1、二元一次不等式组表示的平面区域【即时小测即时小测】1.1.思考下列问题思考下列问题(1)(1)每一个二元一次不等式组都能表示平面上一个区域每一个二元一次不等式组都能表示平面上一个区域吗？吗？提示：提示：不一定不一定.当不等式组的解集为空集时，不等式组当不等式组的解集为空集时，不等式组不表示任何图形不表示任何图形.(2)(2)不等式组表示的平面区域有何特点？不等式组表示的平面区域有何特点？提示：提示：不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的公共部分，可能是封闭的，也可能是开放平面区域的公共部分，可能是封闭的，也可能是开放的区域的区域.2.2.不等
2、式组不等式组 表示的区域为表示的区域为D D，点，点P P1 1(0(0，-2)-2)，P P2 2(0(0，0)0)，则，则()A.PA.P1 1 D D且且P P2 2 D DB.PB.P1 1 D D且且P P2 2DDC.PC.P1 1DD且且P P2 2 D DD.PD.P1 1DD且且P P2 2DDy xx y 1y3，【解析解析】选选C.C.将点将点P P1 1，P P2 2的坐标代入不等式组中的各的坐标代入不等式组中的各不等式，可知点不等式，可知点P P1 1的坐标满足三个不等式，点的坐标满足三个不等式，点P P2 2的坐的坐标不满足标不满足yxy0 x+2y+10及及x-y
3、+40 x-y+40 x+2y+10，不满足，不满足x-x-y+40.y+4020，将将(3(3，0)0)，(0(0，2)2)代入得代入得2x+3y-6=02x+3y-6=0，将，将(0(0，0)0)代入代入上式得上式得-60-6020，代入，代入x+2y+1x+2y+1，得，得1010，代入，代入2x+y+12x+y+1，得，得10.10.结合图形可知，三角形区域用不等式组可表示结合图形可知，三角形区域用不等式组可表示为为x y 2 0 x 2y 1 02x y 1 0.，【延伸探究延伸探究】将典例将典例2 2中的图形变为中的图形变为则用二元一次不等式组如何表示图中的阴影部分？则用二元一次不
4、等式组如何表示图中的阴影部分？【解析解析】阴影区域边界的直线方程分别是阴影区域边界的直线方程分别是x=0 x=0，y=0y=0，y=2y=2，2x-y+4=0.2x-y+4=0.由阴影部分知点的横坐标小于等于零，且纵坐标在由阴影部分知点的横坐标小于等于零，且纵坐标在0 0和和2 2之间，故之间，故x0 x0，0y20y2，又把原点的坐标代入，又把原点的坐标代入2x-y+42x-y+4得其值大于得其值大于0 0，故阴影部分满足不等式：，故阴影部分满足不等式：2x-y+402x-y+40，所以所求二元一次不等式组为所以所求二元一次不等式组为0 y 2x 02x y 4 0.，【方法技巧方法技巧】画
5、二元一次不等式组表示平面区域的一画二元一次不等式组表示平面区域的一般步骤般步骤【知识拓展知识拓展】含有绝对值的不等式的平面区域的表示含有绝对值的不等式的平面区域的表示法法(1)(1)去绝对值符号，从而把含绝对值的不等式转化为普去绝对值符号，从而把含绝对值的不等式转化为普通的二元一次不等式通的二元一次不等式.(2)(2)一般采用分象限讨论去绝对值符号一般采用分象限讨论去绝对值符号.(3)(3)利用对称性可避免对绝对值的讨论利用对称性可避免对绝对值的讨论.(4)(4)在方程在方程f(xf(x，y)=0y)=0或不等式或不等式f(xf(x，y)0y)0中，若将中，若将x(x(或或y)y)换成换成-x
6、(-x(或或-y)-y)，方程或不等式不变，则这个方程或，方程或不等式不变，则这个方程或不等式所表示的图形就与原方程或不等式所表示的图不等式所表示的图形就与原方程或不等式所表示的图形关于形关于y(y(或或x)x)轴对称轴对称.【变式训练变式训练】画出不等式组画出不等式组所表示的平面区域所表示的平面区域.2x y 4 0 x2yy 0 ，【解析解析】先画出直线先画出直线2x+y-4=02x+y-4=0，由于含有等号，所以，由于含有等号，所以画成实线画成实线.取直线取直线2x+y-4=02x+y-4=0左下方的区域的点左下方的区域的点(0(0，0)0)，由于由于2 20+0-400+0-42yx2
