1、2.32.3 等差数列的前等差数列的前n n项和项和 自主预习自主预习 课堂探究课堂探究 自主预习自主预习 1.1.掌握等差数列的前掌握等差数列的前n n项和公式项和公式, ,了解推导等差数列前了解推导等差数列前n n项和公式的方法项和公式的方法 倒序相加法倒序相加法. . 2.2.能够利用等差数列的前能够利用等差数列的前n n项和公式进行有关的计算项和公式进行有关的计算. . 3.3.掌握等差数列前掌握等差数列前n n项和的最值问题的解法项和的最值问题的解法. . 4.4.掌握等差数列前掌握等差数列前n n项和的性质及其应用项和的性质及其应用. . 5.5.理解理解a an n与与S Sn
2、n的关系的关系, ,会利用这种关系解决有关的问题会利用这种关系解决有关的问题. . 课标要求课标要求 知识梳理知识梳理 2.2.等差数列的前等差数列的前 n n 项和公式项和公式 已知量已知量 首项、末项和项数首项、末项和项数 首项、公差与项数首项、公差与项数 求和公式求和公式 S Sn n= = 1 2 n n aa S Sn n= = 1 1 2 n n nad 1.1.数列数列aan n 前前n n项和的定义及表示项和的定义及表示 一般地一般地, ,我们称我们称a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+ +a+an n为数列为数列aan n 的前的前n n项和项和, ,用用S Sn n表
3、示表示, ,即即S Sn n= = . . 3.3.等差数列前等差数列前n n项和的性质项和的性质 记等差数列记等差数列aan n 中中, ,其前其前n n项和为项和为S Sn n, ,则则aan n 中连续的中连续的n n项之和构成的数列项之和构成的数列 S Sn n,S,S2n 2n- -S Sn n,S ,S3n 3n- -S S2n2n,S ,S4n 4n- -S S3n3n, ,构成公差为 构成公差为n n2 2d d的等差数列的等差数列. . a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+ +a+an n 自我检测自我检测 C C 1 1.(.(等差数列前等差数列前n n项和公式项和公
4、式) )在等差数列在等差数列aan n 中中, ,已知已知a a1 1=2,d=2,=2,d=2,则则S S5 5等于等于( ( ) ) (A)10(A)10 (B)20(B)20 (C)30(C)30 (D)40(D)40 解析解析: :S S5 5=5=52+2+ 55 1 2 2=30.2=30. B B 解析解析: :S S11 11= = 111 11 2 aa = = 48 11 2 aa = = 11 16 2 =88.=88.故选故选 B.B. 2.(2.(与等差数列性质结合的前与等差数列性质结合的前n n项和的求法项和的求法) )记在等差数列记在等差数列aan n 中中, ,
5、已知已知 a a4 4+a+a8 8=16,=16,则该数列的前则该数列的前1111项和项和S S11 11等于 等于( ( ) ) (A)58(A)58 (B)88(B)88 (C)143(C)143 (D)176(D)176 D D 解析解析: :因为因为S S2 2,S,S4 4- -S S2 2,S,S6 6- -S S4 4成等差数列成等差数列, , 所以所以S S2 2+(S+(S6 6- -S S4 4)=2(S)=2(S4 4- -S S2 2),), 所以所以4+(S4+(S6 6- -20)=2(2020)=2(20- -4),4), 所以所以S S6 6=48.=48.故
6、选故选D.D. 3 3.(.(等差数列前等差数列前n n项和的性质项和的性质) )记等差数列的前记等差数列的前n n项和为项和为S Sn n, ,若若S S2 2=4,S=4,S4 4=20,=20,则则 S S6 6等于等于( ( ) ) (A)42(A)42 (B)44(B)44 (C)46(C)46 (D)48(D)48 解析解析: :S S3 3= = 3 2 (a(a1 1+a+a3 3)=)= 3 2 (4+a(4+a3 3)=6,)=6,所以所以 a a3 3=0,=0, 又又 a a3 3=a=a1 1+2d=4+2d=0,+2d=4+2d=0,所以所以 d=d=- -2.2.
