1、本章先引进矩阵的初等变换本章先引进矩阵的初等变换,建立矩阵的秩的概念建立矩阵的秩的概念;然后利用矩阵的秩讨论齐次线性方程组有非零解的充要然后利用矩阵的秩讨论齐次线性方程组有非零解的充要条件和非齐次线性方程组有解的充要条件条件和非齐次线性方程组有解的充要条件,等变换解线性方程组的方法等变换解线性方程组的方法.并介绍用初并介绍用初矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算算,它在解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理论的探它在解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起重要的作用讨中都可起重要的作用.为引进矩阵的初等变换为引进矩阵的初等变换,先来分析用消元法解线性方程
2、组的例子先来分析用消元法解线性方程组的例子.求解线性方程组求解线性方程组.xxxx,xxxx,xxxx,xxxx979634226442224321432143214321(1)2(1).xxxx,xxxx,xxxx,xxxx9796323222424321432143214321(B1)-2-321+5 -3.3433,6355,0222,424324324324321xxxxxxxxxxxxx(B2).3,62,0,42444324321xxxxxxxxx(B3).,x,xxx,xxxx00304244324321(B4)-2-.00,3,3,443231xxxxx(B5)量量,于是解得于
3、是解得.33443231x,xx,xx至此消元结束至此消元结束,且得到且得到(1)的同解方程组的同解方程组(B5),是方程组是方程组(1)的所有同解方程组中最简单的一个的所有同解方程组中最简单的一个,有有 4 个未知量个未知量 3 个有效方程个有效方程,应有一个自由未知量应有一个自由未知量,方程组方程组(B5)呈阶梯形呈阶梯形,可把每个台阶的第一个未知量可把每个台阶的第一个未知量(x1，x2，x4)选为非自由未知量选为非自由未知量,剩下的剩下的 x3 选为自由未知选为自由未知其中其中由于由于(B5)令令 x3=k(k 为任意实数为任意实数),则方程组的解可记作则方程组的解可记作,kkkxxxx
4、x3344321即即.kx30340111在上述消元过程中在上述消元过程中,始终把方程组看做一个整体即不始终把方程组看做一个整体即不是着眼于某一个方程的变形是着眼于某一个方程的变形,而是着眼于整个方程组变而是着眼于整个方程组变成另一个方程组成另一个方程组.其中用到以下三种变换其中用到以下三种变换:由于这三种变换都是可逆的由于这三种变换都是可逆的,因此变换前的方程组与因此变换前的方程组与项进行运算项进行运算,未知量并未参与运算未知量并未参与运算.因此因此,若记若记在上述变换过程中在上述变换过程中,实际上只对方程组的系数和常数实际上只对方程组的系数和常数解变换解变换.变换后的方程组是同解的变换后的
5、方程组是同解的,这三种变换都是方程组的同这三种变换都是方程组的同,bAB97963422644121121112)(那么上述对方程组的变换完全可以转换为对矩阵那么上述对方程组的变换完全可以转换为对矩阵 B(方方变换移植到矩阵上变换移植到矩阵上,就得到矩阵的三种初等变换就得到矩阵的三种初等变换.程组程组(1)的的)的变换的变换.把方程组的上述三种同解把方程组的上述三种同解 把定义中的把定义中的“行行”换成换成“列列”,即得矩阵的即得矩阵的的的定义定义.矩阵的初等行变换与初等列变换矩阵的初等行变换与初等列变换,统称统称.r c A A;若若 A B,则则 B A;若若 A B,B C,则则 A C