7、y表示直线表示直线x=2yx=2y右下方的区域，不等式右下方的区域，不等式y0y0表示表示x x轴及其上方的区域轴及其上方的区域.取三个区域的重叠部分，就是上述不等式组所表示的取三个区域的重叠部分，就是上述不等式组所表示的平面区域，如图所示平面区域，如图所示类型二类型二 与二元一次不等式组表示的平面区域相关问题与二元一次不等式组表示的平面区域相关问题【典例典例】1.(20151.(2015重庆高考重庆高考)若不等式组若不等式组表示的平面区域为三角形，且面积等于表示的平面区域为三角形，且面积等于 ，则，则m m的值的值为为()A.-3A.-3B.1B.1C.C.D.3D.3x y 2 0 x 2
8、y 2 0 x y 2m 0 ，43432.2.若不等式组若不等式组 所表示的平面区域被直线所表示的平面区域被直线mx+y+2=0mx+y+2=0分为面积相等的两部分，则实数分为面积相等的两部分，则实数m m的值为的值为_._.3.3.在平面直角坐标系中，不等式组在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积为表示的平面区域的面积为_._.x 0 x y 2 03x y 6 0 ，x y 2 0 x y 2 0 x 2 ，【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中画不等式组表示平面区域的根中画不等式组表示平面区域的根据是什么？据是什么？提示：提示：首先根据表示的平面区域为三角形这一条件画首
9、先根据表示的平面区域为三角形这一条件画出阴影部分，然后根据面积即可求出参数的值出阴影部分，然后根据面积即可求出参数的值.2.2.典例典例2 2中的直线中的直线mx+y+2=0mx+y+2=0是否过定点？是否过定点？提示：提示：直线过定点直线过定点(0(0，-2).-2).3.3.典例典例3 3中要求所表示的平面区域面积的关键是什么？中要求所表示的平面区域面积的关键是什么？提示：提示：关键是正确画出平面区域，再数形结合计算面关键是正确画出平面区域，再数形结合计算面积积.【解析解析】1.1.选选B.B.根据题意画出不等式组表示的平面区根据题意画出不等式组表示的平面区域如图域如图由图可知由图可知A(
10、1-mA(1-m，1+m)1+m)，B(2B(2，0)0)，且且A A为直角为直角.因为因为|AB|=|1+m|AB|=|1+m|，|AC|=|1+m|AC|=|1+m|，三角形三角形ABCABC的面积的面积S=|AB|AC|=|1+m|S=|AB|AC|=|1+m|2 2=，解得，解得m=1m=1或或m=-3.m=-3.当当m=-3m=-3时，表示的平面区域不存在，所以时，表示的平面区域不存在，所以m=1.m=1.2 4m 2 2mC()33，2231213432.2.满足不等式组满足不等式组 的平面区域的平面区域(阴影部分阴影部分)如如图所示：图所示：x 0 x y 2 03x y 6 0
11、 ，直线直线mx+y+2=0mx+y+2=0恒经过点恒经过点A(0A(0，-2)-2)，当直线，当直线mx+y+2=0mx+y+2=0经经过过BCBC的中点时，平面区域被直线的中点时，平面区域被直线mx+y+2=0mx+y+2=0分为面积相分为面积相等的两部分等的两部分.由题意知由题意知B(2B(2，0)0)，C(0C(0，-6)-6)，则，则BCBC的中的中点为点为(1(1，-3)-3)，代入直线方程，代入直线方程mx+y+2=0mx+y+2=0得：得：m=1.m=1.答案：答案：1 13.3.在平面直角坐标系中，作出在平面直角坐标系中，作出x+y-2=0 x+y-2=0，x-y+2=0 x
12、-y+2=0，和，和x=2x=2三条直线，利用特殊点三条直线，利用特殊点(0(0，0)0)可知表示的平面区域可知表示的平面区域如图阴影部分所示，如图阴影部分所示，其面积其面积S=4S=42 2 =4.=4.答案：答案：4 412【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换条件变换条件)典例典例2 2中，若将直线改为中，若将直线改为“x+my-2=0”x+my-2=0”，其他条件不变，求实数其他条件不变，求实数m m的值的值.【解析解析】满足不等式组满足不等式组 的平面区域的平面区域(阴影部阴影部分分)如图所示：如图所示：x 0 x y 2 03x y 6 0 ，直线直线x+my-2=0 x+my-2=
