1、 唐山市 20192020 学年度高三 4 月六校联考 文科数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1.已知集合| 11MxZx ，20|NxZ x x，则MN （ ） A.1,2 B.0,1 C.1,0,1 D
2、.1,0,1,2 2.若 34 1 i ziz i （i是虚数单位） ，则z （ ） A. 3 2 B.2 C. 5 2 D.3 3.已知向量a，b满足2a ，1b 且2ab，则a与b夹角的余弦值为（ ） A. 2 2 B. 2 3 C. 2 8 D. 2 4 4.已知数列 n a是公比不为 1 的等比数列， n S为其前 n 项和，满足 2 2a ，且 147 16 ,9,2aaa成等差数列， 则 3 S （ ） A.5 B.6 C.7 D.9 5.若 1 2 9 4 a ， 8 3log 3b ， 1 3 2 3 c ，则a，b，c的大小关系是（ ） A.cba B.abc C.bac D
3、.cab 6.如图 1 为某省 2019 年 14 月快递业务量统计图， 图 2 是该省 2019 年 14 月快递业务收入统计图， 下列对 统计图理解错误的是（ ） A.2019 年 14 月的业务量，3 月最高，2 月最低，差值接近 2000 万件 B.2019 年 14 月的业务量同比增长率超过 50%，在 3 月最高 C.从两图看 2019 年 14 月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致 D.从 14 月来看，该省在 2019 年快递业务收入同比增长率逐月增长 7.函数 2 1 cos 1 x f xx e 图象的大致形状是（ ） A. B. C. D. 8.已知实数
4、x，y满足约束条件 1 21 xy xy ya ，若目标函数3zxy的最大值为 2，则 a 的值为（ ） A.-1 B. 1 2 C.1 D.2 9.已知曲线sin 2 6 yx 向左平移0 个单位， 得到的曲线 yg x经过点,1 12 ， 则 （ ） A.函数 yg x的最小正周期 2 T B.函数 yg x在 1117 , 1212 上单调递增 C.曲线 yg x关于点 2 ,0 3 对称 D.曲线 yg x关于直线 6 x 对称 10.在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，E，F 分别为线段CD和 11 AB上的动点且满足 1 CEAF， 则四边形 1 D FBE所围
5、成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面 积之和（ ） A.有最小值 3 2 B.有最大值 5 2 C.为定值 3 D.为定值 2 l1.斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线” ，是根据斐波那契数列 1，1，2，3，5，画出来的螺旋曲线.如图， 白色小圆内切于边长为 1 的正方形，黑色曲线就是斐波那契螺旋线，它是依次在以 1，2，3，5 为边长的正 方形中画一个圆心角为 90的扇形，将其圆弧连接起来得到的.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取 自阴影部分的概率是（ ） A. 4 B. 39 160 C.19 1 80 D.19 2 80 12.设 1 F， 2
6、F分别是椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左、右焦点，过 2 F的直线交椭圆于 A，B 两点，且 12 0AF AF， 22 2AFF B，则椭圆 E 的离心率为（ ） A. 2 3 B. 3 4 C. 5 3 D. 7 4 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.某单位有 360 名职工，现采用系统抽样方法，抽取 20 人做问卷调査，将 360 人按 1，2，360 随机编 号，则抽取的 20 人中，编号落入区间181,288的人数为_. 14.已知圆 22 :(3)(1)3Cxy及直线:220l axya， 当直线l被圆 C 截得的弦长最短时，
7、 直线 l的方程为_. 15.如图， 矩形ABCD中， M 为BC的中点， 将ABM沿直线AM翻折成 1 AB M， 连结 1 B D， N 为 1 B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的序号是_. 存在某个位置，使得CNAB； 翻折过程中，CN的长是定值； 若ABBM，则 1 AMB D； 若1ABBM，当三棱锥 1 BAMD的体积最大时，三棱锥 1 BAMD的外接球的表面积是4. 16.在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，4c ，4 2sinaA，且 C 为锐角，则ABC面积 的最大值为_. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