6、.数学中把具有上述三条性质的关系称为等价数学中把具有上述三条性质的关系称为等价,例如例如两个线性方程组同解两个线性方程组同解,就称这两个线性方程组等价就称这两个线性方程组等价.例如例如500031000121000000033000010420100131 :阶梯阶梯线下方的元素全线下方的元素全为零为零;每个台阶每个台阶只有一行只有一行,台阶台阶数即是非零行的数即是非零行的行数行数,阶梯线的阶梯线的竖线竖线(每段竖线每段竖线的长度为一行的长度为一行)后面的第一个元后面的第一个元素为非零元素为非零元,也也就是非零行的第就是非零行的第一个非零元一个非零元.明如何用初等行变换化矩阵为行阶梯形矩阵明如
7、何用初等行变换化矩阵为行阶梯形矩阵.这个定理我们不作证明这个定理我们不作证明,下面通过几个具体的例子说下面通过几个具体的例子说 .下面我们还是通过例子来说明该定理下面我们还是通过例子来说明该定理.从上面的例子可见从上面的例子可见,任何矩阵经单纯的初等行变换任何矩阵经单纯的初等行变换这反映了矩阵的另一个属性这反映了矩阵的另一个属性,即矩阵的秩的概念即矩阵的秩的概念.的的,所得结果也不唯一所得结果也不唯一.但一个矩阵的标准形是唯一的但一个矩阵的标准形是唯一的,标准形矩阵标准形矩阵.将矩阵化为行阶梯形矩阵的方法不是唯一将矩阵化为行阶梯形矩阵的方法不是唯一成标准形矩阵成标准形矩阵,如果再使用初等列变换
8、如果再使用初等列变换,则一定能化成则一定能化成必能化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵必能化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵,但不一定能化但不一定能化利用初等变换把一个矩阵化为行阶梯形矩阵和行最利用初等变换把一个矩阵化为行阶梯形矩阵和行最方程组只需把增广矩阵化为行最简形矩阵方程组只需把增广矩阵化为行最简形矩阵.简形矩阵简形矩阵,是一种很重要的运算是一种很重要的运算.由引例可知由引例可知,要解线性要解线性矩阵的初等变换是矩阵的一种最基本的运算，矩阵的初等变换是矩阵的一种最基本的运算，讨它的应用，需要研究它的性质，下面介绍它的一个最讨它的应用，需要研究它的性质，下面介绍它的一个最基本的性质基本的性质.为探为
9、探rc 为了证明定理为了证明定理 1，需引进初等矩阵的知识，需引进初等矩阵的知识.定理定理 1 把矩阵的初等变换与矩阵的乘法运算联系了把矩阵的初等变换与矩阵的乘法运算联系了起来，从而可以依据矩阵乘法的运算规律得到初等变换起来，从而可以依据矩阵乘法的运算规律得到初等变换的运算规律，的运算规律，也可以利用矩阵的初等变换去研究矩阵的也可以利用矩阵的初等变换去研究矩阵的乘法乘法.由定理由定理 1 可得如下推论可得如下推论.r表明，如果表明，如果A B，r即即 A 经一系列初等行经一系列初等行变换变为变换变为 B，则有可逆矩阵，则有可逆矩阵 P，使，使 PA=B.去求出这个可逆矩阵去求出这个可逆矩阵 P
10、 呢呢?由于由于 PA=BPA=BPE=PP(A,E)=(B,P)(A,E)(B,P)，r因此，如果对矩阵因此，如果对矩阵(A,E)作初等行变换，那么，当把作初等行变换，那么，当把 A 变为变为 B 时，时，E 就变为就变为 P.那么，如何那么，如何特别地，如果特别地，如果 B=E，则，则 P=A-1，即即(A,E)(E,A-1).r我们可以采用下列形式求我们可以采用下列形式求 A-1：设设 264211112A的行最简形矩阵为的行最简形矩阵为 F,求求 F，并求一个可逆矩阵并求一个可逆矩阵 P，使，使 PA=F.设设,032203120A证明证明 A 可逆，并求可逆，并求 A-1.求解矩阵方
11、程求解矩阵方程 AX=B，其中其中.520211,231221312BA例例 2 和例和例 3 是一种用初等行变换求是一种用初等行变换求 A-1 或或 A-1B 的方的方当当 A 为三阶或更高阶的矩阵时，求为三阶或更高阶的矩阵时，求 A-1 或或 A-1B 通通常都用此方法常都用此方法.这是当这是当 A 为可逆矩阵时，求解方程为可逆矩阵时，求解方程 AX=B 的方法（求的方法（求 A-1 也就是求方程也就是求方程 AX=E 的解）的解）.就是把方程就是把方程 AX=B 的增广矩阵的增广矩阵(A,B)化为行最简形，化为行最简形，从而求得方程的解从而求得方程的解.这与求解线性方程组这与求解线性方程