7、 答案答案: :- -2 2 4.(4.(等差数列前等差数列前n n项和公式的应用项和公式的应用) )等差数列等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,且且 S S3 3=6,a=6,a1 1=4,=4,则公差则公差d=d= . . 解析解析: :因为因为 a a13 13- -a a8 8=5d=10,=5d=10,所以所以 d=2,ad=2,a1 1=a=a8 8- -7d=7d=- -11,11, 所以所以 S S24 24=24=24( (- -11)+11)+ 1 2 242423232=288.2=288. 答案答案: :288288 5.(5.(等差数列前等
8、差数列前n n项和公式的应用项和公式的应用) )等差数列等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,若若 a a8 8=3,a=3,a13 13=13, =13,则则S S24 24= = . . 课堂探究课堂探究 等差数列前等差数列前n n项和的基本运算项和的基本运算 题型一题型一 解析解析: :(1)(1)设设aan n 的公差为的公差为 d,d,依题意有依题意有 a a1 1+3d=7,+3d=7, 而而 a a1 1=1,=1,所以所以 d=2.d=2. 于是于是 S S5 5=5a=5a1 1+ + 54 2 d=5d=51+1+ 54 2 2=25.2=25.
9、【例【例 1 1】 (1) (1)设设 S Sn n是等差数列是等差数列aan n(n(nN N * *) )的前 的前 n n 项和项和, ,且且 a a1 1=1,a=1,a4 4=7,=7,则则 S S5 5= = . . (2)(2)已知已知aan n 是等差数列是等差数列,S,Sn n为其前为其前 n n 项和项和,n,nN N * *. .若 若 a a3 3=16,S=16,S20 20=20,=20,则则 S S1010的值的值 为为 . . (2)(2)设数列设数列aan n 的首项为的首项为 a a1 1, ,公差为公差为 d,d, 依题意可得依题意可得 1 1 216,
10、20 19 2020, 2 ad ad 即即 1 1 216, 2192, ad ad 解得解得 1 20, 2. a d 因此因此 S S10 10=10a=10a1 1+ + 109 2 d=10d=1020+20+ 109 2 ( (- -2)=110.2)=110. 答案答案: : (1)25(1)25 (2)110(2)110 题后反思题后反思 a a1 1,n,d,n,d称为等差数列的三个基本量称为等差数列的三个基本量,a,an n和和S Sn n都可以用这三个基本量都可以用这三个基本量 来表示来表示, ,五个量五个量a a1 1,n,d,a,n,d,an n,S,Sn n中可知三
11、求二中可知三求二, ,即等差数列的通项公式及前即等差数列的通项公式及前n n项和项和 公式中公式中“知三求二知三求二”的问题的问题, ,一般是通过通项公式和前一般是通过通项公式和前n n项和公式联立方程项和公式联立方程( (组组) ) 求解求解, ,这种方法是解决数列问题的基本方法这种方法是解决数列问题的基本方法, ,在具体求解过程中应注意已知与在具体求解过程中应注意已知与 未知的联系及整体代换思想的运用未知的联系及整体代换思想的运用. . 即时训练即时训练 1 1 1:(1)1:(1)等差数列等差数列aan n 的前的前 n n 项和为项和为 S Sn n, ,已知已知 a a3 3=4,S
12、=4,S3 3=9,=9,则则 S S4 4等于等于( ( ) ) (A)14(A)14 (B)19(B)19 (C)28(C)28 (D)60(D)60 (2)(2)等差数列等差数列aan n 中中,a,a3 3+a+a5 5=12,a=12,a2 2=2,=2,则前则前 6 6 项和项和 S S6 6= = . . 解析解析: :(1)(1)设设aan n 的首项为的首项为 a a1 1, ,公差为公差为 d,d, 则则 1 1 24, 32 39, 2 ad ad 解得解得 1 2, 1, a d 于是于是 S S4 4=4=42+2+ 43 2 1=14,1=14,故选故选 A.A.