13、0恒过定点恒过定点(2(2，0)0)，正好为图中阴影区域，正好为图中阴影区域中的点中的点B(2B(2，0)0)，当直线，当直线x+my-2=0 x+my-2=0经过经过ACAC的中点时，平的中点时，平面区域被直线面区域被直线x+my-2=0 x+my-2=0分成面积相等的两部分，由题分成面积相等的两部分，由题意知意知A(0A(0，-2)-2)，C(0C(0，-6)-6)，则，则ACAC的中点为的中点为(0(0，-4)-4)，代，代入直线方程入直线方程x+my-2=0 x+my-2=0得得m=-.m=-.122.(2.(改变问法改变问法)将典例将典例2 2中的中的“被直线被直线mx+y+2=0m
14、x+y+2=0分为面积分为面积相等的两部分相等的两部分”改为改为“被直线被直线x+y+2=0 x+y+2=0划分划分”，求此直，求此直线将平面区域分成两部分的面积比线将平面区域分成两部分的面积比.【解析解析】由由x+y+2=0 x+y+2=0可得，直线过点可得，直线过点(0(0，-2)-2)，不等式，不等式组所表示的平面区域如图所示：组所表示的平面区域如图所示：由由 解得解得M(1M(1，-3)-3)，通过验证点，通过验证点M M正好为点正好为点BCBC的中点，因此直线的中点，因此直线x+y+2=0 x+y+2=0将阴影区域分成了面积相将阴影区域分成了面积相等的两部分等的两部分.故分成两部分的
15、面积比为故分成两部分的面积比为11.11.x y 2 03x y 6 0 ，【方法技巧方法技巧】求平面区域面积的方法求平面区域面积的方法求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积然后根据区域的形状求面积.(1)(1)若画出的平面区域是规则的，则直接利用面积公式若画出的平面区域是规则的，则直接利用面积公式求解求解.(2)(2)若平面区域是不规则的，可采用分割的方法，将平若平面区域是不规则的，可采用分割的方法，将平面区域分成几个规则图形求解面区域分成几个规则图形求解.【补偿训练补偿训练】不等式组不等式组 表示的平面区域的
16、面表示的平面区域的面积为积为_._.y xx 2y 4y2，【解析解析】作出不等式组作出不等式组 表示的平面区域，如图阴影所示表示的平面区域，如图阴影所示.可以求得点可以求得点A A的坐标为的坐标为 点点B B的坐标为的坐标为(-2(-2，-2)-2)，点点C C的坐标为的坐标为(8(8，-2)-2)，所以所以ABCABC的面积是的面积是 答案：答案：y xx 2y 4y2，4 4()3 3，1450822.233 503【延伸探究延伸探究】若本题中不等式所表示的平面区域的面若本题中不等式所表示的平面区域的面积被直线积被直线3kx+3y-4k-4=03kx+3y-4k-4=0分为面积相等的两部
17、分，求分为面积相等的两部分，求k k的值的值.【解析解析】直线直线3kx+3y-4k-4=03kx+3y-4k-4=0的方程可以化为的方程可以化为k(3x-4)+3y-4=0k(3x-4)+3y-4=0，过定点，过定点 .正好是解析中区域三正好是解析中区域三角形角形ABCABC的顶点的顶点A.A.因此只有直线过因此只有直线过BCBC中点时，直线中点时，直线3kx+3y-4k-4=03kx+3y-4k-4=0能平分平面区域能平分平面区域.因为因为B(-2B(-2，-2)-2)，C(8C(8，-2)-2)，所以，所以BCBC中点中点M(3M(3，-2).-2).将点将点M M的坐标代入直线的坐标代
18、入直线3kx+3y-4k-4=03kx+3y-4k-4=0，可得可得9k-6-4k-4=09k-6-4k-4=0，所以，所以k=2.k=2.4 4()3 3，类型三类型三 用二元一次不等式组表示实际问题用二元一次不等式组表示实际问题【典例典例】1.1.完成一项装修工程，请木工需付工资每人完成一项装修工程，请木工需付工资每人5050元，请瓦工需付工资每人元，请瓦工需付工资每人4040元，现有工人工资预算元，现有工人工资预算20002000元，设木工元，设木工x x人，瓦工人，瓦工y y人，则工人所满足的数学人，则工人所满足的数学关系式是关系式是_._.2.2.甲、乙、丙三种药品中毒素甲、乙、丙三
