1、第二课时第二课时 等比数列的性质及应用等比数列的性质及应用 自主预习自主预习 课堂探究课堂探究 自主预习自主预习 1.1.掌握等比数列的几个基本性质掌握等比数列的几个基本性质, ,能够运用这些性质解决等比数列中的有能够运用这些性质解决等比数列中的有 关问题关问题. . 2.2.能够综合运用等比数列的性质和通项公式解决等比数列中的计算问题能够综合运用等比数列的性质和通项公式解决等比数列中的计算问题. . 3.3.能够运用已学的等比数列知识解决一些实际应用问题能够运用已学的等比数列知识解决一些实际应用问题. . 课标要求课标要求 知识梳理知识梳理 (3)(3)若若 k+l=m+n=2p(k,l,m
2、,n,pk+l=m+n=2p(k,l,m,n,pN N * *), ),则则 a ak ka al l=a=am ma an n= = 2 p a; ; 等比数列常见性质等比数列常见性质 若若aan n 是等比数列是等比数列, ,公比是公比是q,q,则则 (1)a(1)an n=a=a1 1q qn n- -1 1=a=a2 2q qn n- -2 2= =a=am m (nm); (nm); (2)(2)对称性对称性:a:a1 1a an n=a=a2 2a an n- -1 1=a=a3 3a an n- -2 2= =a=am m (nm); (nm); (4)(4)若若m,p,n(mm
3、,p,n(m、n n、ppN N* *) )成等差数列成等差数列, ,则则a am m,a,ap p,a,an n成等比数列成等比数列; ; (5)(5)数列数列 a an n( 0)0)、 1 n a 、 2 n a 都是等比数列都是等比数列, ,且公比分别是且公比分别是 q,q, 1 q ,q,q 2 2. . (6)(6)若若bbn n 是公比为是公比为 p p 的等比数列的等比数列, ,则则aan nb bn n 与与 n n a b 也都是等比数列也都是等比数列, ,公比分别为公比分别为 pqpq 和和 q p . . q qn n- -m m a an n- -m+1 m+1 自我
4、检测自我检测 C C 解析解析: :两个等比数列的对应项的和可能为两个等比数列的对应项的和可能为0,0,即不一定为等比数列即不一定为等比数列, , 但乘积仍是一个等比数列但乘积仍是一个等比数列. .故选故选C.C. 1.(1.(由性质进行等比数列的判定由性质进行等比数列的判定) )已知已知aan n 、bbn n 都是等比数列都是等比数列, ,那么那么( ( ) ) (A)a(A)an n+b+bn n,a,an n b bn n 都一定是等比数列都一定是等比数列 (B)a(B)an n+b+bn n 一定是等比数列一定是等比数列, ,但但aan n b bn n 不一定是等比数列不一定是等比
5、数列 (C)a(C)an n+b+bn n 不一定是等比数列不一定是等比数列, ,但但aan n b bn n 一定是等比数列一定是等比数列 (D)a(D)an n+b+bn n,a,an n b bn n 都不一定是等比数列都不一定是等比数列 C C 解析解析: :q q 3 3= = 6 3 a a =2=24=8,4=8,所以所以 q=2.q=2. 2.(2.(等比数列公比的求法等比数列公比的求法) )等比数列等比数列aan n 中中,a,a3 3= = 1 4 ,a,a6 6=2,=2,则公比则公比 q q 等于等于 ( ( ) ) (A)(A)- - 1 2 (B)(B)- -2 2
6、 (C)2(C)2 (D)(D) 1 2 B B 4.(4.(等比数列的性质应用等比数列的性质应用) )在在1 1与与2 2之间插入之间插入6 6个正数个正数, ,使这使这8 8个数成等比数列个数成等比数列, , 则插入的则插入的6 6个数的积为个数的积为 . . 解析解析: :设插入的设插入的6 6个正数分别为个正数分别为b b2 2,b,b3 3,b,b4 4,b,b5 5,b,b6 6,b,b7 7, , 则有则有b b2 2b b7 7=b=b3 3b b6 6=b=b4 4b b5 5=1=12,2, 所以所以b b2 2b b3 3b b4 4b b5 5b b6 6b b7 7=