13、(2)(2)设设aan n 的首项为的首项为 a a1 1, ,公差为公差为 d,d, 则有则有 1 1 2612, 2, ad ad 解得解得 1 0, 2, a d 于是于是 S S6 6=6=60+0+ 65 2 2=30.2=30. 答案答案: : (1)A(1)A (2)30(2)30 【备用例备用例1 1】 已知已知aan n 是等差数列是等差数列,S,Sn n为其前为其前n n项和项和,n,nN N* *,a,a3 3=16,S=16,S20 20=20, =20,若若 S Sn n=110,=110,则则n=n= . . 解析解析: :设设aan n 的公差为的公差为 d,d,
14、则则 a a1 1+2d=16,+2d=16, 20a20a1 1+ + 20 19 2 d=20,d=20, 解得解得 a a1 1=20,d=20,d=- -2,2, 所以所以 20n+20n+ 1 2 n n ( (- -2)=110,2)=110, 即即 n n 2 2- -21n+110=0, 21n+110=0, 所以所以 n=10n=10 或或 n=11.n=11. 答案答案: :1010或或1111 等差数列前等差数列前n n项和的最值问题项和的最值问题 题型二题型二 【教师备用教师备用】 1.1.等差数列等差数列aan n 的前的前n n项和公式一定是关于项和公式一定是关于n
15、 n的二次函数吗的二次函数吗? ? 提示提示: :设等差数列设等差数列aan n 的首项为的首项为 a a1 1, ,公差为公差为 d,d,则则 S Sn n= = 1 2 n n aa =na=na1 1+ + 1 2 n n d d = = 2 d n n 2 2+ +（ （a a1 1- - 2 d ）n.n.当当 d=0d=0 时时,S,Sn n=na=na1 1, ,不是关于不是关于 n n 的二次函数的二次函数, ,当当 d d0 0 时时,S,Sn n是是 关于关于 n n 的二次函数的二次函数. . 2.2.设等差数列设等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n
16、则则S Sn n的最值情况与首项的最值情况与首项a a1 1, ,公差公差d d的正负的正负 性有什么关系性有什么关系? ? 提示提示: : a a1 1与与d d的正负性的正负性 S Sn n的最值情况的最值情况 a a1 10,d00,d0 S S1 1是是S Sn n的最小值的最小值 a a1 10,d0,d0,0,所以所以 d0,a14140;n6 6 时时,a,an n0, 所以所以 a a1 1,a,a2 2, ,a,a11 11,a,a1212均为正数均为正数, ,而而 a a1414及以后各项均为负数及以后各项均为负数. . 所以当所以当 n=12n=12 或或 1313 时时
17、,S,Sn n有最大值为有最大值为 S S12 12=S=S1313=130.=130. 【备用例备用例2 2】 在等差数列在等差数列aan n 中中, ,已知已知a a1 1=20,=20,前前n n项和为项和为S Sn n, ,且且S S10 10=S =S15 15, ,求当 求当n n 取何值时取何值时,S,Sn n有最大值有最大值, ,并求出它的最大值并求出它的最大值. . 法二法二 S Sn n=An=An 2 2+Bn, +Bn, 由题意对应函数由题意对应函数 y=Axy=Ax 2 2+Bx +Bx 的对称轴为的对称轴为 x=x= 1015 2 =12.5,=12.5, 故当故当
18、 n=12n=12 或或 1313 时时,S,Sn n有最大值有最大值. . 则则 25 , 22 20, B A AB 解得解得 5 , 6 125 . 6 A B 所以所以 S S13 13=S=S1212= =- - 5 6 1212 2 2+ +125 6 12=13012=130 为最大值为最大值. . 等差数列前等差数列前n n项和的性质及应用项和的性质及应用 题型三题型三 解解: :法一法一 设设aan n 的首项为的首项为 a a1 1, , 公差为公差为 d.d. 1 1 1 10109100, 2 1 1001009910, 2 ad ad 解得解得 a a1 1=10.9
19、9,d=10.99,d=- -0.22,0.22, 故故 S S110 110=110a=110a1 1+ + 1 2 110110109d=109d=- -110.110. 【例例3 3】 已知已知aan n 为等差数列为等差数列, ,前前1010项的和为项的和为S S10 10=100, =100,前前100100项的和项的和 S S100 100=10, =10,求前求前110110项的和项的和S S110 110. . 法二法二 设设aan n 的前的前 n n 项之和项之和 S Sn n=An=An 2 2+Bn, +Bn, 则则 10010100, 1000010010, AB A