19、种药品中毒素A A，B B的含量及成本如下表：的含量及成本如下表：甲甲乙乙丙丙毒素毒素A(A(单位单位/千克千克)600600700700400400毒素毒素B(B(单位单位/千克千克)800800400400500500成本成本(元元/千克千克)4 49 91111某药品研究所想用某药品研究所想用x x千克甲种药品，千克甲种药品，y y千克乙种药品，千克乙种药品，z z千克丙种药品配成千克丙种药品配成100100千克新药，并使新药含有毒素千克新药，并使新药含有毒素A A不超过不超过5600056000单位，毒素单位，毒素B B不超过不超过6300063000单位单位.用用x x，y y表表示
20、新药的成本示新药的成本M(M(元元)，并画出相应的平面区域，并画出相应的平面区域.【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中的工人预算工资为中的工人预算工资为20002000元有什元有什么含义？么含义？提示：提示：其含义为工人的工资不能超过其含义为工人的工资不能超过20002000元元.2.2.典例典例2 2中的中的“z z千克的丙种药品千克的丙种药品”如何用如何用“x x，y”y”表表示？示？提示：提示：由于由于“x+y+z=100”x+y+z=100”，则，则z=100-x-y.z=100-x-y.【解析解析】1.1.由付给木工的总工资与付给瓦工的总工资之由付给木工的总工资与付给瓦工的总
21、工资之和不大于和不大于20002000元，即得元，即得50 x+40y200050 x+40y2000元，又因为人数元，又因为人数为整数，由此可得为整数，由此可得x x，y y满足的不等式组为满足的不等式组为答案：答案：50 x 40y 2 000 x 0 x Ny 0 y N.，50 x 40y 2 000 x 0 x Ny 0 y N，2.2.由已知，得由已知，得x+y+z=100 x+y+z=100，因为因为M=4x+9y+11z=4x+9y+11(100-x-y)M=4x+9y+11z=4x+9y+11(100-x-y)=1100-7x-2y=1100-7x-2y，又又600 x+70
22、0y+400(100-x-y)56000600 x+700y+400(100-x-y)56000，800 x+400y+500(100-x-y)63000800 x+400y+500(100-x-y)63000，于是满足以下条件：于是满足以下条件：在直角坐标系中可表示成图中的平面区域在直角坐标系中可表示成图中的平面区域(阴影部分阴影部分).).2x 3y 1603x y 130 x y 100 x 0 y 0 ，【延伸探究延伸探究】典例典例2 2中在条件不变的情况下，求出相应中在条件不变的情况下，求出相应的平面区域的面积的平面区域的面积.【解析解析】由已知条件可分别求出点由已知条件可分别求出点
23、A(50A(50，20)20)，C(80C(80，0)0)以及点以及点 如图所示：如图所示：故阴影部分的面积为：故阴影部分的面积为：130B(0)3，160D(0)3，1160 11305 300S80(80)20.23233 【方法技巧方法技巧】用平面区域来表示实际问题的基本方法用平面区域来表示实际问题的基本方法(1)(1)根据问题的需要选取两个起关键作用的关联较多的根据问题的需要选取两个起关键作用的关联较多的量，用字母表示量，用字母表示.(2)(2)把问题中有关的量用这两个字母表示把问题中有关的量用这两个字母表示.(3)(3)把实际问题中有关的限制条件用不等式表示出来把实际问题中有关的限制
24、条件用不等式表示出来.(4)(4)把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来来.【变式训练变式训练】某人准备投资某人准备投资12001200万兴办一所中学，对万兴办一所中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格(以班以班级为单位级为单位)：学段学段班级学班级学生人数生人数配备教配备教师数师数硬件建硬件建设设(万元万元)教师年教师年薪薪(万元万元)初中初中45452 226/26/班班2/2/人人高中高中40403 354/54/班班2/2/人人总共招生班数不多于总共招生班数不多于3030且不少于且