8、步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都 必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.（12 分）已知等差数列 n a的前 n 项和为 n S，若 2 4S ， 3 25S . （1）求数列 n a的通项公式； （2）记 12 1 n nn b aa ，求数列 n b的前 n 项和 n T. 18.（12 分）如图，四边形ABCD为正方形，PD 平面ABCD，2PDDC，点 E，F 分别为AD， PC的中点. （）证明：/DF平面PBE； （）求点 F 到平面PBE的距离. 19.（12 分）近年来，共享单车在我国各城市迅猛发展，为人们的
9、出行提供了便利，但也给城市的交通管理 带来了一些困难，为掌握共享单车在 C 省的发展情况，某调查机构从该省抽取了 5 个城市，并统计了共享 单车的 A 指标 x 和 B 指标 y，数据如下表所示： 城市 1 城市 2 城市 3 城市 4 城市 5 A 指标 2 4 5 6 8 B 指标 3 4 4 4 5 （1）试求 y 与 x 间的相关系数 r，并说明 y 与 x 是否具有较强的线性相关关系（若0.75r ，则认为 y 与 x 具有较强的线性相关关系，否则认为没有较强的线性相关关系）. （2）建立 y 关于 x 的回归方程，并预测当 A 指标为 7 时，B 指标的估计值. （3）若某城市的共
10、享单车 A 指标 x 在区间3 ,3xs xs的右侧，则认为该城市共享单车数量过多，对城 市的交通管理有较大的影响交通管理部门将进行治理，直至 A 指标 x 在区间3 ,3xs xs内现已知 C 省 某城市共享单车的 A 指标为 13，则该城市的交通管理部门是否需要进行治理？试说明理由. 参考公式：回归直线ybxa中斜率和截距的最小二乘估计分别为 1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx ， a ybx 相关系数 1 22 11 n ii i nn ii ii xxyy r xxyy 参考数据： 5 2 1 1 2 5 i i sxx ，0.30.55，0.90.95. 20.
11、（12 分）已知椭圆： 22 22 :1(0) xy Cab ab 的四个顶点围成的四边形的面积为2 15，原点到直线 1 xy ab 的距离为 30 4 . （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知定点0,2P，是否存在过 P 的直线l，使l与椭圆 C 交于 A，B 两点，且以AB为直径的圆过椭 圆 C 的左顶点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由. 21.（12 分）已知函数 2 (1)ln (0) 2 a f xxxx a. （1）讨论 f x的单调性； （2）若1ae，试判断 f x的零点个数. （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按
12、所做的第一题记分. 22. （10 分） 在直角坐标系中， 以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 已知曲线:4cosC， 直线l的参数方程为 1 3 2 3 2 xt yt （t 为参数）.直线l与曲线 C 分别交于 M，N 两点. （1）写出曲线 C 和直线l的普通方程； （2）若点3,0P，求 11 PMPN 的值. 23.（10 分）已知函数 12f xxaax . （）若 13f，求实数 a 的取值范围； （）若 2 3 a ，xR，判断 f x与 1 的大小关系并证明. 唐山市 20192020 学年度高三 4 月六校联考 文科数学参考答案 一、选择题 15：BCDCD
13、 610：DBCCD 1112：DC 二、填空题 13：6 14： 0 yx 15： 16： 244 三、解答题 17： （1）设等差数列 n a的首项为 1 a，公差为d，因为 2 4S ， 5 25S ， 则： 1 1 24 5 4 525 2 ad ad ，解得 1 2 1 a d ， 所以 12(1)21 n ann .-（6 分） （2）由于21 n an， 所以 12 11111 21 232 2123 n nn b aannnn . 则 1 1111111 11 2 355721232 32369 n n T nnnn .-（12 分） 18： （）证明：取点G是PB的中点，连接
14、EG， FG，则/FGBC，且 1 2 FGBC， /DEBC且 1 2 DEBC， /DEFG且DEFG， 四边形DEGF为平行四边形， /DFEG，,PBEEG平面,PBEDF平面/DF平面PBE.-（6 分） （）解：由（）知/DF平面PBE，所以点D到平面PBE的距离与F到平面PBE的距离是相等的， 故转化为求点D到平面PBE的距离，设为d. 利用等体积法： D PBEP BDE VV ，即 11 33 PBEBDE SdSPD ， 1 1 2 BDE SDEAB ， 5PEBE， 2 3PB ，6 PBE S ， 6 3 d .-（12 分） 19： （1）由题得 24568 5 5