20、B 解得解得 A=A=- - 11 100 ,B=,B= 111 10 , , 所以所以 S S110 110=12100A+110B=110(110A+B)=12100A+110B=110(110A+B)=- -110.110. 法三法三 因因 S S100 100- -S S1010=a=a1111+a+a1212+ +a+a100100= = 11100 90 2 aa = =- -90,90, 所以所以 a a1 1+a+a110 110=a=a1111+a+a100100= =- -2.2.所以所以 S S110110= = 1110 110 2 aa = = 1102 2 = =-
21、 -110.110. 法四法四 数列数列 S S10 10,S,S2020- -S S1010,S,S3030- -S S2020, ,S,S100100- -S S9090,S,S110110- -S S100100成等差数列成等差数列, ,设其设其 公差为公差为 D,D,前前 1010 项和项和 10S10S10 10+ + 109 2 D=SD=S100 100=10=10D=D=- -22,22, 所以所以 S S110 110- -S S100100=S=S1010+(11+(11- -1)D=100+101)D=100+10( (- -22)=22)=- -120.120. 所以所
22、以 S S110 110= =- -120+S120+S100100= =- -110.110. 题后反思题后反思 (1)(1)求数列的前求数列的前n n项和有着不同的途径项和有着不同的途径, ,特别是运用一些等差数特别是运用一些等差数 列的性质和等差数列前列的性质和等差数列前n n项和的性质使问题解决变得很简单项和的性质使问题解决变得很简单. . (2)(2)等差数列的前等差数列的前 n n 项和项和 S Sn n的主要性质的主要性质 S Sn n= = 1 2 n n aa = = 1 2 mn m n aa . . 项的个数的“奇偶”性质项的个数的“奇偶”性质: : 等差数列等差数列aa
23、n n 中中, ,公差为公差为 d.d. a.a.若共有若共有 2n2n 项项, ,则则 S S2n 2n=n(a=n(an n+a+an+1n+1);S);S偶偶- -S S奇奇=nd;S=nd;S偶偶S S奇奇=a=an+1n+1a an n. . b.b.若共有若共有 2n+12n+1 项项, ,则则 S S2n+1 2n+1=(2n+1)a=(2n+1)an+1n+1; ;S S偶偶- -S S奇奇= =- - 1n a ;S;S偶 偶S S奇奇=n=n(n+1).(n+1). 和的比值与项的比值间的性质和的比值与项的比值间的性质: :设设 S Sn n,S,Sn n 分别为等差数列分
24、别为等差数列aan n,b,bn n 的的 前前 n n 项和项和, ,则则 a an nb bn n=S=S2n 2n- -1 1S S2n2n- -1 1. “片断和片断和”性质性质: :等差数列等差数列aan n 中中, ,公差为公差为 d,d,前前 k k 项的和为项的和为 S Sk k, ,则则 S Sk k,S,S2k 2k- -S Sk k,S,S3k3k- -S S2k2k, ,S,Smkmk- -S S(m(m- -1)k1)k, ,构成公差为构成公差为 k k 2 2d d 的等差数列 的等差数列. . 即时训练即时训练3 3 1:1:等差数列等差数列aan n 的前的前m
25、 m项和为项和为30,30,前前2m2m项和为项和为100,100,求它的前求它的前3m3m项和项和. . 解解: :法一法一 设等差数列设等差数列aan n 的公差为的公差为 d,d,则则 1 21 1 30, 2 221 2100, 2 m m m m Smad mm Smad - -得得 mama1 1+ + 2 3 2 mm d=70,d=70, 所以所以 S S3m 3m=3ma=3ma1 1+ + 331 2 mm d=3d=3（mama1 1+ + 2 3 2 mm d d）=3=370=210.70=210. 法二法二 因为数列因为数列 S Sm m,S,S2m 2m- -S
26、Sm m,S,S3m3m- -S S2m2m成等差数列成等差数列, , 所以所以 2(S2(S2m 2m- -S Sm m)=S)=Sm m+S+S3m3m- -S S2m2m, ,所以所以 S S3m3m=3(S=3(S2m2m- -S Sm m)=3)=3(100(100- -30)=210.30)=210. 【备用例【备用例 3 3】 有两个等差数列有两个等差数列aan n,b,bn n 满足满足 123 123 n n aaaa bbbb = = 72 3 n n , ,求求 5 5 a b . . 解解: :法一法一 设等差数列设等差数列aan n 、bbn n 公差分别为公差分别为