12、组 AX=b时把增时把增广矩阵广矩阵(A,b)化为行最简形的方法是一样的化为行最简形的方法是一样的.这方法这方法法，法，我们还是以引例中的矩阵我们还是以引例中的矩阵 B 为例为例.,bAB97963422644121121112)(矩阵矩阵 B 的行阶梯形、行最简形和标准形分别如下：的行阶梯形、行最简形和标准形分别如下：000006200001110412111B000003100030110401012B000000010000010000013B 一种方法给出矩阵的秩的定义一种方法给出矩阵的秩的定义.时，所得到的行阶梯形矩阵不唯一，时，所得到的行阶梯形矩阵不唯一，阵所含非零行的行数是唯一确
13、定的，阵所含非零行的行数是唯一确定的，这个数就是矩阵的这个数就是矩阵的但是由于这个数的唯一性尚未证明但是由于这个数的唯一性尚未证明,因此下面用另因此下面用另引例表明，用初等行变换把矩阵化为行阶梯形矩阵引例表明，用初等行变换把矩阵化为行阶梯形矩阵但所有行阶梯形矩但所有行阶梯形矩秩秩.knkmCCm n 矩阵矩阵 A 的的 k 阶子式共有阶子式共有 个个 由行列式的性质可知，在由行列式的性质可知，在 A 中当所有中当所有 r+1 阶子式全阶子式全等于零时，所有高于等于零时，所有高于 r+1 阶的子式也全等于零，阶的子式也全等于零，的秩的秩 R(A)就是就是 A 中不等于零的子式的最高阶数中不等于零
14、的子式的最高阶数因此因此由矩阵秩的定义可得：由矩阵秩的定义可得：若矩阵若矩阵 A 中有一个中有一个 s 阶子式不为零，则阶子式不为零，则R(A)s；若若 A 中所有中所有 t 阶子式全为零，则阶子式全为零，则R(A)t.若若 A 为为 m n 矩阵，则矩阵，则0 R(A)min m,n .R(AT)=R(A).设设 A 为为 n 阶方阵，则当阶方阵，则当|A|0 时时 R(A)=n,当当|A|=0 时时 R(A)n.可见，可逆矩阵的秩等于矩阵的可见，可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数.因此此可逆矩因此此可逆矩阵又称阵又称，不可逆矩阵，不可
15、逆矩阵(奇异矩阵奇异矩阵)又称又称.求矩阵求矩阵 A 和和 B 的秩，其中的秩，其中.00000340005213023012,174532321BA阵的秩是否相等呢阵的秩是否相等呢?从例从例 4 可知可知,对于一般的矩阵对于一般的矩阵,当行数与列数较高时当行数与列数较高时,按定义求秩的计算量很大按定义求秩的计算量很大.然而对于行阶梯形矩阵然而对于行阶梯形矩阵,它的它的秩就等于非零行的行数秩就等于非零行的行数,一看便知，毋须计算一看便知，毋须计算.想到用初等变换把矩阵化为行阶梯形矩阵想到用初等变换把矩阵化为行阶梯形矩阵.下面的定理对此作出了肯定的回答下面的定理对此作出了肯定的回答.因此自然因此
16、自然但两个等价矩但两个等价矩我们知道我们知道,经初等变换经初等变换,所得矩阵与原矩阵是等价的所得矩阵与原矩阵是等价的,下面用该方法求矩阵的秩下面用该方法求矩阵的秩.设设,A41461351021632305023求矩阵求矩阵 A 的秩，并求的秩，并求 A 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式.所以所以.3AR最高阶非零子式可用最高阶非零子式可用求出求出.设设,baA3651231121已知已知 R(A)=2，求，求 a 与与 b 的值的值.设设,43216063324208421221b,A求矩阵求矩阵 A 及矩阵及矩阵 B=(A,b)的秩的秩.（1）（2）（3）（4）矩阵的秩有以下性质：
