1、第第3课时课时立体几何初步立体几何初步知识梳理知识梳理构建体系构建体系专题归纳专题归纳核心突破核心突破 知识梳理知识梳理构建体系构建体系知识网络知识网络要点梳理要点梳理1.证明线线平行的常用方法证明线线平行的常用方法(1)利用基本事实利用基本事实4,即证明两直线即证明两直线同时同时和第三条直线平行和第三条直线平行;(2)利用平行四边形进行转换利用平行四边形进行转换;(3)利用三角形利用三角形中位线中位线定理证明定理证明;(4)利用线面平行、面面平行的利用线面平行、面面平行的性质性质定理证明定理证明.2.证明线面平行的常用方法证明线面平行的常用方法(1)利用定义利用定义,证明直线与平面无公共点证
2、明直线与平面无公共点;(2)利用线面平行的利用线面平行的判定判定定理定理,从直线与直线平行得到直线与从直线与直线平行得到直线与平面平行平面平行;(3)利用面面平行的利用面面平行的性质性质定理定理,两个平面平行两个平面平行,则一个平面内的则一个平面内的直线必平行于另一个平面直线必平行于另一个平面.3.证明面面平行的方法证明面面平行的方法证明面面平行证明面面平行,依据判定定理依据判定定理,只要找到一个平面内两条只要找到一个平面内两条相交相交直线与另一个平面平行即可直线与另一个平面平行即可,从而将证面面平行转化为证线从而将证面面平行转化为证线面平行面平行,再转化为证线线平行再转化为证线线平行.4.证
3、明线线垂直的常用方法证明线线垂直的常用方法(1)利用利用特殊特殊平面图形的性质平面图形的性质,如利用直角三角形、矩形、菱如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直形、等腰三角形等得到线线垂直;(2)利用勾股定理的逆定理利用勾股定理的逆定理;(3)利用线面垂直的性质利用线面垂直的性质,即要证线线垂直即要证线线垂直,只需证明一条直线只需证明一条直线垂直垂直于另一条直线所在平面的即可于另一条直线所在平面的即可.5.证明线面垂直的常用方法证明线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的利用线面垂直的判定判定定理定理,把线面垂直的判定转化为证明把线面垂直的判定转化为证明线线垂直线线垂直;(2)利用
4、面面垂直的利用面面垂直的性质性质定理定理,把证明线面垂直转化为证面面把证明线面垂直转化为证面面垂直垂直;(3)利用常见结论利用常见结论,如两条平行线中的如两条平行线中的一条一条垂直于一个平面垂直于一个平面,则则另一条也垂直于这个平面另一条也垂直于这个平面.6.证明面面垂直的方法证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的证明面面垂直常用面面垂直的判定判定定理定理,即证明一个平面过即证明一个平面过另一个平面的垂线另一个平面的垂线,将证明面面垂直转化为证明线面垂直将证明面面垂直转化为证明线面垂直,一一般先从现有直线中寻找般先从现有直线中寻找,若图中不存在这样的直线若图中不存在这样的直线,则借助中则
5、借助中点、高线或添加辅助线解决点、高线或添加辅助线解决.【思考辨析】【思考辨析】判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画正确的在后面的括号内画“”,错误错误的画的画“”.(1)若直线若直线l与平面与平面内的无数条直线都垂直内的无数条直线都垂直,则则l.()(2)若平面若平面内的一条直线垂直于平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线内的无数条直线,则则.()(3)若若,a,则则a.()(4)直线直线a,b,则则ab.()(5)棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体.()(6)通过圆台侧面上一点通过圆台侧面上一点,有无数
6、条母线有无数条母线.()(7)过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面,它们把圆锥它们把圆锥的侧面分成的三部分的面积之比为的侧面分成的三部分的面积之比为1 3 5.()(8)棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形.()(9)棱柱的侧面的个数与底面的边数相等棱柱的侧面的个数与底面的边数相等.()(10)足球与铜鼓的表面都无法展成平面图形足球与铜鼓的表面都无法展成平面图形.()专题归纳专题归纳核心突破核心突破专题整合专题整合高考体验高考体验专题一专题一平行、垂直关系的证明平行、垂直关系的证明【例【例1】如图如图,在四棱锥在四棱锥P-
