4=4a=4=4a1 1. . 因此对于任意正整数因此对于任意正整数 n n 都有都有 S Sn+1 n+1=4a=4an n. . 题后反思题后反思
10、判定数列是等比数列的常用方法判定数列是等比数列的常用方法 (1)(1)定义法定义法: : 1n n a a =q(q=q(q 是常数是常数) )或或 1 n n a a =q(q=q(q 是常数是常数,n,n2)2)aan n 为等比数列为等比数列. . (2)(2)等比中项法等比中项法: : 2 1n a =a=an na an+2 n+2(a(an n0,n0,nN N * *) ) aan n 为等比数列为等比数列. . (3)(3)通项公式法通项公式法:a:an n=a=a1 1q q n n- -1 1( (其中 其中 a a1 1、q q 为非零常数为非零常数,n,nN N * *
11、) ) aan n 为等比数列为等比数列. . 即时训练即时训练 1 1 1: 1: 已知已知 a a1 1=1,a=1,an+1 n+1=2S=2Sn n+1.+1.试判断数列试判断数列aan n 是否为等比数列是否为等比数列? ?并证明并证明. . 解解: :数列数列aan n 是等比数列是等比数列. . 证明证明: :因为因为a an+1 n+1=2S =2Sn n+1,+1, 所以所以a an n=2S=2Sn n- -1 1+1(n2).+1(n2). 两式相减两式相减, ,得得a an+1 n+1- -a an n=2a =2an n, , 即即a an+1 n+1=3a =3an
12、 n(n2),(n2), 又又a a2 2=2S=2S1 1+1=3,a+1=3,a1 1=1,=1, 所以所以a a2 2=3a=3a1 1. . 所以所以aan n 是首项为是首项为1,1,公比为公比为3 3的等比数列的等比数列. . 等比数列的通项公式及其应用等比数列的通项公式及其应用 题型二题型二 【教师备用教师备用】 1.1.等比数列与指数函数有什么关系等比数列与指数函数有什么关系? ? 提示提示: :等比数列的通项公式可整理为等比数列的通项公式可整理为 a an n= = 1 a q q q n n. .当 当q0,q0,且且 q q1 1 时时,y=,y= 1 a q q q x
13、 x 是一个是一个 不为零的常数不为零的常数 1 a q 与指数函数与指数函数 q q x x 的乘积的乘积, ,表示数列表示数列 a an n= = 1 a q q q n n 的点的点( (n,n, 1 a q q q n n) )是函 是函 数数y=y= 1 a q q q x x 图象上的孤立的点图象上的孤立的点. .如图如图, ,表示表示( (n,n, 1 a q q q n n) )的各点都在函数 的各点都在函数y=2y=2 x x- -1 1的图 的图 象上象上. . 2.2.能不能利用等比数列的通项公式判断其单调性能不能利用等比数列的通项公式判断其单调性? ? 提示提示: :
14、1 0, 1 a q 或或 1 0, 01 a q aan n 递增递增; ; 1 0, 01 a q 或或 1 0, 1 a q aan n 递减递减; ; q=1q=1aan n 为常数列为常数列;q0,且且 4 1 6 1 8, 2, a q a q 解得解得 1 128, 1 , 2 a q 所以所以 a an n=128=128( ( 1 2 ) ) n n- -1 1=2 =2 8 8- -n n. . 答案答案: : (1)B(1)B (2)2(2)28 8- -n n 【思维激活思维激活】 (2014(2014高考江苏卷高考江苏卷) )在各项均为正数的等比数列在各项均为正数的等
15、比数列aan n 中中, ,若若 a a2 2=1,a=1,a8 8=a=a6 6+2a+2a4 4, ,则则a a6 6的值是的值是 . . 解析解析: :设等比数列设等比数列aan n 的公比为的公比为q,q0.q,q0. 则则a a8 8=a=a6 6+2a+2a4 4, ,即为即为a a4 4q q4 4=a=a4 4q q2 2+2a+2a4 4, , 解得解得q q2 2=2(=2(负值舍去负值舍去),), 又又a a2 2=1,=1, 所以所以a a6 6=a=a2 2q q4 4=4.=4. 答案答案: :4 4 解解: :由题由题 a a1 1q q 2 2=12, =12,
16、 a a1 1q q 3 3=18, =18, , ,得得 q=q= 3 2 , ,将将 q=q= 3 2 代入代入, ,得得 a a1 1= = 16 3 . . 因此因此,a,a2 2=a=a1 1q=q= 16 3 3 2 =8.=8. 综上综上, ,这个数列的第这个数列的第 1 1 项与第项与第 2 2 项分别是项分别是 16 3 与与 8.8. 【备用例备用例1 1】 一个等比数列的第一个等比数列的第3 3项与第项与第4 4项分别是项分别是1212与与18,18,求它的第求它的第1 1项与项与 第第2 2项项. . 等比中项的应用等比中项的应用 题型三题型三 提示提示: :a a与与