17、矩阵的秩有以下性质：（6）（7）（8）（5）设设 A 为为 n 阶方阵，证明阶方阵，证明R(A+E)+R(A E)n.证明：若证明：若 Am n Bn l=C，且，且 R(A)=n,则则R(B)=R(C).在例在例 9 中，矩阵中，矩阵 A 的秩等于它的列数，这样的矩阵的秩等于它的列数，这样的矩阵称为称为.当当 A 为方阵时，列满秩矩阵就成为为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵，也就是可逆矩阵满秩矩阵，也就是可逆矩阵.因此，本例的结论当因此，本例的结论当 A 为为方阵这一特殊情形时就是矩阵秩的方阵这一特殊情形时就是矩阵秩的(4).本例另一种重要的特殊情形是本例另一种重要的特殊情形是 C=O，这时
18、结论为，这时结论为设有设有 n 个未知数个未知数 m 个方程的线性方程组个方程的线性方程组)1(,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa(1)式可以写成以向量式可以写成以向量 x 为未知元的向量方程为未知元的向量方程Ax=b,(2)以后线性方程组以后线性方程组(1)与向量方程与向量方程(2)将混同使用而不加将混同使用而不加区分，解与解向量的名称亦不加区别区分，解与解向量的名称亦不加区别.线性方程组线性方程组(1)如果有解，就称它是如果有解，就称它是，无解，就称它无解，就称它.利用系数矩阵利用系数矩阵 A 和增广矩阵和增广矩阵 B=
19、(A,b)的秩，可方便地讨论线性方程是否有解的秩，可方便地讨论线性方程是否有解(即是即是否相容否相容)以及有解时解是否唯一等问题以及有解时解是否唯一等问题.如果如果 对于线性方程组对于线性方程组 Ax=b 当当 R(A)=R(B)n 时时,含含 n r 个参数的解个参数的解可表示线性方程组可表示线性方程组的任一解，的任一解，因此解因此解(4)称为线性方程组称为线性方程组(1)的的.定理定理 3 的证明过程给出了求解线性方程组的步骤，的证明过程给出了求解线性方程组的步骤，归纳如下：归纳如下：从而也可表示线性方程组从而也可表示线性方程组的任一解，的任一解，由于由于 求解齐次线性方程组求解齐次线性方
20、程组.034,0222,022432143214321xxxxxxxxxxxx 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组.3222,2353,132432143214321xxxxxxxxxxxx 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组.5192483,13254,24653,13424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx 设有线性方程组设有线性方程组,)1(,3)1(,0)1(321321321kxkxxxxkxxxxk问问 k 取何值时，此方程组取何值时，此方程组 有唯一解；有唯一解；无解无解;有穷多解？并在有无穷多解时求其通解有穷多解？并在有无穷多解时求其通解
21、.设有三元非齐次线性方程组设有三元非齐次线性方程组,22221111mmmmdzcybxadzcybxadzcybxa下面我们来讨论三元非齐次线性方程组解的几何意下面我们来讨论三元非齐次线性方程组解的几何意义义.这时方程组中的这时方程组中的 m 个方程所表示个方程所表示,142,1232,3zyxzyxzyx该方程组有唯一解该方程组有唯一解.1,1,1则方程组的解有以下三种情况则方程组的解有以下三种情况:这时方程组中的这时方程组中的 m 个方程所表示的平面个方程所表示的平面既不交于一点既不交于一点,也不共线也不共线.的平面交于一点的平面交于一点.例如例如如图如图 3.1.这时又可分为两种情形这