7、8.=8. 答案答案: :8 8 3.(3.(等比数列性质的求值等比数列性质的求值) )等比数列等比数列aan n 中中,a,a4 4=4,=4,则则a a2 2 a a6 6等于等于( ( ) ) (A)32(A)32 (B)16(B)16 (C)8(C)8 (D)4(D)4 解析解析: :a a2 2a a6 6= = 2 4 a=4=4 2 2=16. =16. 课堂探究课堂探究 等比数列性质的应用等比数列性质的应用 题型一题型一 解析解析: :(1)(1)由等比数列的性质得由等比数列的性质得 a a1 1a a13 13+2+2 2 7 a=3=3 2 7 a=4=4, , 2 7 a
8、= = 4 3 , , 则则 tan(atan(a2 2a a12 12)=tan)=tan( ( 4 3 ) )=tan=tan 3 = =3. . 【例【例 1 1】 (1) (1)已知数列已知数列aan n 为等比数列为等比数列, ,且且 a a1 1a a13 13+2+2 2 7 a=4=4 , ,则则 tan(atan(a2 2a a1212)=)= . . (2)(2)在等比数列在等比数列aan n 中中, ,若若 a a7 7= =- -2,2,则此数列的前则此数列的前 1313 项之积等于项之积等于 . . (2)(2)由于由于aan n 是等比数列是等比数列, , 所以所以
9、 a a1 1a a13 13=a=a2 2a a1212=a=a3 3a a1111=a=a4 4a a1010=a=a5 5a a9 9=a=a6 6a a8 8= = 2 7 a, , 所以所以 a a1 1a a2 2a a3 3a a13 13=(=( 2 7 a) ) 6 6 a a7 7= = 13 7 a, ,而而 a a7 7= =- -2.2.所以所以 a a1 1a a2 2a a3 3a a13 13=(=(- -2)2) 1313= =- -2 21313. . 答案答案: :(1)(1)3 (2)(2)- -2 2 1313 题后反思题后反思 运用等比数列性质 运用
10、等比数列性质,a,am ma an n=a=ak ka al l= = 2 t a(m,n,k,l,t(m,n,k,l,tN N * *) )的关键 的关键 是发现各项的序号之间满足关系是发现各项的序号之间满足关系 m+n=k+l=2t,m+n=k+l=2t,它们往往涉及其中的四项或它们往往涉及其中的四项或 三项三项, ,注意不要和等差数列相应的性质相混淆注意不要和等差数列相应的性质相混淆. . 即时训练即时训练1 1 1:(1)1:(1)公比为公比为2 2的等比数列的等比数列aan n 的各项都是正数的各项都是正数, ,且且a a3 3a a11 11=16,=16,则则loglog2 2a
11、 a1010 等于等于( ( ) ) (A)4(A)4 (B)5(B)5 (C)6(C)6 (D)7(D)7 (2)(2)在等比数列在等比数列aan n 中中,a,a3 3a a4 4a a5 5=3,a=3,a6 6a a7 7a a8 8=24,=24,则则 a a9 9a a10 10a a1111等于等于( ( ) ) (A)48(A)48 (B)72(B)72 (C)144(C)144 (D)192(D)192 解析解析: :(1)(1)因为因为 a a3 3a a11 11=16,=16,所以所以 2 7 a=16.=16. 又因为等比数列又因为等比数列aan n 的各项都是正数的
12、各项都是正数, ,所以所以 a a7 7=4.=4. 又因为又因为 a a10 10=a=a7 7q q 3 3=4 =42 2 3 3=2 =2 5 5, ,所以 所以 loglog2 2a a10 10=5.=5.故选故选 B.B. (2)(2)因为因为 678 345 a a a a a a =q=q 9 9=8(q =8(q 为公比为公比),), 所以所以 a a9 9a a10 10a a1111=a=a6 6a a7 7a a8 8q q 9 9=24 =248=192.8=192. 故选故选 D.D. 【思维激活】【思维激活】 (2014 (2014 高考广东卷高考广东卷) )等