25、不少于2020，试用不等式组表，试用不等式组表示上述限制条件示上述限制条件.【解析解析】设开设初中班设开设初中班x x个，开设高中班个，开设高中班y y个，个，由招生班数不多于由招生班数不多于3030且不少于且不少于2020，所以有，所以有20 x+y3020 x+y30，由所投资金由所投资金12001200万的限制，万的限制，得到得到26x+54y+226x+54y+22x+22x+23y1200.3y1200.即即x+2y40 x+2y40，另外开设的班数不能为负，则另外开设的班数不能为负，则x0 x0，y0y0得到：得到：20 x y 30 x 2y 40 x 0 x N*y 0 y N
26、*.，【补偿训练补偿训练】一工厂生产甲、乙两种产品，生产每吨一工厂生产甲、乙两种产品，生产每吨产品的资源需求如下表：产品的资源需求如下表：品种品种电力电力(千瓦时千瓦时)煤煤(t)(t)工人工人(人人)甲甲2 23 35 5乙乙8 85 52 2该厂有工人该厂有工人200200人，每天只能保证人，每天只能保证160160千瓦时的用电额千瓦时的用电额度，每天用煤不得超过度，每天用煤不得超过150t150t，请在直角坐标系中画出，请在直角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许的产量范围每天甲、乙两种产品允许的产量范围.【解析解析】设该工厂每天分别生产甲、乙两种产品设该工厂每天分别生产甲、乙两种产品xt
27、xt和和ytyt，生产生产xtxt的甲产品和的甲产品和ytyt乙产品的用电量是乙产品的用电量是(2x+8y)(2x+8y)千瓦时，根据条件，有千瓦时，根据条件，有2x+8y1602x+8y160；用煤量为用煤量为(3x+5y)t(3x+5y)t，根据条件，有，根据条件，有3x+5y1503x+5y150；用工人数为用工人数为(5x+2y)(5x+2y)人，根据条件，有人，根据条件，有5x+2y2005x+2y200；另外，还有另外，还有x0 x0，y0.y0.综上所述，综上所述，x x，y y应满足以下不等式组应满足以下不等式组甲、乙两种产品的产量范围是这个不等式组表示的平甲、乙两种产品的产量
28、范围是这个不等式组表示的平面区域，即如图所示的阴影部分面区域，即如图所示的阴影部分(含边界含边界).).2x 8y 1603x 5y 1505x 2y 200 x 0 y 0.，易错案例易错案例 画二元一次不等式组表示平面区域画二元一次不等式组表示平面区域【典例典例】如图所示，阴影部分可用二元一次不等式组如图所示，阴影部分可用二元一次不等式组表示为表示为_._.【失误案例失误案例】【错解分析错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？分析解题过程，你知道错在哪里吗？提示：提示：错误的根本原因是边界的实虚没有把握准确，错误的根本原因是边界的实虚没有把握准确，以及取点定侧时结果弄反以及取点定侧时结果
29、弄反.【自我矫正自我矫正】边界所在的直线方程为边界所在的直线方程为y=-2y=-2，x=0 x=0，2x-2x-y+2=0y+2=0，根据平面区域与边界的关系可知，根据平面区域与边界的关系可知答案：答案：x 0y22x y 2 0.，x 0y22x y 2 0 ，【防范措施防范措施】1.1.掌握用不等式组表示平面区域的方法掌握用不等式组表示平面区域的方法求解此类问题时，要用前面学习的二元一次不等式表求解此类问题时，要用前面学习的二元一次不等式表示的平面区域的方法来表示平面区域，一般采用示的平面区域的方法来表示平面区域，一般采用“直直线定界，取点定域线定界，取点定域”.如本例中取如本例中取(0(0，0)0)确定出确定出2x-2x-y+20.y+20.2.2.注意边界的实虚注意边界的实虚在用不等式表示区域时，要明确平面区域边界的实虚，在用不等式表示区域时，要明确平面区域边界的实虚，从而对应的不等式中有无从而对应的不等式中有无“=”=”，若是实线则不等式中，若是实线则不等式中含有含有“=”=”，若是虚线则不等式中不含有，若是虚线则不等式中不含有“=”.=”.如本例如本例中中“y-2”.y-2”.
