1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测（四十） 椭 圆 小题对点练 点点落实 对点练 (一 ) 椭圆的定义和标准方程 1若直线 x 2y 2 0 经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为 ( ) A.x25 y2 1 B.x24y25 1 C.x25 y2 1 或 x24y25 1 D以上答案都不对 解析：选 C 直线与坐标轴的交点为 (0,1)， ( 2,0)，由题意知当焦点在 x 轴上时， c 2， b 1， a2 5，所求椭圆的标准方程为 x25 y2 1.当焦点在 y 轴上时， b 2， c 1， a2 5，所求椭圆的标准方程为 y25x24 1. 2已知椭圆 C：
2、x24y23 1， M， N 是坐标平面内的两点，且 M 与 C 的焦点不重合若 M关于 C 的焦点的对称点分别为 A， B，线段 MN 的中点在 C 上，则 |AN| |BN| ( ) A 4 B 8 C 12 D 16 解析：选 B 设 MN 的中点为 D，椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1， F2，如图，连接 DF1， DF2，因为 F1是 MA 的中点， D 是 MN 的中点，所以 F1D 是 MAN 的中位线，则 |DF1| 12|AN|，同理 |DF2| 12|BN|，所以 |AN| |BN| 2(|DF1| |DF2|)，因为 D 在椭圆上，所以根据椭圆的定义知 |DF1| |D
3、F2| 4，所以 |AN| |BN| 8. 3已知三点 P(5,2)， F1( 6,0)， F2(6,0)，那么以 F1， F2为焦点且经过点 P 的椭圆的短轴长为 ( ) A 3 B 6 C 9 D 12 解析： 选 B 因为点 P(5,2)在椭圆上，所以 |PF1| |PF2| 2a， |PF2| 5， |PF1| 5 5，所以 2a 6 5，即 a 3 5， c 6，则 b 3，故椭圆的短轴长为 6，故选 B. 4.如图，已知椭圆 C 的中心为原点 O， F( 2 5， 0)为 C 的左焦点， P为 C 上一点，满足 |OP| |OF|，且 |PF| 4，则椭圆 C 的方程为 ( ) =
4、【 ;精品教育资源文库 】 = A.x225y25 1 B.x236y216 1 C.x230y210 1 D.x245y225 1 解析：选 B 设椭圆的标准方程为 x2a2y2b2 1(ab0)，焦距为 2c，右焦点为 F ，连接 PF ，如图所示因为 F( 2 5， 0)为 C 的左焦点，所以 c 2 5.由 |OP| |OF| |OF| 知， FPF 90 ，即 FP PF. 在 RtPFF 中，由勾 股定理，得 |PF| |FF| 2 |PF|2 5 2 42 8.由椭圆定义，得 |PF| |PF| 2a 4 8 12，所以 a 6， a2 36，于是 b2 a2 c2 36(2 5
5、)2 16，所以椭圆 C 的方程为 x236y216 1. 5已知点 M( 3， 0)，椭圆 x24 y2 1 与直线 y k(x 3)交于点 A， B，则 ABM 的周长为 _ 解析： M( 3， 0)与 F( 3， 0)是椭圆的焦点，则直线 AB 过椭圆的左焦点 F( 3， 0)，且 |AB| |AF| |BF|， ABM 的周长等于 |AB| |AM| |BM| (|AF| |AM|) (|BF| |BM|) 4a 8. 答案： 8 6若方程 x2|a| 1y2a 3 1表示焦点在 x轴上的椭圆，则实数 a的取值范围是 _ 解析：因为方程 x2|a| 1y2a 3 1 表示焦点在 x 轴
6、上的椭圆，所以 |a| 1a 30，解得 3b0)，以 O 为圆心，短半轴长为半径作圆 O，过椭圆长轴的一端点 P 作圆 O 的两条切线，切点分别为 A， B，若四边形 PAOB 为正方形，则椭圆的离心率为 ( ) A.32 B. 22 C. 53 D. 33 解析：选 B 由题意知 |OA| |AP| b， |OP| a， OA AP，所以 2b2 a2，即 b2a212，故 e=【 ;精品教育资源文库 】 = 1 b2a222 ，故选 B. 2已知 F1， F2为椭圆 C： x29y28 1 的左、右焦点，点 E 是椭圆 C 上的动点， EF1 EF2 的最大值、最小值分别为 ( ) A
7、9,7 B 8,7 C 9,8 D 17,8 解析：选 B 由题意知 F1( 1,0)， F2(1,0)，设 E(x， y)，则 EF1 ( 1 x， y)， EF2 (1 x， y)，所以 EF1 EF2 x2 1 y2 x2 1 8 89x2 19x2 7( 3 x3) ，所以当 x 0 时， EF1 EF2 有最小值 7；当 x 3 时， EF1 EF2 有最大值 8.故选 B. 3焦点在 x 轴上的椭圆方程为 x2a2y2b2 1(ab0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为 b3，则该椭圆的离心率为 ( ) A.14 B.13 C.12 D.23 解析
8、：选 C 短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形的面积 S 122 c b 12(2 a 2c) b3，整理得 a 2c，即 e ca 12.故选 C. 4已知椭圆 E： x2a2y2b2 1(a b 0)的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l： 3x 4y 0 交椭圆 E 于 A， B 两点若 |AF| |BF| 4，点 M 到直线 l 的距离不小于 45，则椭圆 E的离心率的取值范围是 ( ) A.? ?0， 32 B.? ?0， 34 C.? ?32 ， 1 D.? ?34， 1 解析：选 A 根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得 A， B 两点到椭圆左、右焦点的 距离和为 4a
