1、 苏锡常镇四市 2020 届高三教学情况调研（一） 数学试题 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.不需要写出解答过程，请把答案直接 填写在答题卡相应位置上。 1.已知i为虚数单位，复数 1 1 z i ，则z 2.已知集合Ax0x1，Bxa1x3，若AB中有且只有一个元素，则实数a的 值为 3.已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是 4.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 22 2 1(0) 4 xy a a 的一条渐近线 方程为 2 3 yx，则a 5.甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 1 2 ，乙获胜的概率是 1 3 ，则乙不输
2、的概率是 6.右图是一个算法的流程图，则输出的x的值为 7.“直线l1:axy10与直线l2:4xay30平行”是“a2”的 条件. （填“充分不必 要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”） 8.已知等差数列an的前n项和为Sn，a19， 95 95 SS 4，则an 9.已知点M是曲线y2lnxx23x上一动点，当曲线在M处的切线斜率取得最小值时，该切线 的方程为 10.已知3cos24sin( 4 )，(, 4 )，则sin2= 11.如图在矩形ABCD中，E为边AD的中点，AB1，BC2.分别以A，D为圆心，1为半径 作圆弧EB，EC，将两圆弧EB，EC及边BC所围成的
3、平面图形（阴影部分）绕直线AD旋转 一周，所形成的几何体的体积为 12.在 ABC中， ，若角A的最大值为 6 ，则实数的值是 13.若函数f(x)ax(a0 且 a1)在定义域m，n上的值域是m2，n2(1mn)，则a的取值范围 是 14.如图，在ABC中，AB4，D是AB的中点，E在边AC上，AE2EC，CD与BE交于点 O，若OB2OC，则ABC面积的最大值为 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分分.请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。证明过程或演算步骤。 15.（本小题
4、满分 14 分） 在ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，且满足bcosA3asinB0 （1）求A； （2）已知a23，B 3 ，求ABC的面积. 16.（本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BDBC，PCD为正三角形， 平面PCD平面ABCD，E为PC的中点. （1）证明：AP平面EBD； （2）证明：BEPC. 17.（本小题满分 14 分） 某地为改善旅游环境进行景点改造.如图，将两条平行观光道l1和 l2通过一段抛物线形状的栈道 AB连通（道路不计宽度） ，l1和 l2所在直线的距离为 0.5（百米） ，对岸堤岸线l3平行于观光
5、道 且与l2相距 1.5（百米） （其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l3，且交l3于M） ， 在堤岸线l3上的E，F两处建造建筑物，其中E，F到M的距离为 1（百米） ，且F恰在B的 正对岸（即BFl3）. （1）在图中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程； （2）游客（视为点P）在栈道AB的何处时，观测EF的视角（EPF）最大？请在（1）的坐 标系中，写出观测点P的坐标. 18.（本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 1 2 ， 且经过点（1， 3 2 ） ，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，
6、过左焦点F的直线l交椭圆C于D， E两点（其中D 在 x轴上方）. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若AEF 与BDF的面积比为1:7，求直线l的方程. 19.（本小题满分 16 分） 已知函数f(x) 2 3 x3mx2m2x（mR）的导函数( )fx （1）若函数g(x)f(x) ( )fx存在极值，求m的取值范围； （2）设函数h(x) ()(ln ) x fefxf(lnx)（其中e为自然对数的底数） ，对任意mR，若关于 x的不等式h(x)m2k2在（0，）上恒成立，求正整数k的取值集合. 20.（本小题满分 16 分） 已知数列an，bn，数列cn满足 （1）若ann，bn2n，
7、求数列cn的前2n项和T2n； （2）若数列an为等差数列，且对任意nN*，cn1cn恒成立. 当数列bn为等差数列，求证：数列an，bn的公差相等； 数列bn能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列bn；若不能，请说明理由. 2019 年2020 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一） 数学（附加题） A.选修4-2；矩阵与变换（本小题满分 10 分） 已知矩阵，且二阶矩阵M满足AMB，求M的特征值及属于各特征 值的一个特征向量。 B.选修4-4；坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为，以原点O 为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，
8、曲线C的极坐标方程为4sin。 （1）求曲线C的普通方程； （2）求曲线l和曲线C的公共点的极坐标。 C.选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分） 已知正数x，y，z满足xyzt（t为常数） ，且 22 2 49 xy z的最小值为 8 7 ，求实数t的值。 22.（本小题满分 10 分） 某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满 200 元，有一次抽奖机会（即满 200 元可以抽奖一次， 满 400 元可以抽奖两次， 依次类推） 。 抽奖的规则如下： 在一个不透明口袋中装有编号分别为1， 2，3，4，5的 5 个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的 小球均不
9、放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如1，2，5） ，则获得一等奖，奖金 40 元；若摸得的小球编号一次比一次小（如5，3，1） ，则获得二等奖，奖金 20 元；其余情况获 得三等奖，奖金 10 元. （1）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望; （2）赵四购物恰好满 600 元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为 60 元的概 率. 23.（本小题满分 10 分） 已知抛物线C:x24py（p为大于 2 的质数）的焦点为F，过点F且斜率为k(k0)的直线交C 于 A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点E，抛物线C在点A，B处的切线相交于点 G.记四边形AEBG的面积为S. （1）求点G的轨迹方程； （2） 当点G的横坐标为整数时，S是否为整数？若是， 请求出所有满足条件的S的值； 若不是， 请说明理由. 参考答案 12、3 13、 14、 15、 16、 17、