22、时又可分为两种情形:R(A)=R(B)=1,即保留方程组只有一个方即保留方程组只有一个方程程,则有两个自由变量则有两个自由变量,其通解中含有两个任意常数其通解中含有两个任意常数,通通解形式为解形式为x=c1 1+c2 2+(c1,c2 为任意常数为任意常数).这时这时 例如例如,设保留方程组为设保留方程组为 x+y+z=3,则可求得其通解为则可求得其通解为.11110101121ccx则过点则过点 P(1,1,1)分别以分别以(1,-1,0)T,(1,0,-1)T 为方向向量的为方向向量的,110111:,011111:21zyxLzyxL则这两条相交直线则这两条相交直线L1,L2 所确定的平
23、面的方程即为所确定的平面的方程即为两直线的方程分别为两直线的方程分别为x+y+z=3.如图如图 3.2.,032,432,1,53zyxzyxzyxzyx R(A)=R(B)=2,即保留方程组有即保留方程组有两个方程两个方程,这时方程组的通解为这时方程组的通解为x=c +(c 为任意常数为任意常数).此时此时例如例如则其通解为则其通解为.021112 cx过点过点(-1,2,0)以以(-2,1,1)T 为方向向量作直线为方向向量作直线 L,11221:zyxL则由方程组所确定的四个平面必交于直线则由方程组所确定的四个平面必交于直线 L.如图如图3.3.,032,432,1,53zyxzyxzy
24、xzyx容易得出线性方程组理论中两个最基容易得出线性方程组理论中两个最基本的定理本的定理.由定理由定理 4 可得如下推论：可得如下推论：由由 显然，定理显然，定理 4 是定理是定理 3 中中(iii)的特殊情形，而定理的特殊情形，而定理 5 就是定理就是定理 3 中中(i).为了下一章论述的需要，下面把定理为了下一章论述的需要，下面把定理 5 推广到矩阵推广到矩阵方程方程.利用定理利用定理 6 容易得出矩阵秩的性质容易得出矩阵秩的性质(7)，即，即 下面三种变换称为矩阵的下面三种变换称为矩阵的对调两行对调两行(对调对调 i,j 两行两行,记作记作 ri rj);以数以数 k 0 乘某一行中的所
25、有元素乘某一行中的所有元素(第第 i行乘行乘 k,记作记作 ri k);把某一行所有元素的把某一行所有元素的 k倍加到另一行对应元素倍加到另一行对应元素上去上去(第第 j 行的行的 k倍加到第倍加到第 i 行上行上,记作记作 ri+krj).下面三种变换称为矩阵的下面三种变换称为矩阵的对调两列对调两列(对调对调 i,j 两列两列,记作记作 ci cj);以数以数 k 0 乘某一列中的所有元素乘某一列中的所有元素(第第 i 列乘列乘 k,记作记作 ci k);把某一列所有元素的把某一列所有元素的 k倍加到另一列对应元素倍加到另一列对应元素上去上去(第第 j 列的列的 k倍加到第倍加到第 i 列上
26、列上,记作记作 ci+kcj).矩阵的初等行变换与初等列变换矩阵的初等行变换与初等列变换,统统称为矩阵的称为矩阵的 如果矩阵如果矩阵 A 经有限次初等变换变成经有限次初等变换变成矩阵矩阵 B,则称则称,记作记作 A B.满足下面两个条件的矩阵称为满足下面两个条件的矩阵称为:(i)非零行非零行(元素不全为零的行元素不全为零的行)的标号小于的标号小于零行零行(元素全为零的行元素全为零的行)的标号的标号;(ii)设矩阵有设矩阵有 r 个非零行个非零行,第第 i 个非零行的第个非零行的第一个非零元素所在的列号为一个非零元素所在的列号为 ti(i=1,2,r),则则 t1 t2 tr.若矩阵满足若矩阵满
