1、(i)(i)基本函數及其圖形介紹基本函數及其圖形介紹 函數函數:所謂函數是兩個集合元素間的一種對應關係,但此種對應關係具有方向性,意即集合A中的甲元素對應到集合B中的乙元素和集合B中的乙元素對應到集合A中的甲元素意義是完全不同的。一般的表示方法為 ,其中A,B為集合,而f 表示函數的對應關係,BAf:即若 ,則 。我們稱A為函數f 的定義域(Domain),而B則稱之為函數f 的值域(Range),其中值域中每一個元素皆能被定義域中的某一元素對應到,亦即 。以下我們只討論有關數字的函數。習慣上若不特別表示,則任一函數的定義域為實數集合 或此函數在 中為有意義定義有意義定義(well defin
2、ed)的子集合,此定義域稱為自然定義域自然定義域(Natural Domain)。AaBaf)(|)()(AaafAfBRR例如 的定義域 為 ,而值域為 。所有直角座標上滿足y=f(x)的點所成的集合稱之為函數f 的圖形,其中變數x屬於f 的定義域。一個函數f 定義為y=f(x)=mx+b 則稱此為線性函數線性函數(Linear Function)。11)(xxf1R0R斜率和直線方程式斜率和直線方程式(Slopes and Equations of Lines)線性函數所對應的直線方程式,其圖形如下圖所示直線的斜率斜率(Slope of Line)圖1中直線的斜率定義為1212xxyym例
3、1:求通過以下給定兩點的直線斜率。(a)(-7,6)和(4,5)解:直線斜率為(b)(5,-3)和(-2,-3)解:直線斜率為(c)(2,-4)和(2,3)解:直線斜率為為無定義,此為當直線平行y軸時的情況。111)7(465m07052)3(3m0722)4(3m若a,b,c為常數,且a,b不全為0,x和y為變數,則方程式ax+by=c稱為直線方程式,其圖形為一條直線。當b0時,對應一線性函數。當b=0時,雖然不對應任何線性函數,但其圖形則為垂直於x軸的直線。bcxbayacx 例2:求斜率為 通過(0,-3)的直線方程式。解:43xyxym30)3(43124)3(43yyx斜截式斜截式(
4、The Slope-Intercept Form)若已知直線的斜率為m,y軸的截距為b,即通過點(0,b),則根據斜率的定義得此直線的方程式 y-b=m(x-0)經過移項後得一稱之為斜截式的直線方程式 y=mx+b下圖為斜截式的圖形例3:利用斜截式求y-截距為 ,而斜率為 的直線方程式。解:2725bmxy2725xy點斜式點斜式(The Point-Slope Form)根據相似三角形定理,圖1中直線上任一點P(x,y)和點A所形成的直線斜率和點A及點B所形成的直線斜率相等,亦即111212xxyyxxyym故此條直線的方程式為)(11xxmyy例4:利用點斜式求斜率為 通過(3,-7)的直
5、線方程式。解:)(11xxmyy)3(45)7(xy45)3(457xy4354 xy例5:利用點斜式求通過(5,4)和(-10,-2)的直線方程式。解:斜率 。令 ,則5215651042m)4,5(),(11yx)(11xxmyy)5(524xy)5(2205xy252xy例6:求過(8,-4)和(-2,-4)的直線方程式。解:斜率010082)4(4m)4,8(),(11yx令 ,則)(11xxmyy)8(0)4(xy04 y4y垂直線的方程式垂直線的方程式(Equation of a Vertical Line)垂直於x軸的直線並不適於點斜式,其方程式為 x=kk為垂直線和x軸交點的x
6、分量。例7:求過(4,3)和(4,-6)的直線方程式。解:此為垂直線x=4。平行線平行線(Parallel Lines)若兩條直線的斜率相同,則稱這兩條直線為平行線。52例8:求過點(3,5),且平行於直線2x+5y=4的直線方程式。解:直線2x+5y=4的斜率為 直線 為過點(3,5),且平行於直線2x+5y=4的直線。)3(525xy垂線垂線(Perpendicular Lines)如圖3所示直線 和 為通過原點的垂線,則根據畢氏定理1l2l2212221),(),(),(PPdOPdOPd22122122222121)()()()(yyxxyxyx2121220yyxx12211xyxy