7、ABCD中中,ABCD,ABAD,CD=2AB,平面平面PAD底面底面ABCD,PAAD,E和和F分别是分别是CD和和PC的中点的中点,求证求证:(1)PA底面底面ABCD;(2)BE平面平面PAD;(3)平面平面BEF平面平面PCD.证明证明:(1)因为平面因为平面PAD底面底面ABCD,且且PA垂直于这两个平面垂直于这两个平面的交线的交线AD,所以所以PA底面底面ABCD.(2)因为因为ABCD,CD=2AB,E为为CD的中点的中点,所以所以ABDE,且且AB=DE.所以四边形所以四边形ABED为平行四边形为平行四边形.所以所以BEAD.又因为又因为BE 平面平面PAD,AD 平面平面PA
8、D,所以所以BE平面平面PAD.(3)因为因为ABAD,而且四边形而且四边形ABED为平行四边形为平行四边形,所以所以BECD,ADCD,由由(1)知知PA底面底面ABCD,所以所以PACD.又因为又因为PAAD=A,所以所以CD平面平面PAD.所以所以CDPD.因为因为E和和F分别是分别是CD和和PC的中点的中点,所以所以PDEF.所以所以CDEF.又因为又因为BEEF=E,所以所以CD平面平面BEF.又因为又因为CD 平面平面PCD,所以所以平面平面BEF平面平面PCD.垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平
9、行证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直证明线面垂直,需转化为证明线线垂直需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直证明线线垂直,需转化为证明线面垂直需转化为证明线面垂直.(4)证明面面垂直证明面面垂直,需转化为证明线面垂直需转化为证明线面垂直,进而转化为证明线进而转化为证明线线垂直线垂直.【变式训练【变式训练1】如图所示如图所示,在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中中,E是是棱棱DD1的中点的中点.(1)证明证明:平面平面ADC1B1平面平面A1BE;(2)在棱在棱C1D1上是否存在一点上是否存在一点F,使使B1F平面平面A1BE?并证明你并证
10、明你的结论的结论.(1)证明证明:因为因为ABCD-A1B1C1D1为正方体为正方体,所以所以B1C1平面平面ABB1A1.因为因为A1B 平面平面ABB1A1,所以所以B1C1A1B.又因为又因为A1BAB1,B1C1AB1=B1,所以所以A1B平面平面ADC1B1.因为因为A1B 平面平面A1BE,所以平面所以平面ADC1B1平面平面A1BE.(2)解解:当点当点F为为C1D1的中点时的中点时,可使可使B1F平面平面A1BE.证明如下证明如下:取取C1D1中点中点F,连接连接EF,B1F,所以所以EFB1O且且EF=B1O,所以所以四边形四边形B1OEF为平行四边形为平行四边形.所以所以B
11、1FOE.又因为又因为B1F 平面平面A1BE,OE 平面平面A1BE,所以所以B1F平面平面A1BE.专题二专题二求点到面的距离求点到面的距离(1)证明证明:EBFD;(2)求点求点B到平面到平面FED的距离的距离.(1)证明证明:FC平面平面BED,BE 平面平面BED,EBFC.又点又点E为为 的中点的中点,B为直径为直径AC的中点的中点,EBBC.又又FCBC=C,EB平面平面FBD.FD 平面平面FBD,EBFD.(2)解解:如图如图,在平面在平面BEC内过点内过点C作作CHED于点于点H,连接连接FH.则则由由FC平面平面BED知知,ED平面平面FCH.求点到面的距离的关键是确定过