17、b b一定有等差中项一定有等差中项A,A,且且A=A= 2 ab , ,但不一定有等比中项但不一定有等比中项. .当当abab0 0 时时,a,a 与与 b b 没有等比中项没有等比中项. .当当 ab0ab0 时时,a,a 与与 b b 有等比中项有等比中项, ,且且 G=G=ab. . 【教师备用教师备用】 若若a,ba,b是任意两个实数是任意两个实数, ,则则a a与与b b一定有等差中项和等比中项吗一定有等差中项和等比中项吗? ? 解解: :设等比数列设等比数列aan n 的首项为的首项为 a a1 1, ,公比为公比为 q,q, 因为因为 a a2 2- -a a5 5=42,=42
18、,所以所以 q q1,1,由已知得由已知得 2 111 4 11 168, 42, aa qa q a qa q 所以所以 2 1 3 1 1168, 142. aqq a qq 因为因为 1 1- -q q 3 3=(1 =(1- -q)(1+q+qq)(1+q+q 2 2), ),所以由除以所以由除以, ,得得 q(1q(1- -q)=q)= 1 4 . . 所以所以 q=q= 1 2 . .所以所以 a a1 1= = 4 42 11 22 =96.=96. 若若 G G 是是 a a5 5,a,a7 7的等比中项的等比中项, ,则应有则应有 G G 2 2=a =a5 5a a7 7=
19、a=a1 1q q 4 4 a a1 1q q 6 6= = 2 1 aq q 1010=96 =96 2 2 ( ( 1 2 ) ) 1010=9. =9. 所以所以 a a5 5,a,a7 7的等比中项是的等比中项是3.3. 【例例3 3】 等比数列等比数列aan n 的前三项之和为的前三项之和为168,a168,a2 2- -a a5 5=42,=42,求求a a5 5与与a a7 7的等比中项的等比中项. . 题后反思题后反思 (1)(1)本题采用方程的思想本题采用方程的思想. . (2)(2)首项首项 a a1 1和和 q q 是构成等比数列的基本量是构成等比数列的基本量, ,从基本
20、量入手解决相关问题是研从基本量入手解决相关问题是研 究等比数列的基本方法究等比数列的基本方法. . 同号的两数才有等比中项同号的两数才有等比中项, ,且等比中项有两个且等比中项有两个, ,它们互为相反数它们互为相反数, ,在等比数在等比数 列列aan n 中中,a,an n- -1 1,a,an n,a,an+1 n+1(n(n2)2)成等比数列成等比数列, ,则则 2 n a=a=an n- -1 1a an+1 n+1. . 即时训练即时训练 3 3 1:1:已知等差数列已知等差数列aan n 中中,a,a1 1=9,d=1.=9,d=1.若若 a ak k是是 a a1 1与与 a a2
21、k 2k的等比中项的等比中项, ,则则 k k 等等 于于( ( ) ) (A)2(A)2 (B)4(B)4 (C)6(C)6 (D)8(D)8 解析解析: :依题意依题意 2 k a=a=a1 1a a2k2k, , 即即9+(k9+(k- -1)1) 2 2=9 =99+(2k9+(2k- -1),1), 整理得整理得 k k 2 2- -2k 2k- -8=0,8=0,解得解得 k=4(k=k=4(k=- -2 2 舍去舍去).).故选故选 B.B. 【备用例【备用例 2 2】 已知等比数列已知等比数列aan n 中中,a,a2 2a a3 3a a4 4=64,=64,a a3 3+a
22、+a6 6=36,=36,求求 a a1 1与与 a a5 5的等比中项的等比中项. . 解解: :因为因为aan n 是等比数列是等比数列, , 所以所以 a a3 3是是 a a2 2与与 a a4 4的等比中项的等比中项, ,因此因此 2 3 a=a=a2 2a a4 4. . 可得可得 3 3 a=64,=64,于是于是 a a3 3=4.=4. 又又 a a3 3+a+a6 6=36,=36,所以所以 a a6 6=32.=32. 设公比为设公比为 q,q,则则 2 1 5 1 4, 32, a q a q 解得解得 1 1, 2. a q 于是于是 a a5 5=a=a1 1q q 4 4=16. =16. 设设 a a1 1与与 a a5 5的等比中项为的等比中项为 G,G,则则 G G 2 2=16, =16,故故 G=G=4.4. 即即 a a1 1与与 a a5 5的等比中项为的等比中项为4.4. 点击进入课时作业点击进入课时作业 谢谢观赏谢谢观赏 Thanks!Thanks!