7、由於 和 分別為直線 和 的斜率,且由於此種幾何性質和座標的選取無關,故可知任兩條不平行於x軸或y軸的直線,垂直的充要條件為斜率的乘積為 。11xy22xy1l2l1例9:求過直線3x+4y=8和6x-10y=7交點,且垂直於直線3x+4y=8的直線方程式。解:直線3x+4y=8和6x-10y=7交點為(2,1/2)。垂直於直線3x+4y=8的直線斜率為 。故直線 為過直線3x+4y=8和6x-10y=7交點,且垂直於直線3x+4y=8的直線。34)2(3421xy例10:近幾十年來,美國16歲及超過16歲以上的人口中投入勞力工作的比例以近似固定比例的方式從1960的59.4%增加到1998年
8、的67.1%。找出描述此線性關係的方程式。解:令x=0代表1960,則x=1998-960=38代表1998年。斜率203.0387.7384.591.67m再令 ,利用點斜式可得方程式 y-5.94=0.203(x-0)y=0.203x+5.94為描述此線性關係的方程式。)94.5,0(),(11yx例11:線性方程式y=1.5457x-3067.7可用來估計從1985至1990年中淋病患者對抗生素產生抗藥性的百分比,其中x代表年份。(a)決定1998年淋病患者對抗生素產生抗藥性的百分比。解:y=1.5457x-3067.7 y=1.5457(1988)-3067.75.21998年中淋病患
9、者大約有百分之5.2%對抗生素產生抗藥性。例11:線性方程式y=1.5457x-3067.7可用來估計從1985至1990年中淋病患者對抗生素產生抗藥性的百分比,其中x代表年份。(b)指出並解釋此直線的斜率。解:斜率為1.5457,此意味著從1985至1990年中淋病患者對抗生素產生抗藥性的比例以每年百分之1.5457的比例增加。線性函數和應用線性函數和應用(Linear Functions and Applications)例12:假設經濟學家 Greg Tobin 研究數塑膠牆板的供需並得到塑膠牆板每平方碼的價格p和每月需求量q(單位為一千平方碼)之間的關係為 ,(需求函數)qqDp436
10、0)(塑膠牆板每平方碼的價格p和每月供應量q(單位為一千平方碼)之間的關係為 ,(供應函數)(a)求價格分別為$45和$18時的需求量。解:將p=45帶入得q=20,因此當價格為$45時塑膠牆板的需求量為20,000平方碼。qqSp43)(qqDp4360)(45將p=18帶入得q=56,因此當價格為$18時塑膠牆板的需求量為56,000平方碼。(b)求價格分別為$60和$12時的供應量。解:將$p=60帶入得q=80,因此當價格為$60時塑膠牆板的供應量為80,000平方碼。qqDp4360)(18qqSp43)(60將p=12帶入得q=16,因此當價格為$12時塑膠牆板的供應量為16,00
11、0平方碼。(c)將上述的需求和供應函數畫在同一座標軸上。解:如下圖所示(圖4)qqSp43)(12圖4中兩條曲線相交的點(40,30),價格30稱為 平衡價格平衡價格(equilibrium price),在此點的供應量和需求量相等,皆為40,000平方碼,此為平衡數量平衡數量 (equilibrium quantity)。例12:假設製造x個錄影帶的費用為 C(x)=12x+100 (單位為美金)製造0個錄影帶的費用為 C(0)=12(0)+100此稱為 固定成本固定成本(fixed cost)。一但公司投資固定成本製造錄影帶後,每多製造一個錄影帶的成本為何?例如製造5個和6個錄影帶的成本分
12、別為C(5)=12(5)+100=$160 和 C(6)=12(6)+100=$172因此第6個錄影帶的製造成本為$172-$160=$12$。製造第n+1個錄影帶的成本為C(n+1)-C(n)=12(n+1)+100-(12n+100)=$12數字12恰為成本函數C(x)=12x+100的斜率,亦即線性的成本函數中的斜率為多製造一個商品的成本,在某些經濟學上的書將之定義為邊際成本邊際成本(marginal cost)。例13:每多製造一批藥品的邊際成本為$10,而製造100批的成本為$1500。在成本函數為線性函數的條件下,求出成本函數C(x)。解:C(x)=mx+b,由於邊際成本等於斜率,
13、所以C(x)=10 x+b。製造100批的成本為$1500,故得 1500=10100+b 1500=1000+b 500=b亦即成本函數為C(x)=10 x+500,而其固定成本為$500損益平衡分析損益平衡分析(Break-Even Analysis)銷售x個價格為p的商品之收入函數收入函數(Revenue)為 R(x)=xp而利潤函數利潤函數(Profit)則為 P(x)=R(x)-C(x)其中C(x)為收入函數。當成本等於收入時的利潤為0,此時的銷售量稱為損益平衡量損益平衡量(break-even quantity),其由商品數量和價格所形成的對應點則稱之為損益平衡點損益平衡點(bre