9、 2(|AF| |BF|) 8，所以 a 2.又 d |30 4 b|32 2 45，所以 1 b 2，而 e ca 1 b2a2 1b24，所以 0 e32 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 5已知椭圆 x24y2b2 1(0b0)， A， B 分别是椭圆长轴的两个端点， M， N 是椭圆上关于 x 轴对称的两点，直线 AM， BN 的斜率分别为 k1， k2，若 |k1 k2| 14，则椭圆的离心率为 _ 解析：设 M(x0， y0)，则 N(x0， y0)， |k1 k2| ? ?y0x0 a y0a x0 y20a2 x20b2? ?1 x20a2a2 x20 b2a2 14， 从
10、而 e 1 b2a232 . 答案： 32 7已知椭圆 x24 y2 1 的左、右焦点分别为 F1， F2，以原点为圆心，椭圆的短轴为直径作圆若点 P 是圆 O 上的动点，则 |PF1|2 |PF2|2的值是 _ 解析：由椭圆方程可知 a2 4， b2 1， c2 4 1 3， c 3， a 2， b 1. F1(3， 0)， F2( 3， 0) 圆 O 的方程为 x2 y2 1.设 P(x0， y0)，则 x20 y20 1. |PF1|2 |PF2|2 (x0 3)2 y20 (x0 3)2 y20 2(x20 y20) 6 8. 答案： 8 8.如图，椭圆的中心在坐标原点 O，顶点分别是
11、 A1， A2， B1， B2，焦点分别为 F1， F2，延长 B1F2与 A2B2交于 P 点，若 B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为 _ 解析：设椭圆的方程为 x2a2y2b2 1(a b 0)， B1PA2为钝角可转化为 B2A2 ， F2B1 所夹的角为钝角，则 (a， b)( c， b) 0，即 b2 ac，则 a2 c2 ac，故 ? ?ca 2 ca 1 0，即 e2 e 1 0， e 5 12 或 e 5 12 ，又 0 e 1，所以 5 12=【 ;精品教育资源文库 】 = e 1. 答案： ? ?5 12 ， 1 大题综合练 迁移贯通 1已知椭圆 x2a2y2b
12、2 1(ab0)， F1， F2分别为椭圆的左、右焦点， A 为椭圆的上顶点，直线 AF2交椭圆于另一点 B. (1)若 F1AB 90 ，求椭圆的离心率； (2)若 AF2 2F2B ， AF1 AB 32，求椭圆的方程 解： (1)若 F1AB 90 ，则 AOF2为等腰直角三角形，所以有 OA OF2，即 b c. 所以 a 2c， e ca 22 . (2)由题知 A(0， b)， F1( c,0)， F2(c,0)，其中 c a2 b2，设 B(x， y) 由 AF2 2F2B ，得 (c， b) 2(x c， y)， 解得 x 3c2 ， y b2，即 B? ?3c2 ， b2 .
13、 将 B 点坐标代入 x2a2y2b2 1，得94c2a2 b24b2 1， 即 9c24a214 1，解得 a2 3c2. 又由 AF1 AB ( c， b) ? ?3c2 ， 3b2 32， 得 b2 c2 1，即有 a2 2c2 1. 由 解得 c2 1， a2 3，从而有 b2 2. 所以椭圆的方程为 x23y22 1. 2设 F1， F2分别是椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的左、右焦点， M 是 C 在第一象限上一点且 MF2与 x 轴垂直，直线 MF1与 C 的另一个交点为 N. (1)若直线 MN 的斜率为 34，求 C 的离心率； (2)若直线 MN 在 y 轴上的
14、截距为 2，且 |MN| 5|F1N|，求 a， b. 解： (1)根据 c a2 b2及题设知 M? ?c， b2a ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 由 kMN kMF1 34，得b2a 0c c 34，即 2b2 3ac. 将 b2 a2 c2代入，解得 ca 12， ca 2(舍去 ) 故 C 的离心率为 12. (2)由题意，原点 O 为 F1F2的中点， MF2 y 轴， 所以直线 MF1与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1的中点，故 b2a 4，即 b2 4a. 由 |MN| 5|F1N|，得 |DF1| 2|F1N|. 设 N(x1， y1)，由题意知 y1b0)的
15、左、右焦点，过 F1且斜率为 1 的直线 l与 E 相交 于 A， B 两点，且 |AF2|， |AB|， |BF2|成等差数列 (1)求 E 的离心率； (2)设点 P(0， 1)满足 |PA| |PB|，求 E 的方程 解： (1)由椭圆定义知 |AF2| |BF2| |AB| 4a， 又 2|AB| |AF2| |BF2|，得 |AB| 43a， 设直线 l 的方程为 y x c，其中 c a2 b2. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 A， B 两点的坐标满足方程组? y x c，x2a2y2b2 1，消去 y，化简得 (a2 b2)x2 2a2cx a2(c2 b2
16、) 0， 则 x1 x2 2a2ca2 b2， =【 ;精品教育资源文库 】 = x1x2 a2 c2 b2a2 b2 . 因为直线 AB 的斜率为 1， 所以 |AB| 2|x2 x1| x1 x2 2 4x1x2， 即 43a 4ab2a2 b2，故 a2 2b2， 所以 E 的离心率 e ca 1 b2a2 11222 . (2)设 AB 的中点为 N(x0， y0)， 由 (1)知 x0 x1 x22 a2ca2 b22c3 ， y0 x0 c c3. 由 |PA| |PB|，得 kPN 1， 即 y0 1x0 1，得 c 3， 从而 a 3 2， b 3. 故椭圆 E 的方程为 x218y29 1.