12、点与平面垂直的线段求点到面的距离的关键是确定过点与平面垂直的线段,可通可通过外形进行转化过外形进行转化,转化为易于求解的点转化为易于求解的点,等体积法也是求点到等体积法也是求点到平面的距离的常用方法平面的距离的常用方法.解解:如图所示如图所示,连接连接PA,PB.易知易知SAC,ACB是直角三角形是直角三角形,所以所以SAAC,BCAC.取取AB,AC的中点的中点E,F,连接连接PF,EF,PE,则则EFBC,PFSA.所以所以EFAC,PFAC.因为因为PFEF=F,所以所以AC平面平面PEF.又又PE 平面平面PEF,所以所以PEAC.易易证证SAC SBC.因为因为P是是SC的中点的中点
13、,所以所以PA=PB.而而E是是AB的中点的中点,所以所以PEAB.因为因为ABAC=A,所以所以PE平面平面ABC.从而从而PE的长就是点的长就是点P到平面到平面ABC的距离的距离.专题三专题三折叠问题折叠问题【例【例3】如图如图,在平行四边形在平行四边形ABCM中中,AB=AC=3,ACM=90.以以AC为折痕将为折痕将ACM折起折起,使点使点M到达点到达点D的位的位置置,且且ABDA.(1)证明证明:平面平面ACD平面平面ABC;(2)Q为线段为线段AD上一点上一点,P为线段为线段BC上一点上一点,且且 ,求求三棱锥三棱锥Q-ABP的体积的体积.(1)证明证明:由已知可得由已知可得,BA
14、C=90,BAAC.又又BAAD,所以所以AB平面平面ACD.又又AB 平面平面ABC,所以所以平面平面ACD平面平面ABC.解决折叠问题的策略解决折叠问题的策略(1)抓住折叠前后的变量与不变量抓住折叠前后的变量与不变量.一般情况下一般情况下,在折线同侧的在折线同侧的量量,折叠前后不变折叠前后不变,“跨过跨过”折线的量折线的量,折叠前后可能会发生变化折叠前后可能会发生变化,这是解决这类问题的关键这是解决这类问题的关键.(2)在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况变化情况.注意相应的点、直线、平面间的位置关系注意相应的点、直线、平
15、面间的位置关系,线段的线段的长度长度,角度的变化情况角度的变化情况.【变式训练【变式训练3】如图如图,在矩形在矩形ABCD中中,AB=2AD,E是是AB的中的中点点,沿沿DE将将ADE折起折起.(1)如果二面角如果二面角A-DE-C是直二面角是直二面角,求证求证:AB=AC;(2)如果如果AB=AC,求证求证:平面平面ADE平面平面BCDE.证明证明:(1)过点过点A作作AMDE于点于点M,则则AM平面平面BCDE,AMBC.又又AD=AE,M是是DE的中点的中点.取取BC中点中点N,连接连接MN,AN,则则MNBC.AMBC,AMMN=M,BC平面平面AMN,ANBC.又又N是是BC中点中点
16、,AB=AC.(2)取取BC的中点的中点N,连接连接AN.AB=AC,ANBC.取取DE的中点的中点M,连接连接MN,AM,则则MNBC.又又ANMN=N,BC平面平面AMN,AMBC.又又M是是DE的中点的中点,AD=AE,AMDE.又又DE与与BC是平面是平面BCDE内的相交直线内的相交直线,AM平面平面BCDE.AM 平面平面ADE,平面平面ADE平面平面BCDE.考点一考点一空间几何体的表面积和体积空间几何体的表面积和体积1.(2019全国全国高考高考)学生到工厂劳动实践学生到工厂劳动实践,利用利用3D打印技术打印技术制作模型制作模型.如图如图,该模型为长方体该模型为长方体ABCD-A
17、1B1C1D1挖去四棱锥挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体后所得的几何体,其中其中O为长方体的中心为长方体的中心,E,F,G,H分分别为所在棱的中点别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料打印所用原料密度为密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质制作该模型所需原料的质量为量为g.解析解析:由题意得由题意得,四棱锥四棱锥O-EFGH的底面积为的底面积为点点O到平面到平面BB1C1C的距离为的距离为3 cm,又长方体又长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为的体积为V2=466=144(cm3),则该模型的体积为则该模型的体