14、ak-even point)。例14:一個製造家禽飼料的公司發現製造和銷售x個單位飼料的成本為 C(x)=20 x+100管理階層決定每單位飼料收費$24。(a)該公司需銷售多少飼料方能損益平衡?解:R(x)=24x,當R(x)=C(x)時方能損益平衡,所以 24x=20 x+100可得x=25,亦即該公司至少須賣出25單位的飼料方不會虧本。(b)100單位的飼料被賣出時的利潤為何?解:P(x)=R(x)-C(x)=24x-(20 x+100)=4x-100 P(100)=4(100)-100=300因此當該公司賣出100單位的飼料之利潤為$300。(c)為求得$900的利潤,該公司應賣出多少
15、單位的飼料?解:900=P(x)=4x-100 1000=4x x=250亦即該公司賣出250單位的飼料時,可得$900的利潤。非線性函數非線性函數(Nonlinear Functions)函數的代數函數的代數(The Algebra of Functions)實數函數的代數運算法實數函數的代數運算法:我們可利用實數的基本運算定義函數f,g的代數運算。若f:AB,g:CDgfRCAgf:(1)其中 為新函數f+g的值域。(2)其中 為新函數f-g的值域。gfRxgxfxgfCAx)()(:)(,gfRgfRCAgf:gfRxgxfxgfCAx)()(:)(,gfR(3)其中 為新函數fg的值域
16、。(4)其中 為新函數 的值域。fgRxgxfxgfCAx)()(:)(,fgRCAgf:fgRgfRxgCAgf0)(/:gfRxgxfxgfxgCAx)()()(,0)(/gfRgf一函數 f:AB,若(1)滿足 ,則我們稱之為非遞減函數非遞減函數(Nondecreasing Function)(2)滿足 ,則我們稱之為遞增函數遞增函數(Increasing Function)(3)滿足 ,則我們稱之為非遞增函數非遞增函數(Nonincreasing Function)(4)滿足 ,則我們稱之為遞減函數遞減函數(Decreasing Function)RBA,)()(21afaf)()(2
17、1afaf)()(21afaf)()(21afaf一函數 f:AB,且實數集合A滿足(1)若 ,滿足f(-x)=f(x),則稱函數 f 為偶函數偶函數(Even Function)。(2)若 ,滿足f(-x)=-f(x),則稱函數 f 為奇函數奇函數(Odd Function),特別地,由於f(-0)=-f(0),所以f(0)=0。RBA,AxAxAxAx例15:求以下各函數的定義域和值域。解:(a)的定義域為x1,值域為x0。解:(b)的定義域為 1)()(xxfa41)()(2xxfb1)(xxf41)(2xxf2|xxR01441t令22ttxx0142ttx0且,014ttt41或00
18、)14(tttt410ttf(x)的值域為解:(c)的定義域為R,值域為x3。解:(d)的定義域為R,值域為x1。解:(e)的定義域為3)(2 xxf3)()c(2 xxf1)()d(2xxf1)(2xxf1)()e(2xxxf1)(2xxxf 1|xxR解:21)(f)(2xxxf二次函數二次函數;平移和反射平移和反射(Quadratic Functions;Translation and Reflection)一個可表為的函數,我們稱之為二次函數二次函數(Quadratic Functions)。0,)(2acbxaxxf由上述方程式知,其圖形是由拋物線 經由水平移動(若b0),垂直放大(
19、若|a|1),垂直縮小(若0|a|1),以x軸為對稱軸映射將圖形由上往下翻轉(若af(n),意即 為遞增數列,且)(nfan由於3為集合 的上限,根據完備公設集合C的最小上限存在,我們用e表示此最小上限,且由於 為遞增,故n時,已知e為無理數,且e=2.71828.。NnnaCnaenann11事實上當x時,函數 亦趨近於e。以e為底的指數函數 特別重要,因為自然界許多現象都和此函數有關。xxxf11)(xe對數函數對數函數(Logarithmic Functions)由於指數函數 為遞增函數,所以其反函數存在,我們稱之為對數函數對數函數(Logrithmic Functions),並用 來表示,其定義域為 ,而值域為R。下圖為對數函數的典型圖形:ybx xyblogR圖9證明:根據定義,1-4和8為顯而易見。