13、比数列等比数列aan n 的各项均为正数的各项均为正数, ,且且 a a1 1a a5 5=4,=4,则则 loglog2 2a a1 1+log+log2 2a a2 2+log+log2 2a a3 3+log+log2 2a a4 4+log+log2 2a a5 5= = . . 解析解析: :由等比数列的性质知由等比数列的性质知 a a1 1a a5 5= = 2 3 a=4,=4, 又因为又因为 a an n0,0, 所以所以 a a3 3=2,a=2,a1 1a a2 2a a3 3a a4 4a a5 5= = 5 3 a, , 所以所以 loglog2 2a a1 1+log
14、+log2 2a a2 2+log+log2 2a a3 3+log+log2 2a a4 4+log+log2 2a a5 5=log=log2 2a a1 1a a2 2a a3 3a a4 4a a5 5=log=log2 2 5 3 a=5log=5log2 2a a3 3=5.=5. 答案答案: :5 5 【备用例【备用例 1 1】 已知等比数列已知等比数列aan n 满足满足 a an n0,n=1,2,3,0,n=1,2,3, ,且且 a a5 5a a2n 2n- -5 5=2=2 2n2n(n (n3),3),则则 loglog2 2a a1 1+log+log2 2a a3
15、 3+ +log+log2 2a a2n 2n- -1 1= = . . 解析解析: :因为因为 a a5 5a a2n 2n- -5 5= = 2 n a= =2=2 2n2n, ,且 且 a an n0,0, 所以所以 a an n=2=2 n n, , 所以所以 loglog2 2a a2n 2n- -1 1=log=log2 22 2 2n2n- -1 1=2n =2n- -1,1, 所以所以 loglog2 2a a1 1+log+log2 2a a3 3+ +log+log2 2a a2n 2n- -1 1=1+3+=1+3+2n+2n- -1=1= 121 2 nn =n=n 2
16、 2. . 答案答案: :n n2 2 巧设巧设“对称项对称项”解等比数列问题解等比数列问题 题型二题型二 【例例2 2】 有四个数有四个数, ,其中前三个数成等差数列其中前三个数成等差数列, ,后三个数成等比数列后三个数成等比数列, ,并且第一并且第一 个与第四个数的和是个与第四个数的和是16,16,第二个数与第三个数的和是第二个数与第三个数的和是12.12.求这四个数求这四个数. . 解解: :法一法一 设这四个数依次为设这四个数依次为 a a- -d,a,a+d,d,a,a+d, 2 ad a (a(a0),0), 由条件得由条件得 2 16, 12. ad ad a aad 解得解得
17、4, 4, a d 或或 9, 6. a d 所以当所以当 a=4,d=4a=4,d=4 时时, ,所求四个数分别为所求四个数分别为 0,4,8,16;0,4,8,16; 当当 a=9,d=a=9,d=- -6 6 时时, ,所求四个数分别为所求四个数分别为 15,9,3,1.15,9,3,1. 故所求四个数分别为故所求四个数分别为 0,4,8,160,4,8,16 或或 15,9,3,1.15,9,3,1. 法二法二 设这四个数依次为设这四个数依次为 2a q - -a,a, a q ,a,aq(a,a,aq(a0),0), 由条件得由条件得 2 16, 12. a aaq q a a q