27、足 (i)每个非零行的第一个非零元素为每个非零行的第一个非零元素为1;(ii)每个非零行的第一个非零元素所在的列每个非零行的第一个非零元素所在的列的其他元素全为零的其他元素全为零,则称该矩阵为则称该矩阵为.如果一个矩阵的左上角为单位矩阵如果一个矩阵的左上角为单位矩阵,其他位置的元素都为零其他位置的元素都为零,则称这个矩阵为则称这个矩阵为.矩阵的等价关系有下列性质矩阵的等价关系有下列性质:A A;若若 A B,则则 B A;若若 A B,B C,则则 A C.任何矩阵都可经过单纯的初等行变任何矩阵都可经过单纯的初等行变换化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵换化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.任何矩阵任何
28、矩阵都可经过初等变换化为标准形矩阵都可经过初等变换化为标准形矩阵.设在矩阵设在矩阵 A 中有一个不等于零的中有一个不等于零的 r阶子式阶子式 D,且所有且所有 r+1 阶子式阶子式(如果存在的话如果存在的话)全全等于零等于零,那么那么 D 称为矩阵称为矩阵 A 的的,数数r称称,记作记作 R(A),并规定零矩阵的秩等并规定零矩阵的秩等于零于零.若若 A B,则则 R(A)=R(B).由单位矩阵由单位矩阵 E 经过一次初等变换得经过一次初等变换得到的矩阵称为到的矩阵称为.对调对调 E 的第的第 i 行与第行与第 j 行行;E 的第的第 i 行乘以数行乘以数 k;E的第的第 j 行的行的 k 倍加
29、到第倍加到第 i 行上去行上去.初等矩阵都是可逆的初等矩阵都是可逆的,且且(i)E(i,j)-1=E(i,j);(ii);1)(1kiEkiE(iii)E(ij(k)-1=E(ij(-k).设设 A 是一个是一个 m n 矩阵矩阵,对对 A 施行一施行一次初等行变换次初等行变换,相当于在相当于在 A 的左边乘相应的的左边乘相应的m 阶初等矩阵阶初等矩阵;对对 A 施行一次初等列变换施行一次初等列变换,相当于在相当于在 A 的右边乘相应的的右边乘相应的 n 阶初等矩阵阶初等矩阵.设设 A 为可逆矩阵为可逆矩阵,则存在有限个初则存在有限个初等矩阵等矩阵 P1,P2,Pl,使使 A=P1P2 Pl.
30、mn 矩阵矩阵 A B 的充要条件是，的充要条件是，存在存在 m 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 P 及及 n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 Q,使使 PAQ=B.n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax=0 有非零有非零解的充要条件是系数矩阵的秩解的充要条件是系数矩阵的秩 R(A)r.因为因为(P(i,j)A)-1=A-1P(i,j)-1=A-1P(i,j),所以所以,A 交换交换 i,j 两行后的逆矩阵，等于两行后的逆矩阵，等于 A-1 交换交换 i,j 两列两列.因为因为 P(i(k)A-1=A-1P(i(1/k),所以所以 A 的第的第 i 行乘行乘 k 后的逆矩阵后的逆矩阵,等于等于 A 的逆矩的逆
31、矩阵阵的第的第 i 列乘以列乘以 1/k.因为因为 P(ij(k)A-1=A-1P(ji(-k),所以所以 A 的第的第 j 行乘以数行乘以数 k 加到第加到第 i 行后的逆矩阵行后的逆矩阵,等于等于 A-1 的第的第 j 列乘以列乘以(-k)加到第加到第 i 列列.可以可以.因为初等变换不改变矩阵的秩因为初等变换不改变矩阵的秩.可以可以.其方法如下其方法如下:把把 A 和和 E 构成构成 2nn 矩阵然后对其进行初等列变换矩阵然后对其进行初等列变换,使上面的使上面的 n 阶方阶方阵变成单位矩阵阵变成单位矩阵,则下面的则下面的 n 阶方阵即为阶方阵即为 A 的逆的逆矩阵矩阵 A-1,即即EA初
