1、第二章 数 列 2.2 等差数列 (二) 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质. 2.能运用等差数列的性质解决有关问题. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 等差数列与一次函数 1.等差数列的图象 等差数列的通项公式ana1(n1)ddn(a1d)，当d0时，an是关 于n的常数函数；当d0时，an是关于n的一次函数，点(n，an)分布在 以d为斜率的直线上，且是这条直线上的一列孤立的点. 2.公差d与斜率 等差数列an的图象是一条直线上的孤立的点，而这条直线的斜率即 为公差d，即dana1 n1 (n2，
2、nN*). 知识点二 推广的等差数列的通项公式 已知a1求an，则ana1(n1)d.(n1) 已知am求an，则anam(nm)d.(mn) 思考 已知等差数列an中的am和an，如何求d? 答案 答案 由an的通项公式得 ana1(n1)d， ama1(m1)d， 两式相减得anam(nm)d， danam nm . 知识点三 等差数列的性质 1.若an，bn分别是公差为d，d的等差数列，则有 数 列 结 论 can 公差为d的等差数列(c为任一常数) c an 公差为cd的等差数列(c为任一常数) anank 公差为2d的等差数列(k为常数，kN*) panqbn 公差为pdqd的等差数
3、列(p，q为常数) 2.等差数列的项的对称性 在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项 的和.即a1ana2an1a3an2. 3.下标性质：在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则 . 特别的，若mn2p(m，n，pN*)，则有 . 思考 等差数列an中，若a57，a919，则a2a12_，a7_. 返回 amanapaq 答案 aman2ap 26 13 题型探究 重点突破 题型一 等差数列的性质及应用 例1 (1)已知等差数列an中，a2a6a101，求a4a8. 解析答案 (2)设an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315，a1a2a380， 求
4、a11a12a13的值. 解析答案 反思与感悟 解 an是公差为正数的等差数列，设公差为d(d0)， a1a32a2，a1a2a3153a2， a25，又a1a2a380， a1a3(5d)(5d)16d3或d3(舍去)， a12a210d35，a11a12a133a12105. 跟踪训练1 在等差数列an中： (1)若a35，则a12a4_； 解析答案 (2)a1a2a324，a18a19a2078，则此数列a1a20等于_. 解析 a12a4a1(a3a5)(a1a5)a32a3a33a315. 15 解析 由已知可得(a1a2a3)(a18a19a20)2478(a1a20) (a2a1
5、9)(a3a18)54a1a2018. 18 题型二 等差数列项的设法及运算 例2 已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94， 首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列. 解析答案 反思与感悟 解 设四个数为a3d，ad，ad，a3d，则 a3d2ad2ad2a3d294， a3da3d18adad， 又因为是递增数列，所以d0， 所以解得 a 7 2，d 3 2， 此等差数列为1,2,5,8或8，5，2,1. 解析答案 跟踪训练2 已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18， 平方和为116，求这三个数. 题型三 等差数列的综合问题 解析答案 例 3 已知数
6、列an中，a11 4，an2 1 an1(n2，nN *)，数列b n满 足 bn 1 an1(nN *). (1)求证：数列bn是等差数列，并写出bn的通项公式； (2)求数列an的通项公式及数列an中的最大项与最小项. 解析答案 反思与感悟 解 由(1)得 an 1 n7 3 11 3 3n7， 当 n3 时， 数列an是递减数列， 且 an1. 又 a11 4，a22，a3 5 2，所以在数列an中，最大项为 a3 5 2，最小项 为 a22. 解析答案 跟踪训练3 设等差数列an的公差为d.若数列 为递减数列，则( ) A.d0 C.a1d0 解析 设bn ，则bn1 ，由于 是递减数
7、列，则bnbn1， 即 .y2x是单调增函数，a1ana1an1，a1ana1(and)0， a1(anand)0，即a1(d)0，a1d0 B.a2a1010 C.a3a990 D.a5151 C 解析 a1a2a1010， 又a1a101a2a100a3a992a51， a510a3a99. 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 4.下列是关于公差d0的等差数列an的四个命题： p1：数列an是递增数列； p2：数列nan是递增数列； p3：数列 an n 是递增数列； p4：数列an3nd是递增数列； 其中的真命题为( ) A.p1，p2 B.p3，p4 C.p2，p3 D.p1，p4
8、 解析 ana1(n1)ddna1d，因为d0，所以p1正确；an3nd 4dna1d，因4d0，所以是递增数列，p4正确，故选D. D 1 2 3 4 5 解析答案 5.在等差数列an中，已知a12a8a1596，则2a9a10_. 解析 a12a8a154a896，a824. 2a9a10a10a8a10a824. 24 课堂小结 1.在等差数列an中，当mn时，daman mn 为公差公式，利用这个公式 很容易求出公差，还可变形为aman(mn)d. 2.等差数列an中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构 成的新数列仍然是等差数列. 3.等差数列an中，若mnpq，则anamapaq(n，m，p，qN*)， 特别地，若mn2p，则anam2ap. 4.在等差数列an中，首项a1与公差d是两个最基本的元素.有关等差数列 的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1、d的关 系列方程组求解.但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量. 返回