18、解得解得 2, 8, q a 或或 1 , 3 3. q a 所以当所以当 q=2,a=8q=2,a=8 时时, ,所求四个数分别为所求四个数分别为 0,4,8,10,4,8,16;6; 当当 q=q= 1 3 ,a=3,a=3 时时, ,所求四个数分别为所求四个数分别为 15,9,3,1.15,9,3,1. 故所求四个数分别为故所求四个数分别为 0,4,8,160,4,8,16 或或 15,9,3,1.15,9,3,1. 法三法三 设这四个数依次为设这四个数依次为 x,y,12x,y,12- -y,16y,16- -x,x, 由已知得由已知得 2 212, 1216. yxy yyx 解得解
19、得 0, 4, x y 或或 15, 9. x y 故所求四个数分别为故所求四个数分别为 0,4,8,160,4,8,16 或或 15,9,3,1.15,9,3,1. 题后反思题后反思 等比数列的“对称设项”方法为 等比数列的“对称设项”方法为: :当项数当项数 n n 为奇数时为奇数时, ,先设中间一个数先设中间一个数 为为 a,a,再以公比为再以公比为 q q 向两边对称地依次设项即可向两边对称地依次设项即可, ,如三个数成等比数列如三个数成等比数列, ,可设为可设为 a q ,a,aq;,a,aq;当项数当项数n n 为偶数且公比大于为偶数且公比大于0 0 时时, ,先设中间两个数为先设
20、中间两个数为 a q 和和 aq,aq,再以公比为再以公比为 q q 2 2 向两边对称地依次设项即可向两边对称地依次设项即可, ,如四个数成等比数列如四个数成等比数列, ,可设为可设为 3 a q , , a q ,aq,aq,aq,aq 3 3, ,六个 六个 数成等比数列可设为数成等比数列可设为 5 a q , , 3 a q , , a q ,aq,aq,aq,aq 3 3,aq ,aq 5 5. . 解解: :设所求四个数依次为设所求四个数依次为 2a q - -aq,aq, a q ,aq,aq,aq,aq 3 3. . 则由已知则由已知 3 16, 2 128. a aq q a
21、 aqaq q 由得由得 a a 2 2=16, =16,所以所以 a=4a=4 或或 a=a=- -4.4. 由得由得 2a2a 2 2q q2 2- -a a2 2q q4 4= =- -128. 128. 将将 a a 2 2=16 =16 代入整理代入整理, ,得得 q q 4 4- -2q 2q 2 2- -8=0, 8=0,解得解得 q q 2 2=4, =4,所以所以 q=2q=2 或或 q=q=- -2.2. 所以所求的四个数分别为所以所求的四个数分别为- -4,2,8,324,2,8,32 或或 4,4,- -2,2,- -8,8,- -32.32. 即时训练即时训练 2 2
22、 1:1:若将本例中的“和是若将本例中的“和是 1616”改为“积是”改为“积是- -128128”, ,将“和是将“和是 1212” 改为“积为改为“积为 1616”, ,如何求解如何求解? ? 【备用例备用例2 2】 有四个实数有四个实数, ,前三个数依次成等比数列前三个数依次成等比数列, ,它们的积是它们的积是- -8;8;后三后三 个数依次成等差数列个数依次成等差数列, ,它们的积为它们的积为- -80,80,求出这四个数求出这四个数. . 解解: :由题意设此四个数分别为由题意设此四个数分别为 b q ,b,bq,a,b,bq,a, 则有则有 3 2 8, 2, 80, b bqab
23、 ab q 解得解得 10, 2, 2, a b q 或或 8, 2, 5 . 2 a b q 所以这四个数分别为所以这四个数分别为 1,1,- -2,4,102,4,10 或或- - 4 5 , ,- -2,2,- -5,5,- -8.8. 等比数列的实际应用等比数列的实际应用 题型三题型三 【例例3 3】 从盛满从盛满a(a1)a(a1)升纯酒精的容器里倒出升纯酒精的容器里倒出1 1升升, ,然后加满水摇匀然后加满水摇匀, ,再倒出再倒出1 1升混升混 合溶液后又用水加满摇匀合溶液后又用水加满摇匀, ,如此继续下去如此继续下去, ,问问: :第第n n次操作后溶液的浓度是多少次操作后溶液的