15、 x ， 34445 4 5 y 所以 5 1 6 ii i xxyy ， 5 2 1 20 i i xx ， 5 2 1 2 i i yy 则 6 0.90.95 2 52 r . 因为0.75r ，所以y与x具有较强的线性相关关系.-（5 分） （2）由（1）得 6 0.3 20 b ， 40.3 52.5a ， 所以线性回归方程为 0.32.5yx .-（8 分） 当7x 时，0.3 72.54.6y ， 即当A指标为 7 时，B指标的估计值为 4.6.-（10 分） （3）由题得(3 ,3 )( 1,11)xs xs ， 因为1311，所以该城市的交通管理部门需要进行治理.-（12 分
16、） 20： （1）直线1 xy ab 的一般方程为0bxayab. 依题意 22 222 22 15 30 4 ab ab ab abc ，解得 5 3 a b ，故椭圆C的方程式为 22 1 53 xy .-（4 分） （2）假若存在这样的直线l， 当斜率不存在时，以AB为直径的圆显然不经过椭圆C的左顶点， 所以可设直线l的斜率为k，则直线l的方程为2ykx. 由 22 2 3515 ykx xy ，得 22 352050kxkx. 由 22 40020 350kk ，得 55 , 55 k . 记A，B的坐标分别为 11 ,x y， 22 ,x y， 则 12 2 20 35 k xx k
17、 ， 12 2 5 35 x x k ， 而 1212 22y ykxkx 2 1 212 24k x xk xx.-（8 分） 要使以AB为直径的圆过椭圆C的左顶点5,0D ，则 0DA DB ， 即 1212 55y yxx 2 1212 1259kx xkxx 0， 所以 2 22 520 1259 3535 k kk kk 0， 整理解得 2 5 5 k 或 8 5 5 k ， 所以存在过P的直线l，使l与椭圆C交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆C的左顶点，直线l的 方程为 2 5 2 5 yx或 8 5 2 5 yx .-（12 分） 21： （1）函数 f x的定义域为0,，
18、 111 11 xax fxa x xx ， 令 0fx ，则 1 1x ， 2 1 x a ， （i）若1a ，则 0fx 恒成立，所以 f x在0,上是增函数，-（2 分） （ii）若01a，则 1 1 a ， 当0,1x时， 0fx ， f x是增函数， 当 1 1,x a 时， 0fx ， f x是减函数， 当 1 ,x a 时， 0fx ， f x是增函数，-（4 分） （iii）若1a ，则 1 01 a ， 当 1 0,x a 时， 0fx ， f x是增函数， 当 1 ,1x a 时， 0fx ， f x是减函数， 当1,x时， 0fx ， f x是增函数 综上所述：当1a 时
19、， f x在0,上是增函数， 当01a， f x在0,1上是增函数，在 1 1, a 上是减函数，在 1 , a 上是增函数， 当1a 时， f x在 1 0, a 上是增函数，在 1 ,1 a 上是减函数，在1,上是增函数； -（6 分） （2）当1ae时， f x在 1 0, a 上是增函数，在 1 ,1 a 上是减函数，在1,上是增函数， 所以 f x的极小值为 110f ， f x的极大值为 2 11111 1lnln1 222 aa fa aaaaa , 设 1 ln1 22 a g aa a ，其中1,ae， 2 2 222 111121 0 2222 aaa g a aaaa ,
20、 所以 g a在1,e上是增函数， 所以 e1 e20 22e g ag， 因为 211 44 14ln494ln4ln40 222 a f ， 所以有且仅有 1 个 0 1,4x ，使 0 0f x. 所以当1ae时， f x有且仅有 1 个零点.-（12 分） 22： （1）曲线 :4cosC ， 2 4 cos， 曲线C的直角坐标方程为 22 4xyx，即 22 (2)4xy， 直线l的参数方程为： 1 3 2 3 2 xt yt （t为参数） ， 直线l的普通方程为： 33 30xy-（5 分） （2）直线l的参数方程为： 1 3 2 3 2 xt yt （t为参数） ， 代入 22
21、4xyx，得 2 30tt ， 12 1tt ， 1 2 3t t 2121 12121 2 |111 |3 11tttt tPMPtttt tN .-（10 分） 23： （I）因为 13f，所以1 2 3aa . 当0a时，得1 23aa ，解得 2 3 a ，所以 2 0 3 a; 当 1 0 2 a时，得1 23aa，解得2a ，所以 1 0 2 a; 当 1 2 a 时，得1 23aa，解得 4 3 a ，所以 14 23 a; 综上所述，实数a的取值范围是 2 4 , 3 3 -（6 分） （II） 1f x ，因为 2 , 3 axR, 所以 12f xxaax 121 331 1xaaxaa -（10 分）