27、 d d1 1、d d2 2, , 则则 123 123 n n aaaa bbbb = = 11 12 1 2 1 2 n n nad n n nbd = = 11 12 1 2 1 2 n ad n bd , , 则有则有 11 12 1 2 1 2 n ad n bd = = 72 3 n n , , 又由于又由于 5 5 a b = = 11 12 4 4 ad bd , , 观察、观察、, ,可在中取可在中取 n=9,n=9,得得 11 12 4 4 ad bd = = 792 93 = = 65 12 . .故故 5 5 a b = = 65 12 . . 法二法二 设设aan n
28、 、bbn n 前前 n n 项和分别为项和分别为 A An n、B Bn n, , 则有则有 n n A B = = 72 3 n n , ,其中其中 A An n= = 1 2 n aan . . 由于由于 a a1 1+a+a9 9=2a=2a5 5, ,即即 19 2 aa =a=a5 5, , 故故 A A9 9= = 19 9 2 aa =a=a5 59.9. 同理同理 B B9 9=b=b5 59.9. 故故 9 9 A B = = 5 5 9 9 a b . . 故故 5 5 a b = = 9 9 A B = = 792 93 = = 65 12 . . a an n与与S
29、Sn n的关系及其应用的关系及其应用 题型四题型四 解解: :根据根据 S Sn n=a=a1 1+a+a2 2+ +a+an n- -1 1+a+an n与与 S Sn n- -1 1=a=a1 1+a+a2 2+ +a+an n- -1 1(n1),(n1), 可知可知, ,当当 n1n1 时时,a,an n=S=Sn n- -S Sn n- -1 1=n=n 2 2+ +1 2 n n- - (n(n- -1)1) 2 2+ +1 2 (n(n- -1)1) =2n=2n- - 1 2 .(*).(*) 当当 n=1n=1 时时,a,a1 1=S=S1 1=1=1 2 2+ +1 2 1
30、 1= = 3 2 , ,也满足也满足(*)(*)式式. . 所以数列所以数列aan n 的通项公式为的通项公式为 a an n=2n=2n- - 1 2 . . 由此可见由此可见, ,数列数列aan n 是以是以 3 2 为首项为首项, ,公差为公差为 2 2 的等差数列的等差数列. . 【例【例4 4】 已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n=n=n 2 2+ +1 2 n,n,求这个数列的通项公式求这个数列的通项公式. . 这个数列是等差数列吗这个数列是等差数列吗? ?如果是如果是, ,它的首项与公差分别是什么它的首项与公差分别是什么? ? 题后反思题后反思
31、已知已知a an n与与S Sn n的关系的关系, ,求求a an n的步骤的步骤: : (1)(1)当当n2n2时时, ,用用a an n=S=Sn n- -S Sn n- -1 1计算得到计算得到a an n; ; (2)(2)当当n=1n=1时时, ,用用a a1 1=S=S1 1计算得到计算得到a a1 1的值的值; ; (3)(3)检验检验(2)(2)中中a a1 1的值是否满足的值是否满足(1)(1)中得到的中得到的a an n, ,若满足若满足, ,则通项公式就是则通项公式就是a an n; ;若若 不满足不满足, ,则用分段的形式表示则用分段的形式表示. . 解解: :因为因为
32、 lg(Slg(Sn n+1)=n+1,+1)=n+1, 所以所以 S Sn n+1=10+1=10 n+1n+1. . 即即 S Sn n=10=10 n+1n+1- -1. 1. 当当 n=1n=1 时时,a,a1 1=S=S1 1=10=10 2 2- -1=99, 1=99, 当当 n n2 2 时时,a,an n=S=Sn n- -S Sn n- -1 1=(10=(10 n+1n+1- -1) 1)- -(10(10 n n- -1)=9 1)=91010 n n, , 从而从而, ,数列数列aan n 的通项公式为的通项公式为 a an n= = 99,1, 9 10 ,2. n
33、 n n 即时训练即时训练 4 4 1:1:已知数列已知数列aan n 的前的前 n n 项和为项和为 S Sn n, ,且且 lg(Slg(Sn n+1)=n+1,+1)=n+1,求通项求通项 公式公式. . 解解: :当当 n=1n=1 时时,a,a1 1=S=S1 1=3;=3; n n2 2 时时,a,an n=S=Sn n- -S Sn n- -1 1=3=3 n n- -3 3n n- -1 1=2 =23 3 n n- -1 1. . 当当 n=1n=1 时代入时代入 a an n=2=23 3 n n- -1 1 得得 a a1 1=2=23.3. 所以所以 a an n= = 1 3,1, 2 3,2. n n n 【备用例【备用例 4 4】 已知数列已知数列aan n 的前的前 n n 项和项和 S Sn n=3=3 n n, ,求 求 a an n. . 点击进入课时作业点击进入课时作业 点击进入周练卷点击进入周练卷 谢谢观赏谢谢观赏 Thanks!Thanks!