18、积为V=V2-V1=144-12=132(cm3).故其质量为故其质量为0.9132=118.8(g).答案答案:118.82.(2019江苏高考江苏高考)如图如图,长方体长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是的体积是120,E为为CC1的中点的中点,则三棱锥则三棱锥E-BCD的体积是的体积是.解析解析:长方体长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为的体积为120,ABBCCC1=120.E为为CC1的中点的中点,CC1底面底面ABCD,答案答案:10 考点二考点二空间中点、直线、平面之间的位置关系空间中点、直线、平面之间的位置关系4.(2019全国全国高考高考)如图如图,点点N为正方形为正
19、方形ABCD的中心的中心,ECD为正三角形为正三角形,平面平面ECD平面平面ABCD,M是线段是线段ED的中点的中点,则则()A.BM=EN,且直线且直线BM,EN是相交直线是相交直线B.BMEN,且直线且直线BM,EN是相交直线是相交直线C.BM=EN,且直线且直线BM,EN是异面直线是异面直线D.BMEN,且直线且直线BM,EN是异面直线是异面直线解析解析:如图如图,连接连接BD,BE.在在BDE中中,N为为BD的中点的中点,M为为DE的中点的中点,BM,EN是相交直线是相交直线,排除选项排除选项C,D.作作EOCD于点于点O,连接连接ON.作作MFOD于点于点F,连接连接BF.平面平面C
20、DE平面平面ABCD,平面平面CDE平面平面ABCD=CD,EOCD,EO 平面平面CDE,EO平面平面ABCD.同理同理,MF平面平面ABCD.答案答案:B 5.(2019全国全国高考高考)设设,为两个平面为两个平面,则则的充要条件的充要条件是是()A.内有无数条直线与内有无数条直线与平行平行B.内有两条相交直线与内有两条相交直线与平行平行C.,平行于同一条直线平行于同一条直线D.,垂直于同一平面垂直于同一平面解析解析:由面面平行的判定定理知由面面平行的判定定理知,“内有两条相交直线与内有两条相交直线与平平行行”是是“”的充分条件的充分条件.由面面平行的性质知由面面平行的性质知,“内有两条内
21、有两条相交直线与相交直线与平行平行”是是“”的必要条件的必要条件,故选故选B.答案答案:B6.(2019北京高考北京高考)已知已知l,m是平面是平面外的两条不同直线外的两条不同直线.给出下给出下列三个论断列三个论断:lm;m;l.以其中的两个论断作为条件以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论余下的一个论断作为结论,写出写出一个正确的命题一个正确的命题:.答案答案:若若l,m,则则lm7.(2019全国全国高考高考)如图如图,直四棱柱直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是的底面是菱形菱形,AA1=4,AB=2,BAD=60,E,M,N分别是分别是BC,BB1,A1D的的中点中点.(
22、1)证明证明:MN平面平面C1DE;(2)求点求点C到平面到平面C1DE的距离的距离.(2)解解:过点过点C作作C1E的垂线的垂线,垂足为垂足为H.由已知可得由已知可得DEBC,DEC1C,且且BCC1C=C,所以所以DE平面平面C1CE,故故DECH.从而从而CH平面平面C1DE,故故CH的长即为点的长即为点C到平面到平面C1DE的距离的距离,8.(2019全国全国高考高考)如图如图,长方体长方体ABCD-A1B1C1D1的底面的底面ABCD是正方形是正方形,点点E在棱在棱AA1上上,BEEC1.(1)证明证明:BE平面平面EB1C1;(2)若若AE=A1E,AB=3,求四棱锥求四棱锥E-BB1C1C的体积的体积.(1)证明证明:由已知得由已知得B1C1平面平面ABB1A1,BE 平面平面ABB1A1,故故B1C1BE.又因为又因为BEEC1,且且EC1B1C1=C1,所以所以BE平面平面EB1C1.(2)解解:由由(1)知知BEB1=90.由题设知由题设知RtABE RtA1B1E,所以所以AEB=A1EB1=45,故故AE=AB=3,AA1=2AE=6.作作EFBB1,垂足为垂足为F,则则EF平面平面BB1C1C,且且EF=AB=3.所以所以,四棱锥四棱锥E-BB1C1C的体积的体积
