1、第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法(一) 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系. 2.掌握图象法解一元二次不等式. 3.培养数形结合、分类讨论思想方法解一元二次不等式的能力. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 一元二次不等式的概念 一元二次不等式 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式， 叫做一元二次不等式 表达式 ax2bxc0，ax2bxc0，ax2bxc0，ax2bx c0，其中a0，a，b，c均为常数 解 集 ax2bxc0(a0) 解集是使f(x)ax2bxc
2、的函数值为正 数的自变量x的取值集合 ax2bxc0(a0) 解集是使f(x)ax2bxc的函数值为负 数的自变量x的取值集合 ax2bxc0(a0) 解集是使f(x)ax2bxc的函数值大于 或等于0的自变量x的取值集合 ax2bxc0(a0) 解集是使f(x)ax2bxc的函数值小于 或等于0的自变量x的取值集合 解析 是，符合定义；不是，因为未知数的最高次数是3，不符 合定义；不是，当a0时，它是一元一次不等式，当a0时，它含 有两个变量x，y；不是，当a0时，不符合一元二次不等式的定义. 思考 下列不等式是一元二次不等式的有_. x20；3x2x5；x35x60；ax25y0(a为常数
3、)； ax2bxc0. 解析答案 知识点二 一元二次不等式的解法 利用“三个二次”的关系我们可以解一元二次不等式.解一元二次不等 式的一般步骤： (1)将不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0； (2)计算相应的判别式； (3)当0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集. 知识点三 “三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式) 的关系 b24ac 0 0 0 yax2bxc (a0)的图象 ax2bxc0 (a0)的根 有两个不相等的 实根x1，x2，且x1 x2 有两个相等的实 数根x1，x2 没有实数根 ax2bxc0 (a0)的解集
4、x|xx1或xx2 R ax2bxc0 (a0)的解集 x|x1xx2 x x b 2a 解析 a0， 0 a0， 44a0 a1. 思考 二次不等式ax22x10的解集为R，则a的取值范围是 _. 返回 (，1) 答案 题型探究 重点突破 题型一 一元二次不等式的解法 例1 解下列不等式： (1)2x27x30； 解析答案 解 因为72423250，所以方程2x27x30有两个不等 实根x13，x21 2.又二次函数y2x 27x3的图象开口向上，所 以原不等式的解集为x|x1 2或x3. (2)4x218x81 4 0； 解析答案 解 原不等式可化为 2x9 2 20， 所以原不等式的解集
5、为 x|x9 4 . (3)2x23x20； 解 原不等式可化为2x23x20，因为942270， 所以方程2x23x20无实根，又二次函数y2x23x2的图象开口 向上，所以原不等式的解集为R. (4)1 2x 23x50. 解析答案 反思与感悟 解 原不等式可化为x26x100，(6)24040，所以方 程x26x100无实根，又二次函数yx26x10的图象开口向上， 所以原不等式的解集为. 跟踪训练1 解下列不等式： (1)x25x60； 解析答案 解 方程x25x60的两根为x11，x26. 结合二次函数yx25x6的图象知， 原不等式的解集为x|x1或x6. (2)(2x)(x3)0
6、； 解析答案 解 原不等式可化为(x2)(x3)0. 方程(x2)(x3)0的两根为x12，x23. 结合二次函数y(x2)(x3)的图象知， 原不等式的解集为x|x3或x2. (3)4(2x22x1)x(4x). 解析答案 解 由原不等式得8x28x44xx2. 原不等式等价于9x212x40. 解方程9x212x40，得x1x22 3. 结合二次函数y9x212x4的图象知，原不等式的解集为x|x2 3. 题型二 解含参数的一元二次不等式 例2 解关于x的不等式：ax2(a1)x10(aR). 解析答案 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2 解关于x的不等式x2(aa2)xa30. 题型三 “
7、三个二次”关系的应用 例3 已知一元二次不等式ax2bxc0的解集为(，)，且0， 求不等式cx2bxa0的解集. 解析答案 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3 已知关于x的不等式x2axb0的解集为x|1x2，求关 于x的不等式bx2ax10的解集. 解 x2axb0的解集为x|1x2， 1,2是方程x2axb0的两根. 由根与系数的关系得 a12， b12， 得 a3， b2， 代入所求不等式，得2x23x10. 解得 x1 2或 x1. bx2ax10 的解集为x|x1 2或 x1. 解析答案 不注意一元二次不等式二次项系数的正负致误 易错点 例4 若一元二次不等式ax2bxc0的解集为x
8、|x3或x5，则 ax2bxc0的解集为_. 误区警示 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 1.下面所给关于x的几个不等式：3x40；x2mx10；ax2 4x70；x20.其中一定为一元二次不等式的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析 一定是一元二次不等式. B 解析答案 A.a6，c1 B.a6，c1 C.a1，c6 D.a1，c6 1 2 3 4 5 B 解析答案 2.若不等式 ax25xc0 的解集为 x 1 3x 1 2 ，则 a，c 的值为( ) 解析 易知 a0，且 5 a 1 2 1 3， c a 1 3 1 2， a6， c1. 1 2 3 4 5 3. 已
9、 知 x 1 是 不 等 式 k2x2 6kx 80 的 解 ， 则 k 的 取 值 范 围 是 _. k2或k4 解析 x1是不等式k2x26kx80的解，把x1代入不等式得k26k 80，解得k4或k2. 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 4.不等式x23x40的解集为_. 解析 易得方程x23x40的两根为4,1，所以不等式x23x40 的解集为(4,1). (4,1) 1 2 3 4 5 解析答案 (2)当 m0 时， m0， 2m124mm10， 5.已知关于x的不等式mx2(2m1)xm10的解集为空集，求实数 m的取值范围. 解 (1)当m0时，原不等式化为x10，x1， 解集非空. m1 8， 综上，m1 8. 课堂小结 1.解一元二次不等式的常见方法 (1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以 得到解一元二次不等式的一般步骤： 化不等式为标准形式：ax2bxc0(a0)或ax2bxc0)； 求方程ax2bxc0(a0)的根，并画出对应函数yax2bxc图象的 简图； 由图象得出不等式的解集. (2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助因式分解或配方求解. 当m0，则可得xn或xm； 若(xm)(xn)0，则可得mx0，a0)，一根(0)，无根 (x2，x1x2，x1x2.