24、浓度是多少? ?若若 a=2a=2时时, ,至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?10%? 解解: :设开始的浓度为设开始的浓度为 1,1,操作一次后溶液浓度操作一次后溶液浓度 a a1 1=1=1- - 1 a , ,设操作设操作 n n 次后溶液次后溶液 的浓度为的浓度为 a an n, ,则操作则操作 n+1n+1 次后溶液的浓度为次后溶液的浓度为 a an+1 n+1=a=an n( (1 1- - 1 a ) ). . 所以所以aan n 是以是以 a a1 1=1=1- - 1 a 为首项为首项, ,公比为公比为 q=1q=1- - 1 a 的
25、等比数列的等比数列. . 所以所以 a an n=a=a1 1q q n n- -1 1= =（ （1 1- - 1 a ） n n. .即第 即第 n n 次操作后酒精的浓度是次操作后酒精的浓度是（1 1- - 1 a ） n n. . 当当 a=2a=2 时时, ,由由 a an n= =（ 1 2 ） n n 1 10 , ,解得解得 n n4.4. 故至少应操作故至少应操作 4 4 次后才能使酒精浓度低于次后才能使酒精浓度低于 10%.10%. 题后反思题后反思 一般地一般地, ,涉及递增率或递减率的实际应用问题涉及递增率或递减率的实际应用问题, ,要建立等要建立等 比数列模型求解比数
26、列模型求解. .解题的关键是弄清楚首项解题的关键是弄清楚首项a1,a1,公比公比q q和项数和项数n n所对应的实际所对应的实际 含义含义. . 即时训练即时训练3 3- -1:1:某种放射性物质不断变化为其他物质某种放射性物质不断变化为其他物质, ,每经过一年剩余的这种每经过一年剩余的这种 物质是原来的物质是原来的84%,84%,这种物质的半衰期为多长这种物质的半衰期为多长( (精确到精确到1 1年年)?()?(放射性物质衰变放射性物质衰变 到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期) ) 解解: :设这种物质最初的质量是设这种物质最初的质量是1,1,经
27、过经过n n年年, ,剩余量是剩余量是a an n, , 由条件可得数列由条件可得数列aan n 是一个等比数列是一个等比数列. . 其中其中a a1 1=0.84,q=0.84.=0.84,q=0.84. 设设a an n=0.5,=0.5,则则0.840.84n n=0.5.=0.5. 两边取对数两边取对数, ,得得nlg 0.84=lg 0.5,nlg 0.84=lg 0.5,用计算器算得用计算器算得n4.n4. 故这种物质的半衰期大约为故这种物质的半衰期大约为4 4年年. . 解解: :设从设从 20152015 年开始年开始, , 第第 n n 个月该厂的生产总值是个月该厂的生产总值
28、是 a an n万元万元, , 则则 a an+1 n+1=a=an n+a+an nm%,m%,所以所以 1n n a a =1+m%,=1+m%, 所以数列所以数列aan n 是首项是首项 a a1 1=a,=a,公比公比 q=1+m%q=1+m%的等比数列的等比数列, , 所以所以 a an n=a(1+m%)=a(1+m%) n n- -1 1, , 所以所以 20162016 年年 8 8 月底该厂的生产总值为月底该厂的生产总值为 a a20 20=a(1+m%)=a(1+m%) 2020- -1 1=a(1+m%) =a(1+m%) 1919 万元万元. . 【备用例备用例3 3】 某工厂某工厂20152015年年1 1月的生产总值为月的生产总值为a a万元万元, ,计划从计划从20152015年年2 2月起月起, ,每月每月 生产总值比上一个月增长生产总值比上一个月增长m%,m%,那么到那么到20162016年年8 8月底该厂的生产总值为多少万元月底该厂的生产总值为多少万元? ? 点击进入课时作业点击进入课时作业 谢谢观赏谢谢观赏 Thanks!Thanks!