32、等列变换初等列变换1AE.若若 n2n 矩阵矩阵(A,E)经有限次初等行变经有限次初等行变换后换后,左边的左边的 n 阶矩阵能化成单位矩阵阶矩阵能化成单位矩阵,则表示则表示 A 可逆可逆,否则表示否则表示 A 不可逆不可逆.但在求逆时但在求逆时,不能同时使用两种初等变换不能同时使用两种初等变换,即不能即不能交叉使用初等行变换和初等列变换交叉使用初等行变换和初等列变换.一般我们习惯一般我们习惯用初等行变换法求逆用初等行变换法求逆.?用初等行变换法求解非齐次线性方程组用初等行变换法求解非齐次线性方程组时时,先把它的增广矩阵化成行阶梯形矩阵先把它的增广矩阵化成行阶梯形矩阵.由行阶由行阶梯形矩阵容易得
33、出它的系数矩阵和增广矩阵的秩梯形矩阵容易得出它的系数矩阵和增广矩阵的秩,若它们不等若它们不等,则方程组无解则方程组无解;若它们相等若它们相等,则方程则方程组有解组有解,这时这时,需把增广矩阵进一步化成行最简形需把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵矩阵.其次其次,写出行最简形矩阵所对应的方程组写出行最简形矩阵所对应的方程组,并并把行最简形矩阵中每个阶梯上的第一个把行最简形矩阵中每个阶梯上的第一个1所对应所对应的变量保留在左边的变量保留在左边,其余变量移到右边作为自由其余变量移到右边作为自由变量变量;最后令自由变量等于任意常数最后令自由变量等于任意常数,即可得方即可得方程组的解程组的解.R(A)R(B
34、)R(A)-1.当划掉的这一行可由其他行通过运算得到当划掉的这一行可由其他行通过运算得到时时,不改变矩阵的秩不改变矩阵的秩,即即 R(A)=R(B),这时划掉的这时划掉的这一行为矩阵这一行为矩阵 A 的行阶梯形矩阵中的零行的行阶梯形矩阵中的零行;否则否则秩会改变秩会改变,且且 R(B)=R(A)-1.这时划掉的这一行这时划掉的这一行为矩阵为矩阵A 的行阶梯形矩阵中的非零行的行阶梯形矩阵中的非零行.如如435251231231A划掉第划掉第 3 行行,51231231B此时此时 R(A)=R(B)=2.因为因为435251231231Ar3+r1-r2,0000512312311A显然显然,R(
35、A1)=R(B),而而 R(A)=R(A1),故故 R(A)=R(B).又如又如224101521111A划掉第划掉第 3 行行,01521111B224101521111A 行变换行变换,3000233011111A因为因为 R(A)=3,而而 R(B)=2,故故 R(A)R(B).因因 A 可逆可逆,所以所以 X=A-1B.又由又由 A-1(A，B)=(E，A-1B)，而而 A-1 为可逆矩阵为可逆矩阵,故有故有 A-1=P1P2 Pl,其中其中 Pi(i=1,2,l)为初等矩阵为初等矩阵,则则 A-1(A,B)=P1P2 Pl(A,B)=(E,A-1B),这说明若对矩阵这说明若对矩阵(A
36、,B)施行初等行变换施行初等行变换,当把当把 A 变为变为 E 时时,B 就变为就变为 A-1B,也即为所求的矩阵也即为所求的矩阵 X.;1254101213750121)1(;2418310167151101)2(;601321275157022)3(.1121363671212)4(272121 ;2101210121A;1352431212A;3235131233A.41210312002100014A;028210,02647,0223,0232(1)542154321432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxx;0793,083,032,05(2)4321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx;34,332,6133,053(3)321321321321xxxxxxxxxxxx.1749,5243,1635,11325(4)421432143214321xxxxxxxxxxxxxxx ;120123011220111(1)X;210321210121012(2)X.012011111214211310101121021)3(X
