1、第二章 数 列 2.5 等比数列的前n项和(二) 1.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题. 2.应用方程的思想方法解决与等比数列前n项和有关的问题. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 1.等比数列an的前 n 项和为 Sn， 当公比 q1 时， Sna 11q n 1q a 1q n1 q1 a 1anq 1q a1qn q1 a1 q1； 当 q1 时，Sn . 知识梳理 自主学习 知识点一 等比数列的前n项和的变式 答案 na1 2.当公比 q1 时，等比数列的前 n 项和公式是 Sna 11q n 1q ，它可以变 形为 Sn a
2、1 1q q n a1 1q，设 A a1 1q，上式可写成 Sn .由 此可见，非常数列的等比数列的前 n 项和 Sn是由关于 n 的一个指数式与 一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数. 当公比 q1 时，因为 a10，所以 Snna1是 n 的正比例函数(常数项为 0 的一次函数). 答案 AqnA 解析 由题an是等比数列， 3n的系数与常数项互为相反数， 而3n的系数为1 3， k 1 3. 思考 在数列an中，an1can(c为非零常数)且前n项和Sn3n1k， 则实数k等于_. 答案 1 3 知识点二 等比数列前n项和的性质 1.连续m项的和(如Sm、S2mSm、S
3、3mS2m)仍构成 数列.(注意：q 1或m为奇数) 2.SmnSmqmSn(q为数列an的公比). 3.若an是项数为偶数、公比为q的等比数列，则S偶 S奇 . 答案 等比 q 思考 在等比数列an中，若a1a220，a3a440，则S6等于( ) A.140 B.120 C.210 D.520 返回 解析答案 解析 S220，S4S240，S6S480， S6S480S24080140. A 题型探究 重点突破 题型一 等比数列前n项和的性质 例1 (1)等比数列an中，S27，S691，则S4_. 解析答案 解析 数列an是等比数列， S2，S4S2，S6S4也是等比数列， 即7，S47
4、,91S4也是等比数列， (S47)27(91S4)，解得S428或S421. 又S4a1a2a3a4a1a2a1q2a2q2 (a1a2)(1q2)S2 (1q2)0， S428. 28 (2)等比数列an共有2n项，其和为240，且(a1a3a2n1)(a2 a4a2n)80，则公比q_. 解析答案 反思与感悟 解析 由题S奇S偶240，S奇S偶80， S奇80，S偶160， qS偶 S奇2. 2 跟踪训练 1 (1)设等比数列an的前 n 项和为 Sn， 若S6 S33， 则 S9 S6等于( ) A.2 B.7 3 C.8 3 D.3 解析答案 (2)一个项数为偶数的等比数列，各项之和
5、为偶数项之和的4倍，前3项之 积为64，求通项公式. 解析答案 解 设数列an的首项为a1，公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记 为S奇、S偶，由题意知 S奇S偶4S偶，即S奇3S偶. 数列an的项数为偶数，qS 偶 S奇 1 3. 又 a1 a1q a1q264，a3 1 q 364，即 a 112. 故所求通项公式为 an12 1 3 n1. 题型二 等比数列前n项和的实际应用 例2 小华准备购买一台售价为5 000元的电脑，采用分期付款方式， 并在一年内将款全部付清.商场提出的付款方式为：购买2个月后第1次 付款，再过2个月后第2次付款，购买12个月后第6次付款，每次付 款金额相同，约
6、定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期 付款金额是多少. 解析答案 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建 设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入 将比上年减少1 4，本年度当地旅游收入估计为400万元，由于该项建设对 旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增长1 5.设n年内 (本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn 的表达式. 返回 题型三 新情境问题 例3 定义：若数列An满足An1An，则称数列An为“平方数列”. 已知数列an中，a12，点(an，a
7、n1)在函数f(x)2x22x的图象上，其 中n为正整数. (1)证明：数列2an1是“平方数列”，且数列lg(2an1)为等比数列； 解析答案 2 (2)设(1)中“平方数列”的前n项之积为Tn，则Tn(2a11)(2a2 1) (2an1)，求数列an的通项及Tn关于n的表达式； 解析答案 解 lg(2a11)lg 5，lg(2an1)2n1lg 5. 2an1 1 2 5 n ，an1 2( 1 2 5 n 1). lg Tnlg(2a11)lg(2a21)lg(2an1) lg 512 n 12 (2n1)lg 5， Tn 1. 2 5 n (3)对于(2)中的Tn，记bnlog Tn
8、，求数列bn的前n项和Sn，并求使 Sn4 024的n的最小值. 解析答案 2an1 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3 把一个边长为1正方形等分成九个相等的小正方形，将中间 的一个正方形挖掉(如图(1)；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小 正方形，并将中间的一个正方形挖掉(如图(2)；如此继续下去，则： (1)图(3)共挖掉了_个正方形； 解析 89173. 73 解析答案 (2)第n个图形共挖掉了_个正方形，这些正方形的面积和是_. 解析 设第n个图形共挖掉an个正方形，则a11，a2a18，a3a2 82，anan18n1(n2)，所以an18828n18 n1 7 (n2). 当n1
9、时，a11也满足上式，所以an8 n1 7 . 原正方形的边长为1，则这些被挖掉的正方形的面积和为 1 1 3 28 1 3 482 1 3 68n1 1 3 2n 1 91 8 9 n 18 9 1 8 9 n. 8n1 7 1 8 9 n 返回 当堂检测 1 2 3 4 1.等比数列an中，a1a2a31，a44，则a2a4a6a2n等于( ) 解析答案 A.2n1 B.4 n1 3 C.14 n 5 D.12 n 3 2.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树 的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(nN*)等于( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析 设每
10、天植树棵数为an，则an是等比数列， an2n(nN*，n为天数). 由题意得222232n100， 2n150， 2n51， n6. 需要的最少天数n6. 1 2 3 4 D 解析答案 1 2 3 4 3.等比数列an的前m项和为4，前2m项和为12，则它的前3m项和是( ) A.28 B.48 C.36 D.52 A 解析 易知Sm4，S2mSm8， S3mS2m16， S3m121628. 解析答案 1 2 3 4 解析答案 4.已知数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，a1，a7，a4成等差数列. 求证：2S3，S6，S12S6成等比数列. 课堂小结 1.等比数列前n项和的性质. 2.等比数列中用到的数学思想 (1)分类讨论的思想：利用等比数列前n项和公式时要分公比q1和 q1两种情况讨论； 研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a10，q1或a10,0q1时为递减数列；当q0 且 q1)常和指数函 数相联系；等比数列前 n 项和 Sn a1 q1 (q n1)(q1).设 A a1 q1，则 Sn A(qn1)也与指数函数相联系. (3)整体思想：应用等比数列前 n 项和时，常把 qn， a1 1q当成整体求解.
